分类讨论的思想方法---高考题选讲

1、学习必备欢迎下载分类争论的思想方法2- 高考题选讲在解题时， 我们经常会遇到这样一种情形，解到某一步之后，不能再以统一的方法，统 一的式子连续进行了，由于这时被争论的问题包含了多种情形，这就必需在条件所给出的总 区域内， 正确划分如干个子区域，然后分别在多个子区域内进行解题，这里集中表达的是由 大化小，由整体化为部分，由一般化为特别的解决问题的方法，其争论方向基本是“分”，但分类解决问题之后，仍必需把它们总合在一起，这种 “合分合 ”的解决问题的过程，就 是分类争论的思想方法.分类争论的思想是以概念的划分、集合的分类为基础的思想方法，高考对分类争论的思想的考查，有以下几个方面:一是考查有没有分

2、类意识，遇到应当分类的情形，是否想到要分类，什么样的问题需要分类？例如（）有些概念就是分类定义的，如肯定值的概念，又如整数分为奇数、偶数，把三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形等等；（）有的运算法就和定理，公式是分类给出的，例如等比数列的求和公式就分为q=1 和 q1两种情形；对数函数的单调性就分为a>1， a<1 两种情形；求一元二次不等式的解又 分为 a>0， a<0，及 >， =0， <共六种情形；直线方程分为斜率存在与不存在等等；（）图形位置的相对变化也会引起分类，例如两点在同一平面的同侧，异侧，二次函数图象的对称轴相对于定义域的不同位置等；

3、（）对于一些题目如排列组合的计数问题，概率问题又要按题目的特别要求，分成如干情形争论；（）整数的同余类，如把整数分成奇数和偶数等.二是如何分类，即要会科学地分类，分类要标准统一，不重不漏；三是分类之后如何争论；四是如何整合.下面就高考中显现的一些相关题进行点评例 1 解关于 x 的不等式：ax-1x-2 1（ a 1）a-1x-a-2a-2解析 ：原不等式等价于：x-2 0，即 a1x a-1 x 2 0a-2如 a>1，就等价于 x a-1 x 2 0.a-21a-2又 2 a-1 a-1 10， a-1 2a-2原不等式的解集为；，a-2a-1 （ 2,）；a-2a如 a<1

4、时，就等价于x a-1 x 2 0. 由于 2 a-1 a-1 ，学习必备欢迎下载a-2a-2当 0<a<1 时， a-1 >2，原不等式的解集为2，a-1 .a-2a-2当 a<0 时， a-1 <2，原不等式的解集为a-1 ， 2.当 a 0 时，原不等式为x 22 0，解集为.a-2综上所述：当a<0 时，原不等式的解集为；a-1 ， 2；当 a 0 时，原不等式的解集为；a-2当 0<a<1 时,原不等式的解集为2， a-1 a-2当 a>1 时，原不等式的解集为；， a-1 （ 2,） .【点拨 】： 此题需要两级分类，第一级，按

5、开口方向分类分a 1 和 a 1，在 a<1 时，a-2又需要争论两个根2 与a-1 的大小，又分为三类，即a 0，a=0 和 0 a 1.例 2 在等比数列 a 中， s = a+a +a+a ，t= a a aa ，p111+1+，nnn求证： sn =t 2.pnn123nn1 2 3nn=a1+a2a3an解析 ：由所要证明的等式，知须分别求出sn、t n、pn，因此要用等比数列的前n 项和公式，依据公式的要求必需对公比q 进行分类争论 .nnsn nn a1 n2n，22n，sn n21当 q=1 时， sn=na1,t n= a1 ， pn=a ， p =n=a1t n =

