初三几何8旋转4.综合应用教师

1、2021年中考解决方案旋转 4综合应用同学姓名：上课时间：毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破 .旋转 4.老师版page 1 of 21旋转 4中考说明内容基本要求略高要求较高要求明白图形的旋转，懂得对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成旋转的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形能按要求作出简洁平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角能 运 用 旋 转 的 学问解决简洁问题中考满分必做题在做与旋转相关的题目时，利用题目中的中点构造中位线ccgffddoababa eebehhgodadbcec【例 1】直角三角形abc 中a90 ，ab6，b

2、c8 ；p 为 bc 的中点，abc 围着点 p 逆时针旋转90到def ，求重叠部分pqkr 的面积afkrbqpcde【答案】 9af【解析】过点p 做 pmdf、pnac 垂足为 m 、 n krabc 围着点 p 逆时针旋转90 到def ， pmpn n m又mpqrpm90 ，mprprn90mpqprn pmq pnr bqpc sspn 2129 d四边形 pqkr正方形 pmknab 2e【例 2】在图 1 至图 3 中，点 b 是线段 ac 的中点，点d 是线段 ce 的中点四边形bcgf 和 cdhn 都是正方形ae 的中点是 m （ 1）如图 1，点 e 在 ac 的延

3、长线上， 点 n 与点 g 重合时， 点 m 与点 c 重合， 求证： fmmh ，毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破 .旋转 4.老师版page 2 of 21fmmh ；（ 2）将图 1 中的 ce 绕点 c 顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：fmh 是等腰直角三角形；（ 3）将图 2 中的 ce 缩短到图 3 的情形，fmh 仍是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）fgnfgnfghnhbbchacdadabcmde图1m图2em图3e【答案】（ 1）证明： 四边形 bcgf 和 cdhn 都是正方形， 又 点 n 与点 g 重合，点 m 与点 c 重合， fbbmmgmdd

4、h ，fbmmdh90fbm mdh fmmh fmbdmh45 ，fmh90 fmhm （ 2）证明：连接mb 、 md ，如图，设fm 与 ac 交于点 p b、d、m 分别是 ac、ce、ae 的中点，fgn md bc ，h且 mdbcbf ； mb cd ，bp且 mbcddh ac 四边形 bcdm 是平行四边形dmcbmcdm e又fbphdc ，fbmmdh fbm mdh fmmh ，且mfbhmd fmhfmdhmdapmmfbfbp90 fmh 是等腰直角三角形（ 3）是【例 3】如abc 和 ade 均为等边三角形，m 、n 分别是 be、cd 的中点1当 ade 绕

5、a 点旋转到如图 的位置时，求证：cd =be， amn 是等边三角形；2 如图 ，当 eab=30 °， ab 12，ad = 23 时，求 am 的长（ 11 年朝阳二模）毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破 .旋转 4.老师版page 3 of 21ccnnddeemmabab图 1图 2【答案】（1）证明： abc 和 ade 均为等边三角形， ab=ac ，ae=ad ，bac= ead=60° . bae= bac-eac ，dac= ead- eac， bae= dac. abe acd . cd=be.abe= acd m 、n 分别是 be、cd

6、 的中点，即bm= bm= cn .又 ab=ac ， abm acn am =an， mab =nac 11be， cn =22cd. nam= nac+ cam= mab + cam= cab=60°c amn 是等边三角形n（ 2）解：作ef ab 于点 f，在 rt aef 中，d eab =30°， ae=ad= 23 ，e ef =3 . m 是 be 中点，作 mh ab 于点 h ，m mh ef ， mh=13ef =22afphb取 ab 中点 p，连接 mp ，就 mp ae ， mp= mph =30°， mp =3 1ae.2 在 rt

