分段函数专题非常全面

1、分段函数的性质与应用分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范畴的值时所使用的解析式不同， 所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范畴是否在发生变化；即“分段函数分段看”一、基础学问：1、分段函数的定义域与值域各段的并集2、分段函数单调性的判定：先判定每段的单调性，假如单调性相同，就需判定函数是连续 的仍是断开的， 假如函数连续，就单调区间可以合在一起，假如函数不连续，就要依据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起；3、分段函数对称性的判定：假如能够将每段的图像作出，就优先采纳图像法，通过观看图像判定分段函数奇偶性；假如不便作出，就只能通

2、过代数方法比较fx ,fx 的关系，要留意 x,x 的范畴以代入到正确的解析式；4、分段函数分析要留意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判定的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），如两个值相等，那么分段函数是连续的；否就是断开的；例如：fx2x1,xx24, x3，将 x33代入两段解析式，运算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析； 再比如fx2 x1,x3中，x21,x3两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段；（2）每一个含肯定值的函数，都可以通过肯定值内部的符号争论，将其转化为分段函数；例如：fxx

3、13，可转化为：fxx13,x11x3,x15、遇到分段函数要时刻盯住变量的范畴，并依据变量的范畴挑选合适的解析式代入，如变量的范畴并不完全在某一段中，要留意进行分类争论6、假如分段函数每一段的解析式便于作图，就在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合；二、典型例题例 1：已知函数f x2 x1x1，如 ff04a ，就实数 a x2axx1思路：从里向外一层层求值，f02012ff0f242a所以 42a4aa2答案： a2cosx, x010例 2：设函数fxfx11,x，就 f的值为 03思路：由fx解析式可知，只有x0 ，才能得到详细的数值，x0 时只能依靠fxfx11

4、向 x0 正数进行靠拢；由此可得：107412ff1f2f3f4 ，而33333f2cos 21332答案：92f10932小炼有话说： 含有抽象函数的分段函数，在处理里第一要明确目标，即让自变量向有详细解析式的部分靠拢，其次要懂得抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）比如在此题中： x0, fxfx11可以立刻为间隔为1 的自变量，函数值差1，其作用在于自变量取负数时，可以不断1 直至取到正数；懂得到这两点，问题自然迎刃而解；例 3：函数fx3x4 , x 2, xx12，就不等式fx21 的解集是 a.,1 u5 ,b.3,1 u5 ,33c.1, 53d.5 ,33思路：第一要把f

5、x1转变为详细的不等式，由于fx是分段函数，所以要对x 的范围分类争论以代入不同的解析式：当x2 时， fx13x41 ，可解得：x1或 x5 ；所以 x1或 5x2 ；当 x2时， fx1212x1解得3x3，所以 23x3 ，综上所述：xx1,1 u5 ,33答案： b例 4：已知函数f xx1xx1x0，就不等式xx01f x11 的解集是 思路：要想解不等式，第一要把fx1转变为详细的表达式，观看已知分段函数，f xx1xx1x0 ， x 占据 f整个括号的位置，说明对于函数fx 而言，括号里0的式子小于0 时，代入上段解析式， 当括号里的式子大于0 时，代入下段解析式； 故要对 x1

6、的符号进行分类争论； （ 1）当 x10x1 时， fx1x11x ，不等式变为：xxx11x21x（2）当 x10x1时， fx1x11x ，不等式变为：xxx11x22x1012x12x1,12答案： x1,12例 5：已知函数fxx22x3, x0，就不等式fx8fx23x的解集为2 x 11, x0思路：此题假如通过分类争论将不等式变为详细不等式求解，就难点有二：一是要顾及x8, x23x 的范畴，就需要分的情形太多；二是详细的不等式可能是多项式与指数式混在一起的不等式，不易进行求解；所以考虑先搁置代数方法，去分析fx的图像性质，发觉 fx的两段解析式均可作图，所以考虑作出fx 的图像

7、，从而发觉fx 是增函数，从而无论x8, x23x 在哪个范畴，fx8fx23xx8x23x ，从而解得： x4 或 x2答案：,4u2,小炼有话说： 含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段，通过对x 进行分类争论将不等式转变为详细的不等式求解 比如例 3，例 4）；另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图像的特点解不等式（比如例5）；例 6：已知函数fxx22 x, xx22x, x0 . 如 fafa02 f1，就 a 的取值范畴是a1,0b 0,1c1,1d2,2思路：此题可以对a 进行分类争论， 以将fafa2 f1变成详细不等式求解，但也可从a, a 的

