分段函数的几种常见题型及解法

1、精品资料欢迎下载分段函数的几种常见题型及解法分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范畴内,有不同的对应法就的函数, 它是一个函数,却又经常被同学误认为是几个函数;它的定义域是各段函数定义域的并 集,其值域也是各段函数值域的并集.由于它在懂得和把握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用,经常在高考试题中 “闪亮” 登场 ,笔者就几种详细的题型做了一些摸索,解析如下：1求分段函数的定义域和值域2 x2x1,0;y例 1求函数值域 .【解析】f x1 xx23x0, 2;2,;的定义域、321-1o12x-1作 图 ,利 用 “ 数 形 结 合 ” 易 知f x的 定 义 域 为1

2、, ,值域为 1,3 .2求分段函数的函数值例 2（ 05 年浙江理）已知函数f x| x1|2, | x |121,| x |1 求 1x2f f1 .3 2【解析】由于 f 1 | 11|23 ,所以f f 1 f 3 14 .2222212133求分段函数的最值4 x3x0例 3求函数f xx30x1 的最大值.x5x1精品资料欢迎下载【解析】当x0 时,f max xf 03 ,当 0x1时 ,fmax xf 14 ,当 x1 时,x5154 ,综上有fmax x4 .4求分段函数的解析式例 4在同一平面直角坐标系中,函数yf x 和yg x 的图象关于直线yx 对称,现将yg x 的

3、图象沿 x 轴向左平移2 个单位 ,再沿 y 轴向上平移1 个单位 ,所得的图象是由两条线段组成的折线（如下列图）,就函数f x 的表达式为（）a. f xb. f xc. f x2x21x02x20x22x21x020x21x22x41x22x4x 22x21x 2y321x-2-1o1d. f x2 x63x 21【解析】当 x2,0 时,y2 x1 ,将其图象沿x 轴向右平移2 个单位 ,再沿 y 轴向下平移1个 单位,得解析式为y1 x2111 x1,所以22f x2 x2x,当 x0,1 时,y2 x1 ,将其图象沿x 轴向右平移2个单位 ,再沿 y 轴向下平移1 个单位 ,得解析式

4、y2 x2112 x4 ,所以x2f x12 x0, 2 ,综上可得f x2x21x2x20x0,应选 a.25作分段函数的图像例 5函数ye|ln x| x1| 的图像大致是（）精品资料欢迎下载yy1x1o1o1xabyy11xxo1o1cd6求分段函数得反函数例 6 已 知yf x是定义在r 上的奇函数,且当 x0 时 ,f x3x1 ,设f x 得反函数为yg x ,求 g x的表达式 .【解析】设 x0 ,就x0 ,所 以 f x3 x1 ,又由于f x是定义在r 上的奇函数 ,所以 f xf x ,且f 00 ,所以f x13 x ,因此3x1 x0log 3 x1 x0f x0 x

5、0 ,从而可得g x0 x0 .x13 x0log 3 1x) x07判定分段函数的奇偶性x2 x1 x0例 7判定函数f xx2 x1) x的奇偶性 .0【解析】当 x0 时 ,x0 ,f xx2 x1x2 x1f x ,当 x0 时 ,f 0f 00 ,当 x0 ,x 0 ,f xx 2 x1x2 x1f x精品资料欢迎下载因此 ,对于任意 xr都有 f xf x ,所以f x为偶函数 .8判定分段函数的单调性x3x x0例 8判定函数f xx2 x的单调性 .0【解析】明显 f x连续 .当 x0 时,'2f x3x11 恒成立 ,所以f x是单调递增函数,当 x0 时 ,f &

6、#39; x2 x0 恒成立 ,f x也是单调递增函数,所以f x 在 r上是单调递增函数;或画图易知f x 在 r 上是单调递增函数.例 9写出函数f x|12 x | 2x | 的单调减区间.y【解析】3 xf x3x1 x12152x2 ,画图易知单调53x1 x222减区间为 ,1 .1o2x-29解分段函数的方程例 10（ 01 年上海）设函数f x2 xx,1,就满意方程f x1 的 x 的log81 x x1,4值为【解析】如 2 x1 ,就 2 x2 2 ,得 x2,1,所以 x2（舍去） ,如 logx1 ,48141就 x814 ,解得 x31, ,所以 x3 即为所求 .

7、10解分段函数的不等式例11 设 函 数f x2 x11x0 ,如x2 x0y1x-11精品资料欢迎下载f x0 1 ,就 x0 得取值范畴是（）a. 1,1b. 1,c . ,20,d . ,11,【解析 1】第一画出y f x 和 y1 的大致图像,易知f x0 1 时,所对应的x0 的取值范围是 ,11, .【解析 2】因 为f x0 1 ,当 x00 时 ,2 x01 1 ,解 得 x01 ,当 x00 时 ,1x0 21 ,解得x01,综上x0 的取值范畴是,11, .应选 d.例 12设函数f x x124xx1x1,就使得1f x1 的自变量x 的取值范畴为（）a ,20,10b.,20,1c.,21,10d.2,01,10【解析】当 x1 时 ,f x1x121x2或x0 ,所 以 x2或0x1 ,当 x1时 ,f x14x11x13x10,所以 1x10 ,综上所述 ,x2 或 0x10 ,应选 a 项.【点评：】以上