6、a1 p =tn ；1na1nnn-11 1- 1 nn+1n2当 q 1 时， sa11-q， tn· q2， pa1qq-q，n=1-qn= a1n=11- q=a1qnq-1 sn= a 2n-1sn n2n nn-1， t 22nnn-1 ，sn n2pn1 q， pn=a1qn = a1q =t n .pn【点拨 】：扎实的基础和严密的推理是进行合理有效的分类争论的前提，课本中的公式比较多， 必需对每一个公式都要有透彻的懂得，对在应用公式解题时是否需要对公式进行分 类争论才能做到心中有数，使解答过程具有完整性.例 3 解关于 x 的不等式3logx-2 2 log aax-

7、1a 0,a 1解析 ；转化为等价不等式组，留意对于log ax 的底数的a 进行争论 .3log ax- 2 0原不等式等价于3logax-2 <2 log2ax -1 2logx-1 >0a学习必备欢迎下载由得 log x a2，由得 log 3x<3或 log a421x>1 ，由得 log x> ，aa232 log 3ax<3或 log 4x>1 ， a当 a>1 时，所求不等式的解集为x|a3 x < a4或 x >a ；32当 0<a<1 时，所求不等式的解集为x| a 4<x a3或 0<x &

8、lt;a .【点拨 】：此题是一道等价转化与分类争论的典型题，解此类根式、对数不等式时，要留意等价性、 不要忽视不等式两边函数的定义域，依据对数函数的性质，对 a 进行分类争论.例 4 如图， 已知一条线段ab，它的两个端点分别在直二面角p- l -q 的两个平面内移动, 如 ab和平面 p、q所成的角分别为、 ，试争论+ 的范畴 .解析 ： 1 当 ab l 时，+ =90 .(2) ab 与 l 不垂直时，在平面p 内作 ac l ，c 为垂足，连结bc，平面 p平面 q， ac平面 q， abc是 ab与平面 q所成的角，即abc= ，在平面 q内作 bd l ，垂足为 d，连结 ad，

9、同理 bad= ，在 rt bda和 rt acb中， bd bc，bdabbc, 即 sin sin bac, ab和 bac均为锐角， bac，而 bac+ =90 ，+ 90 .(3) 如 ab与 l 重合，就+ =0 .综上争论可知0 + 90 .【点拨 】：在几何问题中，争论各元素间的位置关系时，要留意每一个位置关系都不行遗漏，对于多种可能的情形，必需分开来进行争论.例 5 四个男孩和三个女孩站成一列，男孩甲前面至少有一个女孩站着，并且站在这个男孩前面的女孩个数必少于站在他后面的男孩个数的站法共有多少种？解析 ：现在按男孩甲前面的男、女孩数来分类.2 4第一类，甲前面有2 个女孩，其

10、它男孩和另一女孩必需站在甲后面，有a3a4 种 ；1 1 2 4其次类，甲前面有一个女孩和一个男孩，有：c3c3a2a4 种 ；第三，甲前面仅有一个女孩，有：a1 a5 种 ；3 52 41 1 2 41 5满意条件的站法为：a3a4+c3 c3a2a4+a3a5=936 种.【点拨 】： 相当一部分排列组合应用问题需要分类求解，而排列组合应用题中的分类，与其它章节问题中的分类不同，它不是就某个字母的取值范畴不同或图形的外形、位置不同等进行的分类，而是就处理问题的不同方法去分类.sinx|cosx|tanx|cotx|例 6 函数 y=|sinx|cosx |tanx|cotx的值域是 a.-

11、2,4b.-2 ， 0,4c.-2 ， 0，2， 4d.-4 ，-2 ， 0,4解析 ：须依据肯定值的意义去掉肯定值符号，因此必需对角x 所在的象限进行争论. k由题意可知x 2 k z,学习必备欢迎下载1 当 x 在第一象限时，y=1+1+1+1=4；2 当 x 在其次象限时，y=1+-1+-1+-1=-2；3 当 x 在第三象限时，y=-1+-1+1+1=0；4 当 x 在第四象限时，y=-1+1+-1+-1=-2.故值域为 -2,0,4,应选 b.【点拨 】：由于三角函数在各象限内符号不同，依此特点，从不同的象限入手分类争论是解此类题的常见方法.例 7 已知直角坐标平面上点q2，0 和圆

