理论力学习题解

1、理论力学作业解答1-3已知曲柄OA = r,以匀角速度绕定点0转动,此曲柄借连杆 AB使滑动B沿直线Ox运动设AC =CB =a ,. AOB三护,.ABO求连杆上C点的轨道方程及速度.解：设C点的坐标为x, y ,则x = r cosa cos'-y = r sin -a sin'、 y =asi n 屮联立上面三式消去得(x -a 匸y2/a2)2 4y2 =r2整理得轨道方程4x2(a2y2)=(x2 3y2 a2r2)2设C点的速度为v,即v 二,'x2 ' y2 二 2 fsi n22ar | | sin :si n'- a2 i2考虑a点的速

2、度yA = r rcos = 2aI cosr cos2acos'-r cos2a cos'-所以v二r 2cos'-i cos2 ? 4sincos'- sin（丨：才）1-4细杆OL绕O点以匀角速度，转动，并推动小环C在固定的钢丝 AB上滑动，图中的d为 一已知常数试求小环的速度V及加速度a解：小环C的位置由x坐标确定x = d ta n vd2da = x = 2d ,2sec2 71 tan 二:.2 2“2 d +x =2 xd解法二：设v为小环相对于 AB的速度，v,为小环相对于OL的速度,：2为小环相绕O点转动的速度 则 v = v, v2又设0L

3、从竖直位置转过了 二角，则sin vTXdCOSTdv2鳥x d(x2 d2)=v =cos日cosBdv! =v2 tan 日=co tan日 Jx2 +d2 = Jx2 + d2co d所以，小环相对于AB的速度为(x2 d2)d，方向沿AB向右.21-10 一质点沿着抛物线 y =2px运动.其切向加速度的量值为法向加速度量值的-2k倍.女口此质点从正焦玄(：，p)的一端以速度u出发试求其达到正焦玄另一端时的速率an2 v p解：设条件为dv dv ds v dv dt 一 d，ds dt 一 上面二式联立得dv = -2kd，v两边积分V d dVi uT0 -右(-2k)M,v =

4、ue"由 y2 =2 px 可得一y = pdx y在正焦玄两端点A( 2, p)和B( 2,-P)处，yA =1,yB=-1.可看出，两点处抛物线得切线斜率互为倒数，即 ;，代入得21-15当一轮船在雨中航行时 ，它的雨蓬遮住篷的垂直投影后2m的甲板，蓬高4m.但当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在蓬前3m,如果雨点的速率为8m/s,求轮船的速率.扌 彳 扌解:设相对于岸的速度为 v°,雨相对于岸的速度为 v,雨相对于船的速度为 vr则vr =v -V。速度三角形与三角形 ABC相似，得v0 BC 2 3v AB - 4 2 2:mv1 , a 32 所以 v0 二

5、 v = 8m/s方程 y3 3p2y -2 p2h = 0 的解2 6解：作变换y=z-丄，原方程变为Z3-冬-2p2h=0zz设 R 二 p6 p4h2, A =(p2h .R)1/3,B p(p2hR)1/3 ,/： 1 " 3i 则3A22实根 = A B = (p2h - R)1/3 (p2h -R)1/3两个虚根：y2 -:2B , y AhmB对于该题，只取实根 1-38已知作用在质点上的力为 Fx =印必 a12y azFy =a2iX a22y a23Z,Fz =a31x+a32y+a33z其中ai,j (i, j =1,2,3)都是常数，问这些aid应满足什么条件

6、才有势能 存在？如果这些条件满足，试求其势能.4解:由' F =0得:町二 aj,i(i, j =1,2,3)dV 二Fxdx Fydy Fzdz 二一(印必 ay az)dx - 2必 a2?y a23z)dy - 3必 a32y %3Z)dzxyzV = auxdx 0 2必 +a22y)dy 心3必 +a32y +a33z)dz1222 "i"i"i"i二-尹协 "a33z2a12xy 2a23yz 2a31zx)c1-39 一质点受一与距离3/2次方成反比得引力作用在一条直线上运动，试证该质点自无穷远到达a时的速度v1和自a静止

7、出发到达a/4时的速率v2相同.解：依题意有dv dvm mv一 二dt dx13/2x，两边积分V10 mvdv 二-再积分V?mvdv =-a 13/ 2 dx，=x1 2mv,2 1可知v, =v21-43如果质点受有心力作用而作双纽线22r = a cos2v的运动时，则3ma4h2F7r试证明之。解：比耐公式h2u2（嗖 u）=上d。2m而u2- 厂丄 代入得r a cos2d2ud，-3a4uu3ma4h2二 F r1-44质点所受的有心力如果为2 VF3）r r式中，"及'都是常数，并且2:h，则其轨道方程可写成 ra1 ecosk试证明之。式中k2k2h2 a