8、特点动身，考虑判定fx的奇偶性，通过作图可发觉fx为偶函数，所以 fafa，所解不等式变为faf1 ，再由图像可得只需a1，即1a1答案： c小炼有话说：（ 1）此题判定函数fx 的奇偶性可以简化运算，而想到这一点是源于抓住宅解不等式中a,a 的特点；由此可见，有些题目的思路源于式子中的一些示意（2）由于 fx 两段图像均易作出，所以在判定fx 奇偶性时用的是图像法；对于某些不易作图的分段函数，在判定奇偶性时就需要用定义法了，下面以此题为例说说定义法如何判断：整体思想依旧是找到fx ,fx，只是在代入过程中要留意x, x 的范畴：设x0,，就x,0，fxx2x,2fxx2xx2x ，22所以

9、fxfx，即 fx 为偶函数22g x,f xg x例 7：已知函数f x12 x, g xx2 x ，如f xf x,f xg x，就 f x 的值域是 解析： fx是一个分段函数，其分段标准以fx , gx的大小为界，所以第一步先确定好 x 的取值，解不等式：fxgx12x2x22x ，解得：13x1 ，故x22 x,1x1fx321，分别求出每段最值，再取并集即可答案：12 x, 79, xor x1 3例 8：已知函数f x a log a2x x1 x x1，如 f x1在,单调递增， 就实数 a 的取值范畴是 思路：如fx 在,单调增，就在r 上任取 x1x2 ，均有fx1fx2，

10、在任取中就包含x1, x2 均在同一段取值的情形，所以可得要想在r 上单调增，起码每一段的解析式也应当是单调递增的，由此可得：a20a1，但仅仅满意这个条件是不够的；仍有一种取值可能为x1, x2 不在同一段取值，如也满意 x1x2 ，均有fx1fx2，通过作图可发现需要左边函数的最大值不大于右边函数的最小值；代入x1 ，有左段右端，即a21log a 10a3综上所述可得：a2,3答案：2,3例 9：已知fxx1. x2x1, x1,00,1，就以下选项错误选项（）a.是 fx1 的图像b.是 fx 的图像c.是 fx的图像d.是fx的图像思路： 考虑先作出fx 的图像 （如右图所示） ，再

11、依据选项进行验证即可：a.fx1为 fx 向右平移一个单位，正确；b.fx 为 fx 关于 y 轴对称的图像， 正确；c.fx为 fx 正半轴图像不变， 负半轴作与fx正半轴关于 y 轴对称的图像， 正确；d.fx的图像为fx在 x 轴上方的图像不变， 下方图像沿x 轴对称翻折； 而 fx 图像均在 x 轴上方，所以fx应与 fx图像相同；错误答案： d例 10：函数fx3x1 , x1，就以下结论正确选项（）2sinx, x12a.函数 fx 在 1,上为增函数b.函数 fx的最小正周期为4c.函数 fx 是奇函数d.函数 fx 无最小值思路：可观看到fx的图像易于作出，所以考虑先作图，再看

12、由图像能否判定各个选项，如下列图可得：bc 选项错误， d 选项 fx 存在最小值f12 ，所以 d 错误， a 选项是正确的答案： a小炼有话说：（ 1）此题利用数形结合是最为简便的方法，一方面是由于 fx本身便于作图， 另一方面四个选项在图上也有详细的含 义；（2）分段函数作图过程中，特别在函数图象断开时，肯定要留意端点处属于哪个解析式；此题中三、近年模拟题题目精选x1就属于 y2sin2x 部分，所以才存在最小值；1、已知函数fxxa xlg x23, x1 , x1,如 f 1f1,3 ，就 a 2、已知f x x 2 , x 2 sin0,x , 0x， 如 f f x0 3 ，就

13、x0 .3、（ 2021，湖州中学期中）函数f x4 x, x2 ,xx0 , 如0,f faf f a1 ，就实数 a 的取值范畴为（）a 1,0b 1,0c 5,4d 5,44、已知fx2 x1 , x x21 ,xx0，就 fx01的解集为 5、（ 2021，北京）设函数fx2 xa , x14 xax2 a , x1如 a1 ，就 fx 的最小值为 如 fx恰有 2 个零点，就实数a 的取值范畴是 x6, x26、（ 2021，福建）如函数fxa0,a1 的值域是4,，就实3log a x, x2数 a 的取值范畴是 fx， 就 f2flog 2 12（）9d.121log 22x , x17、（ 2021，新课标 ii ）设函数x 12, x1a.3b.6c.3x1, x1f a8、（ 2021，山东）设函数fx2x , x1，就满意ffa2 的 a 的取值范畴是（）a.2 ,13b.0,1c.2 ,3d.1