12、 c：x2 +y2=1，动点 m到圆 c 的切线长与 |mq|的比等于常数 0. 求动点 m的轨迹方程，说明它表示什么曲线.解析 ：如图，设mn切圆于 n，就由动点 m组成的集合是：p=m|mn|= |mq|， 0. onmn， |on|=1 ， |mn| 2=|mo| 2-1.设动点 m的坐标为 x,y，就 x 2+y2 1=2 x-22+y2 ，整理，得 2-1x2 +y2-4 2x+4 2+1=0.故 m的轨迹方程是 2-1x2+y2-4 2x+4 2+1=0.5(1) 当 =1 时，方程化为x=4，且交 x 轴于点 5， 0 的直线； 4(2) 当 时，方程化为 x 2 22-1 2+

13、y2=1+3 222，它是以点 2 22，0 为圆心，1+3 22为半径的圆 . -1 -1| -1|【点拨 】：点 m的轨迹方程由已知条件很简单得出，此题考查的重点是曲线的类型，因此，对于含有x 2+y 2 项系数 2-1 是否等于零进行了争论.例 8.设 0<x<1， a>0 且 a 1，比较 |loga 1 x| 与|loga 1 x| 的大小；【分析】比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a 有关，所以对底数 a 分两类情形进行争论；【解】 0<x<1 0<1 x<1 ,1 x>1 当 0<a<1 时， log a

14、 1 x>0 ， log a 1 x<0 ，所以2|loga 1 x| |loga 1 x| log a 1 x log a 1 x log a 1 x>0; 当 a>1 时， log a 1 x<0 ，log a 1 x>0 ，所以|loga 1 x| |loga 1 x| log a 1 x log a 1 x log a 1 x 2 >0 ；由、可知，|loga 1 x|>|loga 1 x| ；【点拨 】此题要求对对数函数y log a x 的单调性的两种情形非常熟识，即当a>1 时其是增函数， 当 0<a<1 时其是减

15、函数； 去肯定值时要判别符号，用到了函数的单调性；最终差值的符号判定，也用到函数的单调性；学习必备欢迎下载例 9.已知集合a 和集合 b 各含有 12 个元素， a b 含有 4 个元素，试求同时满意下面两个 条件的集合c 的个数： . ca b 且 c 中含有 3 个元素；. c a；【分析】由已知并结合集合的概念，c 中的元素分两类：属于a 元素；不属于a而属于 b 的元素；并由含a 中元素的个数1、2、3, 而将取法分三种；【解】c1 · c2 c2 · c1 c3 ·c0 1084128128128【点拨 】此题是排列组合中“包含与排除”的基本问题，正确地

16、解题的前提是合理科学的分类， 达到分类完整及每类互斥的要求，仍有一个关键是要确定c中元素如何取法；另一种解题思路是直接使用“排除法”，即c3 c3 1084；208例10.设 an 是 由 正 数 组 成 的 等 比 数 列 ， s n 是 前n项 和 ； .证 明 ：lg snlg sn 2lgsnclg sn 2c<lgs n 1 ； . 是否存在常数c>0 ，使得2 lg2（s n 1 c）成立？并证明结论；95 年全国理 【分析】要证的不等式和争论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解；其中在应用等比数列前n 项和的公式时，由于公式的要求，分q1 和 q1 两种情形；【

17、解】设a n 的公比 q，就 a 1 >0， q>0222当q 1 时， sn na 1 ，从而s n sn 2 s n 1 na 1 n 2a 1 n 1a 12a 1<0；当 q 1 时， s n a1 11qn q，从而1ss s2a12 1qn 1q n 2 a 2 1qn 1 2 a2 q n <0；nn 2n 11q21q 212由上可得sn sn 2 <sn 1，所以 lgsn s n 2 <lgsn 12 ，即lg snlg sn 2<lgs n 1 ；2lg snclg sn 2c.要使 lg （ s n 1 c ）成立，就必有s n