8、 =Ak2h2e 厂（A为积分常数）。解：比耐公式h2u2（豊 u）-将F代入得m2u =胪h2，式中k2h2 一、其解为u=Acos（k： -k®）k2h2甘 =r2. Ak2h21 cosg*)1 ecosZ*0)Ak2h2e2将基准线转动一角度，可使得a1 ecoskv2-2 帽的质心。解:如自半径为为a的球上，用一与球心相距为b的平面，切出一球形帽，求此球形方法球形帽可看作由许多圆薄片沿Z轴叠成，其质心坐标 人=yc = 0zc =rPrcos。(兀r2sin2日)dz / (cos日-cos3日)d(cos&)1 ： V：r2sin2 v)dz(-cofRdgos&

9、quot;1 2 .14(r -cos - cos 巧2 4(cos日-1 cos3 日)3cos 二 £cosfeh/r cos = 13 (r b)24 2r bcos 二=b/r方法二取任一垂直于oz轴的两平面来截球冠，截得一微圆球台近似地等于圆柱。dm - 'sdz-二(r2 _z2)dzzr/12 214、_ b L (r2 -z2)zdz _ (2r z _4z )rzdm2rrdm 1 ! ' (r2_z2)dzb'b213(rz_3z)3(r b)24 2r bw的物体。此人用与地平线成角的速度向前u水平向后抛出。问：由于物体的抛出，跳的2-3

10、重为W的人，手里拿着一个重为 跳去。当他达到最高点时，将物体以相对速度 距离增加了多少？解：选人与重物组成一个系统， 此系统在水平方向无外力作用，水平方向动量应守恒。人在抛出重物以前，水平速度为v°cos，在最高点抛出重物之后，其水平速度变为V，则W w(V0COS- _ u) = (Mcos-g g人抛出重物后，做以 v 为初速的平抛运动，比不抛重物落地点要远，增加的距离gvVogv0 si notv0 cos _：ig两式联立得w uv0 sin a.：xW g讨论：若抛出物体时速度是相对人后来的速度即v，则上面第一个方程变为Wv Wv-u)=(W w)v0cos：- g结果wu

11、v°sin ax -W + w g一个例子：人重60公斤，物重2公斤，起跳速度 5m/s，抛物速度10m/s，则=x ： 0.12m2-13长为I的均匀细链条伸直地平放在水平光滑桌面上，其方向与桌边沿垂直， 此时链条的一半从桌上下垂。 起始时，整个链条是静止的。试用两种不同的方法，求此链条的末 端滑到桌子的边沿时，链条的速度。解：【方法一】设链条的线密度为 ，则t时刻下落的链条质量为 m =（丄yp，此时链条所受的2重力为mg =（y） 'g ,根据牛顿第二定律有2Uy） ?gdt 2作变换v二矽,t =色代入上式dt yvdv = (y) gdy2两边积分一 1 二 v 3

12、gl【方法二】设链条的线密度为 ，当链条往下移y，重力做的功为yW= 0 y'd ?gy yi3lw jgSy=mg82、3gl1 231mv =W = mg ,2 8216雨滴下落时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比例，求雨滴速度与时间的关系。解：变质量动力学方程ddm(mv) u = mgdtdt设水蒸气凝结在雨滴上之前在空气中的速度u =0,代入上式得dv dmm v mg dt dt设雨滴半径r的增长率为，r = a - t，式中a为t = 0时雨滴的半径，雨滴的质量 4 二3mr3，式中为密度3dv 3 v = gdt a其解 v=(a：Mt)3 (''t)

13、4 - c4人4设 t = 0 时，v=0 的 ga4丸5.1半径为r的光滑半球形碗，固定在水平面上，一均质棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端则在碗外，在碗内的长度为c，试证棒的全长为2 24(c -2r )c解：如图示，主动力 mg，由虚功原理得而 y =(2rcos v - -)sin24r cos2cos -= mg(2rcos2丁 -才cos» 丿-02 24(c -2r )c讨论：对直角坐标，由虚功原理有W 二 Fx、x Fy、y 二 mg、y = 0好像不能选y做广义坐标。实际上，若选y做广义坐标，则广义力不是 Fy，而是dx厂Qy 二 FxFydydx平衡条件是Qy二FxF

14、y二0而不是Fy二0dy本题中，平衡方程是奇点方程鱼：，即 巴=0，解之得dydx2 2l 4(c -2r )dx广义坐标的定义域 A，兰的定义域B,平衡位置在A内，但不再B内，即平衡方程是奇点dydx方程兰：。dyP359【例题5.3】轴为竖直而顶点在下的抛物线形金属丝，以匀角速度-绕轴转动。一质量为m的小环，套在此金属丝上，并可沿着金属丝滑动。试用正则方程求小环在在x方向的运动微分方程并求解方程。已知抛物线的方程为= 4ay，式中a为一常数。解：体系动能1m(ix i y)22 2x体系势能x1 24a所以y所以TmX2(124)2 2 x HT2T0拉氏函数2m【x2(12)24ax2-mg 一4a哈密顿函数Px:L：x2mX(1 二)4aPxxm(12 )4a2Px,m.亍豹2m . x22214a22iXx mg 4a2代入正则方程得2m(1 寿)X m 会 X22X cm x mg 0 2a1 2初始条件：令.荷，、 2a方程变为(V x2)xxX2YX=0.(1x2)(G：x2)：(1 x2)”C