7、mph 中， ph=315. ah=ap+ph =.2在 rt amh 中 ， amah 22mh 257 .毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破 .旋转 4.老师版page 4 of 21中心【例 4】如图，四边形abcd 、a1b1c1d1 是两个边长分别为5 和 1 且中心重合的正方形其中，正方形a1b1c1d1 可以绕中心o 旋转 ,正方形 abcd 静止不动（ 1）如图 1，当d、d1、 b1、 b 四点共线时，四边形dcc 1d1 的面积为；（ 2）如图 2，当d、d1、a1三点共线时，请直接写出cd1 dd 1= ；（ 3）在正方形a1b1c1 d1 绕中心 o 旋转的

8、过程中， 直线cc1 与直线dd1 的位置关系是 ,请借助图3 证明你的猜想dcdcdcc1c1d1c1b1a1obd 1ob 1o1d1a1a 1ababab【答案】（ 1） s图 1图 2图1=152 =6；2四边形 dcc 1d1dc（ 2）cd1dd 1= 4 ；3c1（ 3） cc1dd1 b1证明：连接co, do ,c1o, d1o ，延长mod1acc1 交 dd1 于 m 点.如下列图：1由正方形的性质可知：codoc1od1oabocodc1od145codc1odc1od1c1od ，即：coc1dod1 coc1 dod1odd1occ1oqc1cdocc1cdo90c

9、1cdodd 1cdo90ocmd90o即：cc1dd1 毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破 .旋转 4.老师版page 5 of 21中点倍长类旋转180oadfbeh【例 5】如图，在 abc 外面作正方形abef 与 acgh ，ad 为 abc 的高，其反向延长线交fh 于 m ，求证： 1 bhcf ； 2 mfmhfmhaegbdc【答案】证明 abh afc ；（ 1）作 fpmd 于 p ， hqmd 于q ，先证 afp bad ， acd haq ， 再证 fpm hqm【例 6】如图，在矩形abcd 中, 点 f 在 ad 延长线上，且df = dc , m

10、为 ab 边上一点 , n 为 md 的中 点, 点 e 在直线 cf 上（点 e、c 不重合） .且如 ab=bc, 点 m、a 不重合 , bn=ne，摸索究 bn 与ne 的位置关系及ce 的值 , 并证明你的结论; bmbcemnadf【答案】如图，延长bn bn 交 cd 的延长线于点g ，连结 be 、 ge ，过 e 作 eh ce ，交 cd 于点 h bc 四边形 abcd 是矩形，ab cg embndgn ，bmngdnmhn 为 md 的中点，nadfmndn bmn gdn mbdg , bngn .gbnne ，bnneng .毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何

11、模块突破 .旋转 4.老师版page 6 of 21beg90o ehce ，ceh90o beggeh becgeh 由（ 1）得dcf45o chehce45o eceh ,ehg135o ecddcbhce135o ， ecb= ehg ecb ehg ebeg , cbhg bnng ，bn ne . bmdghghdbchdcdhdch2ce ce2 .bm2【例 7】已知任意abc ，分别以ab、ac 为边作abe ， acf ，（ 1）如图 a，如 eab、 fac是以点 a 为直角顶点的等腰三角形，取 bc 中点 d ，连接 ad 、ef ，求证： ef2ad（ 2）在第（ 1

12、）问的条件下，过点a 做 bc 边的垂线，交ef 于点 g ，就 egfg（ 3） 在 bc 边上有一动点p ，连接 ap ，以 ap 为腰， a 为直角顶点，作等腰直角三角形apq ，连接 qc ，如要使的qcbc ，求acb 的度数eegaqfafabdc图ab 图b hcbpc【答案】（ 3） 45【例 8】已知：在 rt abc 中， ab=bc，在 rt ade 中， ad=de，连结 ec，取 ec 的中点 m ，连结 dm和 bm （1）如点 d 在边 ac 上，点 e 在边 ab 上且与点b 不重合，如图，探究bm 、dm 的关系并赐予证明；（2）假如将图中的 ade 绕点 a

