从优化思维到借题发挥--专业论文

1、从优化思维到借题发挥卜以楼学习数学离不开解题.华罗庚说过，学数学不解题，犹如入宝山而空返.大师一语道出 了数学解题的重要性，而数学解题教学却乂常常陷入下列怪圈：许多学牛课堂上一听就会, 课后练习一做就错.会而不对，对而不全，全而不简，己成为一部分学生解题的通病.岀现 这种问题的根源在于：教学中，往往对问题解决只是展现解法、展现思路，对思路的寻找过 程以及为什么要这样解、怎样想到这样解重视不够，对解决问题屮思维与策略的自然性与合 理性揭示不够，给人以“买犊还珠”的感觉.因此，我们在教学屮，要髙位理解数学、理解 学生、理解数学教学，高度把握数学习题（问题）的本质，深入挖掘数学习题的教育价值, 既要

2、优化解题思路，乂要借题发挥，对习题（问题）进行变式、延伸和拓展，让学生的数学思维在解数v习题中静静地流淌.1问题再现我校八年级（上）期中测验，命题者编制了下列试题： 如图1 ,点0是等边mbc内一点，zaob = 105° ,zboc = a ,将boc绕点c点按顺时针方向旋转60° ,得 mdc,连接 od.（1）试判断cod的形状，并说明理由；（2）当仅= 150°时，试判断mod的形状，并说明理由；（3）探究：当&为多少度时，aod是等腰三允形？2解法探究2. 1问题立意对丁问题（1）要求学牛能运用图形旋转不变性，得到aocd是等边三角形. 而问题（

3、2）要求学生能挖掘出图形衣旋转过程中，始终存在下列两个等量关系，即:由 zaob + zboc + zcod + zdoa = 360°, zadc = zboc .可得q + zzxz4 = 195。,zoda + 60° = a.当a = 150°时，有zoad = 45°, zodc = 90°,显然aoda为等腰直角三角形.对于问题（3）要求学生能根据上述两个等量关系，对该问题运用分类的思想方法进行 如下探索.设zaod = 0 当zoad为顶角，则有zaod = zado = /3 .a + 0 = 195。,0 + 60。“.解得a

4、 = 127.5°,0 = 67.5。.当zaod为顶角时，有zoad = zado =甌一卩2a+ 0 = 195。,180。-02+ 60° = a.解得a = 105°,0 = 90°.当zoda为顶角，则有zaod = zdao = p .解得a - 150°,0 = 45°.j & + 0 = 195。， 180。20+ 60。= a.当 <7, =127.5°, cr2 = 105°, «3 = 1500 时，aod 为等腰三角形.2. 2优化思路在进行试题分析和试卷评讲中，我们

5、发现有必要优化上述的解题思路.这是因为有不少 同学认为，只有当a = 150°时,才有zoad = 45°这样的结论，因而有必要对问题（3）用 上述提供的方法（即川方程组）去解决.若把解题的结杲也当作问题的信息，可以得到：当zoad为顶角时，则oad的三角分别为45°, 67.5°, 67.5°；若当zaod为顶 角时和当zoda为顶角时，oad的三角都为90°, 45°, 45°.即不论°为多少时，总 有 zoad = 45° 反思本题的内在逻辑关系，我们有zaod = 195°-a

6、 , zoda = «-60° ,显然 zaod + zoda = 35则必有zoad = 45°,也就是说zoad与如&的人小无关.这样在解决第（3）问时，我们就没有必要运用方程组解决问题.综上，本题第（3）部的求解过程对做如下优化.v zaod = 195°-a f zoda = a-60°；当 zoad 为顶角时，有 195° a = a 60°, a = 127.5°.当 zaod 为顶角时，有 180（,-（195（,-cr） = 2（6z-60°）, = 1°5°.

7、当 zoda 为顶角时，有 q 60° = 2（195°q）, = 150°.上述解题过程再反思，条件ado a = 45°仍没有得到充分利用.若放大该条件，如图2, 在 aod 中，zoad = 45°, zaod = 95 - a , zoda = a-60 则解题过程又可优化为下列形式：当 oad 为顶角时,有 2(195°q) = 135°, a = 127.5°. 当zaod 为顶角时，有67-60° =45°,<7 = 105°.当 zoda 为顶角时，有 195&#

8、176; a = 45°,« = 1500.2. 3借题发挥木题提供了丰富的图形背景和数量关系，在评讲试卷时，借题发挥，对问题进行变式、 拓展，与学牛一起探究.笔者在原问题的基础上进行了如下尝试.(4) 当q为多少度时，ac丄0d.解析：aocd为等边三角形，若ac丄od ,则 ac 是 0d 的垂宜平分线，则 oa = adf 即 zaod = zado , cr = 127.5°.(5) 四边形aocd可能为梯形吗？可能为等腰梯形吗？解析：若四边形aocd为梯形，则分以下两种情况进行讨论：®cd/ a0,由于 zoad = 45°,则 za

9、z)c = 135°,即 cr = 135°,此时 zaoc = 360° - 105°-135° = 120°, zoad + zaoc = 45° + 120° = 165°. 即ad不与oc平行当& = 135°时,四边形aocd为梯形.而zoad = 45 za(?c = 120°, a四边形aocd只能是梯形，不可能是等腰梯形. ad/oc ,山于 zoad = 45°,则乙4oc = 135°,则 a = 360° 一 105°

