待定系数法求解析式

1、让我们一起为了孩子的进步而努力！纳思书院Nice Education 教师姓名学科上课时间讲义序号(同一学生)学生姓名年级学生签字日期课题名称待定系数法求函数解析式教学目标1.了解二次函数与二次方程的相互关系.2.探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性3·用待定系数法求二次函数解析式教学重点 难点难点：二次函数解析式的求法难点：求二次函数的解析式，准确找到用哪种形式。课前检查作业完成情况：优 良 中 差 建议_教学过程教学过程知识点一：二次函数性质.归纳: 二次函数y=ax2+bx+c(a

2、0)的图象和性质(1).顶点坐标与对称轴(2).位置与开口方向(3).增减性与最值当a 0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；当 时，函数y有最小值 。当a 0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。当 时，函数y有最大值 知识点二：.探索二次函数与一元二次方程 若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（ x1，0），B（x2,0）二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.(1).每个图象与x轴有几个交点？

3、(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?归纳: (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: 有两个交点, 有一个交点, 没有交点. 当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.当b2-4ac0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0=ax2+bx+c的两个根x1与 x2；当b2-4ac=0时，

4、抛物线与x轴有且只有一个公共点当b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。举例: 求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。.例题教学:例1: 已知函数写出函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点，以及图像与y轴的交点关于图象对称轴的对称点。(2)自变量x在什么范围内时， y随着x的增大而增大？何时y随着x的增大而减少；并求出函数的最大值或最小值。知识点三：待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法一般地,在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x,y的值)可设

5、解析式为y=ax2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解;在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设解析式为y=a(x-h)2+k;在所给条件中已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标和对称轴,则可设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)来求解.会构建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题,应用数形结合思想来解决有关的综合性问题 顶点式：y=a(x-h)2+k(a0)二次函数 待定系数法确定函数解析式 一般式：y=ax2+bx+c(a0) 两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0) 【典型例题精析】 一般式：例1 已知二次函数的图象经过A(-1,3)、B(1,3)

6、、C(2,6); 求它的解析式。分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.解:设解析式为y=ax2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得 解得 解析式为y=x2+2.变式：已知一个二次函数，当x=-1时，y=3；当x=1时，y=3；当x=2时，y=6。求这个二次函数的解析式。顶点式：例2 已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。 分析：二次函数yax2bxc通过配方可得ya(x-h)2k的形式称为顶点式，(h，k)为抛物线的顶点坐标，因

7、为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为： ya(x8)29 由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a的值。 请同学们完成本例的解答。变式1：已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8，求它的解析式。解法1:由A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为x=1,所以顶点为(1,-8).设解析式为y=a(x-h)2+k,即y=a(x-1)2-8. 把x=-1,y=0代入上式得0=a(-2)2-8,a=2. 即解析式为y=2(x-1)2-8,即y=2x2-4x-6.解法2:设解析式为y=a(x+1)(x-3),

8、确定顶点为(1,-8)同上,把x=1,y=-8代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得a=2,解析式为y=2x2-4x-6.解法3:图象过A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a. 函数有最小值-8. =-8. 又a0,a=2.解析式为y=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6.变式2： 已知抛物线对称轴是直线x2，且经过(3，1)和(0，5)两点，求二次函数的关系式。解法1：设所求二次函数的解析式是yax2bxc， 因为二次函数的图象过点(0，5)，可求得c5， 又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是直线x2，可以得 解这

9、个方程组，得： 所以所求的二次函数的关系式为y2x28x5。解法二：设所求二次函数的关系式为ya(x2)2k， 由于二次函数的图象经过(3，1)和(0，5)两点，可以得到 解这个方程组，得： 所以，所求二次函数的关系式为y2(x2)23，即y2x28x5。变式3：已知抛物线的顶点是(2，4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。解法1：设所求的函数关系式为ya(xh)2k，依题意，得ya(x2)24 因为抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为4，所以抛物线过点(0，4)，于是a(02)244，解得a2。所以，所求二次函数的关系式为y2(x2)24，即y2x28x4。解法2：设所求二次函数

10、的关系式为yax2bxc?依题意，得 解这个方程组，得： 所以，所求二次函数关系式为y2x28x4。变式4：一条抛物线经过点与。求这条抛物线的解析式。 两根式：例3 已知二次函数的图象顶点坐标是(-1,9),与x轴两交点间的距离是6.求它的解析式。分析:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是x=-1,又图象与x轴两交点的距离为6,即AB=6.由抛物线的对称性可得A、B两点坐标分别为A(-4,0),B(2,0),设出两根式y=a(x-x1)·(x-x2),将A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为y=-x2-2x+8.变式： 已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是

11、x1=3，x2=1，且与y轴交点为(0，3)，求这个二次函数解析式。当堂练习：1. 已知二次函数当x3时，有最大值1，且当x0时，y3，求二次函数的关系式。 2已知二次函数yx2pxq的图象的顶点坐标是(5，2)，求二次函数关系式。 3. 已知抛物线的顶点坐标为(1，3)，与y轴交点为(0，5)，求二次函数的关系式。 4函数yx2pxq的最小值是4，且当x2时，y5，求p和q。 5若抛物线yx2bxc的最高点为(1，3)，求b和c。 6已知二次函数yax2bxc的图象经过A(0，1)，B(1，0)，C(1，0)，那么此函数的关系式是_。如果y随x的增大而减少，那么自变量x的变化范围是_。 7已

12、知二次函数yax2bxc的图象过A(0，5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x2，求这个二次函数的关系式。 8·一条抛物线yax2bxc经过点(0，0)与(12，0)，最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。9、如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（8，0）（0，4），求这个抛物线的解析式。延伸中中考、在平面直角坐标系中， AOB的位置如图所示，已知AOB90°，AOBO，点A的坐标为（3,1）。（1）求点B的坐标。（2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式；（3）设点B关于抛物线的对称轴的对称点为B1，求AB1B的面积。课后学生作业布置（手写）根据下列条件求二次函数解析式 （1）已知一个二次函数的图象经过了点A（0，1），B（1，0），C（1，2）；（2）已知抛物线顶点P(1