13、 逆时针旋转小于45°的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成立？假如不成立，请举出反例；假如成立，请赐予证明毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破 .旋转 4.老师版page 7 of 21bebedmmadcac【解析】（ 1）提示：直角三角形斜边上的中线；（ 2）可用中点倍长即旋转180o ；亦可用中位线法：要证dm 与 bm 的关系，只需要将d、b 构造成线段的中点，帮助线如下图geamdbcf【巩固】 如图 1，在 acb 和aed 中， ac=bc， ae=de， acb aed 90°,点 e 在 ab 上，f 是线段 bd 的中点，连结ce、fe .（

14、 1）请你探究线段ce 与 fe 之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；（ 2）将图 1 中的 aed 绕点 a 顺时针旋转，使 aed 的一边 ae 恰好与 acb 的边 ac 在同一条直线上（如图2），连结 bd 取 bd 的中点 f ，问（ 1）中的结论是否仍旧成立，并说明理 由；（ 3）将图 1 中的 aed 绕点 a 顺时针旋转任意的角度（如图3），连结 bd ，取 bd 的中点 f ，问（ 1）中的结论是否仍旧成立，并说明理由aaaeededffcbcdfbcb图1图2图3【解析】倍长即旋转180o 略第三问亦可用中位线法毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破 .旋

15、转 4.老师版page 8 of 21ahedfgcb【例 9】在 rt abc 中， acb =90°， tan bac= 12. 点 d 在边 ac 上（不与a， c 重合），连结 bd，f 为 bd 中点 .如将图 1 中的 ade 绕点 a 旋转，使得d 、e、b 三点共线，点f 仍 为 bd 中点如图 2 所示求证：be-de=2 cf；aaadeedffcbcbcb图 1图 2备图【解析】倍长即旋转180o 略第三问亦可用中位线法：构造帮助线，证adg ahb adehfgcb【巩固】在正方形abcd 的边 ab 上任取一点e，作 ef ab 交 bd 于点 f，如图 1

16、（ 1）将图 1 中的 bef 绕点 b 逆时针旋转90°，取 df 的中点 g，连接 eg， cg，如图 2，就线段eg 和 cg 有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想；（ 2）将图 1 中的 bef 绕点 b 逆时针旋转180°，取 df 的中点 g，连接 eg， cg，如图 3，就线段 eg 和 cg 有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明；（ 3）将图 1 中的 bef 绕点 b 逆时针旋转任意角度，取df 的中点 g，连接 eg， cg，如图 4，就线段 eg 和 cg 又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明毕业班解决方

17、案模块课程初三数学 .几何模块突破 .旋转 4.老师版page 9 of 21adadadadgfgefgfb cebc bcbc efe图 1图 2图 3图 4【解析】（ 1） egcg ， egcg ad（ 2） egcg ， egcg证明：如图3，延长 fe 交 dc 延长线于 h ，连接 ghgfaeh90o ，ecb90o ,bch90o ， 四边形 behch是矩形， be=ch ，又 beef , efchehc90oebcehc90o ， fgdg , hg1 dfg2 bceh , bcc ， ehcd图 2 efch ， fhdh ， f45o又 fgdg ， chg1eh

18、c 245oadfchg ， efg chg egcg ，egfcghgfhc90o ， fhdh , fgdg ， hgdfegfeghcghegh90o90o ，即egcbc90o egcg feh图 3（ 3） egcg ， egcg方法一（旋转思想） ：如图 4，延长 cg 至 h ，使 ghcg ，h连 接 hf 、 he 、 ecad fgdg ，hgfcgd ， ghgc ， hfg cdgg hfcd ,ghfgcd ， hf cd 正方形 abcd ， hfbc ， hfbcfbef 是等腰直角三角形， efbe ， efbebchfecbe ， hfe cbee ehec

