分类讨论与一元二次不等式

1、学习必备欢迎下载思想方法选讲之二分类争论与含参数的一元二次不等式基础学问预备：解以下一元二次不等式（1）x2 6x+8<0（2）x+53 2x 622（3）1+2x+x 0（4）x 22 x302（5） 4 x4x10（6）1+2x+x 0（ 7） x2x61 x20数学思想渗透：含参数的一元二次不等式是一元二次不等式求解问题的一个难点；含参数的一元二次不等式由于其系数中显现了参数，因此往往需要对参数不同取值进行分类争论从而加以求解；一般情形下，含参数的一元二次不等式的分类和争论步骤如下：（ 1）对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要留意对二次项系数是否为零的争论，当特殊当二次项系数为

2、零时需转化为一元一次不等式问题来求解；（ 2）对含参数的一元二次不等式，在其解的情形不明确的情形下，需要对其判别式分0,0,0 三种情形加以争论；（ 3）如含参数的一元二次不等式可以转化成用其根x1 , x2 表示的形如a xx1 xx2 的形式时，往往需要对其根分x1x2 , x1x2 , x1x2 三种情形进行争论，或用韦达定理帮助求解；为了提高解题效率，往往仍要结合二次函数的图像，进而精确求解；一、对根的情形及判别式分类争论例 1 解关于 x 的不等式2 x2kxk0 ；解：k 28kk k8学习必备欢迎下载 当0 即 k0或k8 时，方程2 x2kxk0 有两个不相等的实数根，就该kk

3、 k8kk k8不等式的解集为x |x；44 当0 即 k0或k8 时，方程2 x2kxk0 有两个相等的实数根，就该不等式的解集为x | x0,或x2 ； 当0 即8k0 时，方程2 x2kxk0 无实数根， 就该不等式的解集为；注：此题由于方程2 x2kxk0 根的情形不确定，就需要对其判别式进行分类争论；例 2解关于 x 的不等式 m3 x22mxm20 ；解：当 m30 即 m3 时，上述不等式可化简为6x50 ，此时不等式的解集为x | x5；6 当 m30即 m3 时，4m 24m3m246m ；（ 1）当 0 ，即 m6 时，如 m30 即 m3 ，就此时不等式的解集为r ；如

4、m30 即 m3 ，就此时不等式的解集为；（ 2）当 0 ，即 m6 时，如 m30 即 m3 ，就此时不等式的解集为x | x2；如 m330 即 m3 ，就此时不等式的解集为；（ 3）当 >0，即3m6 时，如m30即m3，就此时不等式的解集为x | xm6m 或x m3m6mm3；如 m30 即 m3 ，就此时不等式的解集为m6mx |xm3m6m；m3注：当二次项系数有参数且有可能为零时，第一需要对二次项是否为零进行争论；此题中，由于含参数的一元二次不等式的根的情形不确定，因此需要对其判别式进行争论；二、对根的大小情形分类争论例 3 解关于 x 的不等式 xx212 xa0 ；解

5、：将二次项系数化正可得， x2x12 xa 0 ，即 x4 x3xa 0方程 x4 x3 xa 0 的根为：3, 4,a ；下面对方程根的大小进行争论学习必备欢迎下载 当a4 ，即 a4 时，各根在数轴上的分布即穿线如下：此时，不等式的解集为x |3x4或xa 当3a4 ，即4a3 时，各根在数轴上的分布即穿线如下：此时，不等式的解集为x |3xa或x4 当a3 ，即 a3 时，各根在数轴上的分布即穿线如下：此时，不等式的解集为x |ax3或x4 当a4 ，即 a4 时，各根在数轴上的分布即穿线如下：此时，不等式的解集为x | x3且x4 当a3 ，即 a3 时，各根在数轴上的分布即穿线如下：

6、此时，不等式的解集为x | x4注：此题虽然是一元三次不等式求解问题，但是该一元三次不等式通过因式分解可以转化成形如a xb xc xd 的形式， 利用数轴， 通过对三个根大小的分类争论，来进行不等式求解；例 4解 x 的不等式ax 22 a1 x40 ；解：当 a0 时，原不等式可化简为2x40 ，此时不等式的解集为 x | x2 当 a0时，原不等式可转化为 ax2x20（ 1）当 a0 时，有x2 x a20如 22 即 0aa1 ，此时不等式的解集为x | x2或x2；a如 22 即 aa如 22 即 aa1 ，此时不等式的解集为1 ，此时不等式的解集为 x | xx | x2 .2或

7、x2；a学习必备欢迎下载（ 2 ） 当 a20 时 ， 有x2x a202， 且02 a， 此 时 不 等 式 的 解 集 为x |x2；a注：此题在对二次项系数是否为零进行争论的基础上，由于此题的一元二次不等式可以进行因式分解，因此需要对其根的大小进行争论；特殊留意在从 ax2 x2 化简到x2x a2 的过程中， 由于不等式两边同时除了a ，因此需要对 a 是否非零以及正负情况加以分类分析；例 5 解关于 x 的不等式a x212 x分析：原不等式可化为ax 22 xa0 ，由于ax 22 xa 不能因式分解，所以也就不知道函数yax 22 xa 与 x 轴是否有交点，就需要对判别式进行分

8、类争论，又由于yax22 xa 的开口方向不定，仍需对二次项系数a 进行分类争论，积于这两个缘由，参数 a 在数轴上应有三个敏锐点，一是由0 得到 a1 两个点，另一个为a0 ，这样参数 a 在数轴上将被分成以下几个区间：（ - ， -1 ）（ -1 ， 0）（ 0， 1）（1， +），详细解法如下解：当 a的解集为1时0 ，函数 yax 22 xa 开口向下且与x 轴没有交点原不等式当 a1时0 ，函数 yax 22 xa 开口向下且与x 轴有一个交点原不等式的解集为当1a0 时0 ，函数 yax 22 xa 开口向下且与x 轴有两个交点原不等1式的解为1a 21xa1 a 2a当 a0 时

9、原不等式化为2x0 x0当 0a1时0 ，函数 yax22axa 开口向上且与x 轴有两个交点原不等式的解为 x11a 21或xa1 a 2；a当 a1 时0 ，函数 yax22 xa 开口向上，且与x 轴只有一个交点原不等式的解集为x | x12a当 a1 时0 ，函数 yax22 xa 开口向上且与x 轴没有交点原不等式的解集为 r综上所述：当a当 a1 时原不等式的解集为1时原不等式的解集为11a 211a2当1a0 时原不等式的解集为x |xaa当 a0 时原不等式化为2x0原不等式的解集为x |x0学习必备欢迎下载当 0a1时原不等式的解集为x |x11a 21或xa1a 2；a当 a1 时原不等式的解集为1x | x2a当 a1 时原不等式的解集为r结论： 由以上例子可以看出，对于参数没有限定范畴的含参一元二次不等式其解法主要 分两种情形；一种是能够进行因式分解的，此类无需对进行争论，只需依据二次项系数及根的大小找出参数a 的敏锐点， 依据其敏锐点将参数a 在数轴上划开， 而后从左至右逐项争论；另一种情形是不能因式分解的不等式就需依据0 及二次项的系数找出参数a 的敏锐点，之后依据其敏锐点从左至右逐项争论；总结： 利用分类争论的方法求解含参数一元二次不等式问题时，往往需要进行一次以上的分类争论；一般情形下，如二次项系数有参数的，先对二次项系数是