18、 cs n 2 c 22s n 1 c,分两种情形争论如下：当 q 1 时， sn na1 ，就学习必备欢迎下载22s n cs n 2 c s n 1 c na 1 cn 2a 1 c n 1a 1 c2a 1<0当 q 1 时， s n a1 11qn q，就 sn csn 2 c s c 2 a1 11q n qca1 11q n 2 qc a1 11qn 1 q1 c 2 aq n an 11 c1 q a1 qa1n 0 a1 c1 q 0 即 c 1qa1而 s c sa qn1<0对数式无意义nn1q1qlg snclgsn 2c由上综述，不存在常数c>0,使得

19、 lg （s n 1 c）成立；22【点拨 】 本例由所用公式的适用范畴而导致分类争论；该题文科考生改问题为：证明log0 .5 snlog 0.5 sn2>log 0 .5 s n 1 ，和理科第一问类似，只是所利用的是底数是0.5 时，对数函数为单调递减；例 11.设函数 fx ax 2 2x 2，对于满意1<x<4 的一切 x 值都有 fx>0，求实数 a 的取值范畴；【分析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题，需要先对开口方向争论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类争论，最终综合得解；14x【解】当a>0 时， fx

20、a（ x121） 2aa11 11a4a或14xf 1a22 011f 20aa1 4或af 4 16a82 0 a 1 或11<a<1 或即 a>；22学习必备欢迎下载当 a<0 时，f 1 a22 0，解得 ；f 4 16a82 0当 a 0 时， fx 2x 2, f1 0， f4 6， 不合题意1由上而得，实数a 的取值范畴是a>；2【点拨 】此题分两级争论，先对打算开口方向的二次项系数 a 分 a>0、a<0、a 0 三种情形， 再每种情形结合二次函数的图像， 在 a>0 时将对称轴与闭区间的关系分三种， 即在闭区间左边、右边、中间；此

21、题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看成是“数形结合法”的运用；x例 12.解不等式4a x6a1>0 a为常数， a2a12【分析】含参数的不等式，参数a 打算了 2a1 的符号和两根4a、6a 的大小，故对参数 a 分四种情形a>0、 a 0、1<a<0、a<21分别加以争论；2【解】 2a 1>0 时， a>1； 4a<6a 时， a>0 ；所以分以下四种情形争论：2当 a>0 时， x 4ax 6a>0 ，解得： x< 4a 或 x>6a； 当 a 0 时， x 2 >0，解得： x 0

22、；1当<a<0 时， x 4ax 6a>0 ，解得 : x<6a或 x> 4a；2当 a>1时， x 4ax 6a<0 ，解得： 6a<x< 4a ；2综上所述，当a>0 时， x<4a 或 x>6a；当 a 0 时， x 0；当1<a<0 时， x<6a 或 x>24a；当 a>1时， 6a<x< 4a ；2【点拨 】 此题的关键是确定对参数a 分四种情形进行争论，做到不重不漏；一般地，遇到题目中含有参数的问题，经常结合参数的意义及对结果的影响而进行分类争论，此种题型为含参型；例

23、 13.设 a0, 在复数集c 中，解方程： z 2 2|z| a ；【分析】由已知z 2 2|z|a 和|z| r 可以得到z 2 r，即对 z 分实数、纯虚数两种情形进行争论求解；学习必备欢迎下载【解】 |z| r，由 z 2 2|z| a 得： z 2 r； z 为实数或纯虚数当 z r 时， |z|2 2|z|a, 解得： |z| 11a z ± 11a ；当 z 为纯虚数时， 设 z ± y y>0， y 2 2y a解得：y 1±1a（ 0a 1）由上可得， z ± 11a 或± 1 ±1a 【点拨 】此题用标准解法（设zx y 再代入原式得到一个方程组，再解方程组）过程非常