19、,fehbec ， hecbef90o ,毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破 .旋转 4.老师版page 10 of 21 ech 为等腰直角三角形又 ghgc egcg ， egcg方法二（中位线法） ：如下图，解析略adgfbcehi利用旋转构造三角形【例 10】 在凸四边形abcd 中，abc30，adc60 ， adcd ，求证： bd222abbca3060db30bca60d30bca60dcee【答案】解法1：将bcd 绕点 c 逆时针旋转60 ，得到eca .由于 addc ，adc60 ，故adc 是等边三角形，即有 dccaad ， 而 bcbece ，2222

20、2就abeabcebc90.22连接 ae ，在 rtabe 中，由勾股定理可得而 aebd ，aeabbeabbc，2因此 bdabbc.解法 2：将bad 绕点 d 逆时针旋转60，得到ecd .留意到dcedcbadcb360adcabc270 ，故bce360dcedcb 90，22因此 bcce2be 2留意到 ceab ， bebd ，因此 bd22abbc.点评：通过此题，我们可以体会到，正确的帮助线的产生不仅得益于条件，也得益于结论的启示.此题正是先利用旋转变换将ab 与 bc 置于一个直角三角形中，再证明 bd 与这个直角三角形的斜边相等毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何

21、模块突破 .旋转 4.老师版page 11 of 21【例 11】 已知abc ，以 ac 为边在abc 外作等腰acd ，其中 acad 如图，如dac2abc ， acbc ，四边形abcd 是平行四边形，就abc 如图，如abc30 ，acd 是等边三角形，ab3 ， bc4 ，求 bd 的长；2如图，如acd 为锐角，作ahbc 于 h ，当 bd4ahbc时，dac2abc 是22否成立？如不成立，请说明你的理由；如成立，证明你的结论dadadbcbacbhc【答案】 略； 如图，以ae 为边作等边三角形abe ，连接 be 、 ce ，其他略adbcbeadadcbc 如图，帮助线

22、虽然相对简洁能够知道位置，但是此题比较特别，或难点在于如何利用给出的已2知条件 bd24ah2bc，如何描述帮助线，将直接影响到能否解决本问dddd ffaaaabhcbhcbhcbhgc下面给出参考方法，留意体会为什么这样做帮助线，而不是像以前的题型一样，为什么根据其他的帮助线的作法不能解决第 问： 谁有更好的方法欢迎在论坛发帖探讨如图，在 bc 上取点 g ，使得 hgbh ，连接 ga 并延长到点f ，使得 afag ，连接 bffc2222222易 证bfg 为 直 角 三 角 形 ， 且 bf2ah ， bfc 也 为 直 角 三 角 形 ， 由 勾 股 定 理 可 得22bfbcf

23、c， bc4 ahfc， bd4 ahbc， fcbd此时，易证badfac sss，就易证fabdac2abc毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破 .旋转 4.老师版page 12 of 21四边形中的旋转【例 12】 问题：如图1，在菱形abcd 和菱形 befg 中，点 a 、 b 、 e 在同一条直线上，p 是线段 df 的中点，连结pg , pc 如abcbef60o 探究 pg 与 pc 的位置关系及pg 的值pc小聪同学的思路是：延长gp 交 dc 于点 h ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决dcdcgpfpgabfa eb图 1图 2e请你参考小聪同学的思路，探

24、究并解决以下问题：（ 1）写出上面问题中线段pg 与 pc 的位置关系及pg 的值；pc（ 2）将图 1 中的菱形 befg 绕点 b 顺时针旋转， 使菱形 befg 的对角线bf 恰好与菱形abcd 的边 ab 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）你在（ 1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明（ 3）如图 1 中abcbef20 o90 o ，将菱形 befg 绕点 b 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出pgpc的值（用含的式子表示） 08 年北京市中考题【解析】（ 1）线段 pg 与 pc 的位置关系是pgpc ； pg3 pc（ 2）猜