10、;-135° = 120°.此时z.oad = 45° , zadc = a =120°,即 ao不与cd平行.当= 120° 时，四边形 aocd 为梯形.而 zoad = 45°, zadc = « = 120°,四边形aocd只能是梯形，不可能是等腰梯形.(6) 将zaob的度数由105°调整到多少度时，zoad = 60°.解析：设 zaob = xf 则 zaoz) = 300°-6z-x, zado = a-60°, zaod + zado = (300°

11、;-«-%) + («-60°) = 240° 一兀，又 zoad = 60° , a 240° - x = 180° - 60° ,则 x = 120°.故当 za(?b = 120° 时，zoad = 60°.(7) 四边形aodc可能为平行四边形吗？若不能，在不改变题目要义的基础上，怎样 改造本题的条件，才能使四边形aodc为平行四边形？解析：首先，判断四边形aodc是不是平行四边形.我们知道，zoad = 45°, aocd = 60°,则 zoad h z

12、ocd ,二四边形 oadc 不 可能为平行四边形；其次，在不改变题h耍义的基础上，研究改造本题条件的方法策略.反观木题，共有三个条件，一是abc为等边三角形；二是zaob = 05 三是将 boc绕点c点按顺时针方向旋转60°.而将aboc绕c点按顺时针方向旋转60°,是为 了让线段bc与ac重合而设计的，或者说abc为等边三和形是为将aboc绕c点按顺 时针方向旋转60°时，使线段bc与4c重合的保障，因此，为了不改变原题的命题本意， 一要在“aabc是等边三角形”这一大背景下(此时为了让线段bc与ac sl合，旋转角 只能为60°),对“ zaob

13、的度数”这个可变条件进行改造；二要在“ mbc是等腰三角形”这一大背景下(此时为了让线段bct ac重合，旋转角不一定为60° ,则需 ac = bc ),对“ zaob的度数”和“旋转角的度数”这两个可变条件进行改造.现在按照上述方法策略改造条件.(1) 在“ mbc是等边三和形”这一人背景下，“旋转和为60° ”这个条件不变，改变 “ aaob = 105° ”这个条件. zboc = zadc = a ； zocd = 60°,若四边形aodc为平行四边形，则zaoc = 120°. zaob = 360° -120°

14、 -120° = 120°.则在aabc是等边三角形”这一大背景下，“旋转角为60° ”这个条件不变的情况下， 将zaob调整为120°时，四边形aodc为平行四边形.(2) 在“ aabc是等腰三角形”这一大背景下，对“ zaob的度数”和“旋转角的 度数”这两个可变条件进行改造.在此背景下，由于涉及到改变两个条件，我们不妨运川科学研究屮的“控制变量法”的 思想方法，对原命题进行改造和探究.显然，一是研究只改变两个条件中的一个条件的情况, 二是研究两个条件都改变的情况.控制“旋转角为60°”这个条件不变，改变“zaob = 105°

15、”这个条件.在旋转角为60°的限制下，要保证线段bc与4c重合，则aabc必为等边三角形，根 据上述结论，显然有将zaob调整为120°时，四边形aodc为平行四边形.控制“ aaob = 105° ”这个条件不变，改变“旋转角的度数”这个条件(图3).v zaoc = 255°-a9 003 = 105°, zboc = zadc = a ；若四边形aodc为平行四边形，则zaoc = zadc 9：zaoc = a.即255°-a = a, a = 127.5°. zocd = 180°-a = 180

16、6; -127.5° = 52.5°则当ac = bc时，在aaob = 105°这个条件不变的 情况下，将boc绕点c按顺时针旋转52.5°时，四边形 aodc为平行四边形.“ zaob = 105° ”和“旋转角为60° ”这两个条件都改变”.在图3中，若设zboc = a ,乙aob =卩、zoca = yf则旋转角为2八 若四边形aodc为平行四边形，则 zaoc = zadc = a, zbco = zaco = zacd = a,则冇cr + 2/ = 180°,2& + 0 = 360°.我们

17、可通过赋q的值，求出“，2/的值，从而确定aaob和旋转角的人小.3教学启示3.1要引导学生对习题进行一题多解引导学牛一题多解，就是引领学牛多角度看待同一问题，运用不同的路径去解决同一个问 题.只有让学生挖掘出不同的解题方法和解题路径，为学生提供优化解题方法的皋础，提供选 择解题路径的条件，学生才会有优化解题的思维过程的欲槊和冲动，才会对比这些方法的优劣、 分析这些路径的曲直，比鮫这些策略的高低.最为关键的是学牛在这些思维过程和活动中，看 清了问题的木质，学会了思考问题的方法，领悟了解决问题的策略，提升了有效思维的水平.3. 2要引导学生对解题过程进行优化引导学牛优化解题过程，就是要让学生在解决问题屮，学会删除不必要的或者是迂冋的解 题过程，让学生关注知识交义点、方法的关联点、思维的高峰点，使学生站衣思维的山巅上, “一览众出小”.优化解题过程，还要求学生不要急于获収解决问题的结果，满足于问题的解 决，而是要让学生用审视的眼光，反思解决问题的思想方法，反观解决问题的方法路径，达到 增加优化意识，提升思维水平的目的，这止是数学教学终极目标在教学中的具体休现.现在的问题是，我们在教学中要舍得花时间让学生有反思、优化的时间，在教学中要精 选问题，让学牛有反思、优化的载体，在教学中耍沉下心来，与学牛一起探讨问题的方法策 略，让学生右反思、优化的空间，这才是突破数学教学的关键举措之一.3