25、想：（ 1）中的结论没有发生变化证明：如图，延长gp 交 ad 于点 h ，连结 ch，cg q p 是线段 df 的中点，fpdp 由题意可知ad fg dcgfphdp hqgpfhpd ，pggfp hdp abfgphp ， gfhd q 四边形 abcd 是菱形，ecdcb ，hdcabc60o 由abcbef60o ，且菱形befg 的对角线bf 恰好与菱形abcd 的边ab 在同一条直线上，可得gbc60o hdcgbc q 四边形 befg 是菱形，毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破 .旋转 4.老师版page 13 of 21gfgb hdgb hdc gbc c

26、hcg ，dchbcg dchhcbbcghcb120o 即hcg120 o q chcg ， phpg ，pgpc ，pggcphcp60o （ 3） pgpc3 pctan90o 【例 13】 如图 1，在平行四边形abcd 中， aebc 于点 e ， e 恰为 bc 的中点， tan b2 求证：adae ；如图 2，点 p 在线段 be 上，作 efdp 于点 f ，连结 af 求证：dfef2 af ；请你在图3 中画图探究： 当 p 为线段 ec 上任意一点（ p 不与点 e 重合）时，作 ef 垂直直线 dp ，垂足为点f ，连结 af ，线段 df 、 ef 与 af 之间有

27、怎样的数量关系？直接写出你的结论（ 10 年西城一模）adadadb ec图1fbpec图2bec图3a【答案】 略； 在 dp 上取一点 m ，使得 dmef ，连接 am ，证明afeamd即可其他略adada mdaddfbpecfb pefc bpefcbpefcbpec帮助线思路结论：dfef2 af帮助线：延长fd 到点 m 使得 dmef ，连接 am ,证明aef adm 即 可madaddadadapbecb fpecb fppp ecbcbfecffe帮助线思路毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破 .旋转 4.老师版page 14 of 21【例 14】 在平行四

28、边形abcd 中，adbc ，过点 d 作 dedf ，且edfabd ，连接 ef 、 ec ，n 、 p 分别为 ec 、 bc 的中点，连接np （1）如图 1，如点 e 在 dp 上， ef 与 dc 交于点 m ，摸索究线段np 与线段 nm 的数量关系及abd 与mnp 满意的等量关系，请直接写出你的结论；（2）如图 2，如点 m 在线段 ef 上，当点 m 在何位置时，你在（1）中得到的结论仍旧成立，写出你确定的点m 的位置，并证明（1）中的结论 .adfemnbpc图 1adfenbpc图 2【答案】（ 1） np=mn , abd + mnp =180（ 2）点 m 是线段

29、ef 的中点证明：如图 , 分别连接 be 、 cf 四边形 abcd 是平行四边形，a ad bc， ab dc ， a= dcb ， abd =bdc . a= dbc ， dbc = dcb . db =dc . edf =abd , edf =bdc . bdc- edc = edf- edc .即 bde =cdf . 又 de =df ，由 得bdecdf . ebfc ,12n 、 p 分别为 ec 、 bc 的中点，dfm1e234nbpc np eb ,np1 eb 21同理可得mn fc ，npnm np ebmnfc 2npc4 enpncpnpcncp4 mn fc ，

30、mnefce3231mnpmneenp31ncp4= dbc + dcb =180 -bdc =180 - abd . abd + mnp =180 .毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破 .旋转 4.老师版page 15 of 21【例 15】 在平行四边形abcd 中，bad 的平分线交直线bc 于点 e ，交直线 dc 于点 f （ 1）在图 1 中证明 cecf ；（ 2）如abc90 ， g 是 ef 的中点（如图2），直接写出bdg 的度数；（ 3）如abc120， fg ce， fgce ，分别连结db 、 dg （如图 3），求bdg 的度数（ 2021 年中考）ad

31、adadeceec bbcbfgffg图1图2图3【解析】证明：如图1. af 平分bad ，adbafdaf .四边形abcd 是平行四边形，ec ad bc ，ab cd .bdafcef ，ceff . cecf .bdc45 .baff .f图1ad分别连结gb 、 ge 、 gc （如图 2）. ab dc ，abc120 ，ececfabc120b1 3 2 fg ce且 fgce ，fg四边形 cegf 是平行四边形.图2由得 cecf ， ycegf 是菱形 . egec ，gcfgce1 ecf 260 . ecg 是等边三角形 . egcg ， gecegcgecgcf .

32、60 .begdcg .由 ad bc abbe .及 af 平分bad 可得baeaeb.在 y abcd 中， abdc . bedc .由得 beg dcg . bgde ，12 .bgd1323egc60.bdg180bgd602毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破 .旋转 4.老师版page 16 of 21【例 16】 在abcd中，e 是 ad 上一点，ae=ab，过点 e 作直线 ef ，在 ef 上取一点g，使得 egb=eab，连接 ag.（ 1）如图 1，当 ef 与 ab 相交时，如eab=60°，求证： eg =ag+bg；（ 2）如图 2，当 e

33、f 与 ab 相交时，如eab= （ 0o 90o），请你直接写出线段eg、 ag、bg之间的数量关系（用含的式子表示） ；（ 3）如图 3，当 ef 与 cd 相交时，且 eab=90°，请你写出线段eg、ag、bg 之间的数量关系，并证明你的结论.aedaedaed gggffbcb图 1图 2fcbc图 3【解析】（ 1）证明：如图，作 gah = eab 交 ge 于点 h. gab= hae. eab= egb ， ape=bpg，aed abg= aeh.h又 ab=ae， abg aeh .gp bg=eh ，ag=ah .f gah =eab=60°，bc

34、agh 是等边三角形 . ag=hg . eg =ag+bg.2eg2 ag sin2bg.h（ 3） eg2 agbg.如图，作 gah = eab 交 ge 于点 h. gab= hae .aed egb= eab=90 °，g abg+ aeg= aeg+ aeh =180 °. abg= aeh . 又 ab=ae，f abg aeh .bcbg=eh ， ag=ah. gah = eab=90°， agh 是等腰直角三角形.2 ag=hg . eg2agbg.毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破 .旋转 4.老师版page 17 of 21线段

35、的旋转【例 17】 如图，abc 中，acb90o , ac2 ，以 ac 为边向右侧作等边三角形acd （ 1）如图 1,将线段 ab 绕点 a 逆时针旋转60o ，得到线段ab1 ，联结db1 ，就与 db1 长度相等的线段为（直接写出结论） ；（ 2）如图 2，如 p 是线段 bc 上任意一点（不与点c 重合），点 p 绕点 a 逆时针旋转60o 得 到点 q ,求adq 的度数；（ 3）画图并探究：如 p 是直线 bc 上任意一点（不与点 c 重合），点 p 绕点 a 逆时针旋转 60o 得到点 q ,是否存在点 p ，使得以 a 、 c 、 q 、 d 为顶点的四边形是梯形，如存在

36、,请指出点 p 的位置，并求出 pc 的长；如不存在，请说明理由aaddbcbpcb1图 1图 2aaddbcbc备用图备用图【答案】 1bc（ 2）由作图知apaq ，paq60acd 是等边三角形 acad ,cad60opaqpacqad在pac 和qad 中apaqpacqadacadpac qadadqacp90 o（ 3）如图 3，同 可证pac qad ,adqacp90o毕业班解决方案模块课程初三数学 .几何模块突破 .旋转 4.老师版page 18 of 21qadacdbpqbcp当 ad cq 时，cqdo180oadq90adcqdc60o30o cdac2 cq1 , dq3 pcdq3 且 cqad5 分 此时四边形acqd 是梯形如图 4，同理可证 pac qad ,o当 aq cd 时，adqacp90 oqadadc60 ,oaqd30 adac2 aq4 , dq23 pcdq23此时 dq 与 ac 不