(完整版)25圆的认识

1、第二十五讲圆的认识一、圆的定义及圆的轴对称性一、圆的定义及圆的轴对称性1.1.定义定义: :在一个平面内在一个平面内, ,线段线段oaoa绕它固定的一个端点绕它固定的一个端点o o旋旋转转_,_,另一个端点另一个端点a a所形成的图形所形成的图形. .2.2.轴对称性轴对称性: :圆是圆是_,_,任何一条任何一条_都是它的对称轴都是它的对称轴. .一周一周轴对称图形轴对称图形直径所在直线直径所在直线二、垂径定理及推论二、垂径定理及推论1.1.垂径定理垂径定理: :垂直于弦的直径垂直于弦的直径_,_,并且平分弦所对并且平分弦所对的的_._.2.2.推论推论: :平分弦平分弦( (不是直径不是直径

2、) )的直径的直径_,_,并且平分并且平分弦所对的弦所对的_._.平分弦平分弦两条弧两条弧垂直于弦垂直于弦两条弧两条弧三、圆周角定理及推论三、圆周角定理及推论1.1.定理定理: :在同圆或等圆中在同圆或等圆中, ,同弧或等弧所对的圆周角同弧或等弧所对的圆周角_,_,都等于这条弧所对的圆心角的都等于这条弧所对的圆心角的_._.相等相等一半一半2.2.推论推论: :(1)(1)半圆半圆( (或直径或直径) )所对的圆周角是所对的圆周角是_,90_,90的圆周角的圆周角所对的弦是所对的弦是_._.(2)(2)在同圆或等圆中在同圆或等圆中, ,如果两个圆周角如果两个圆周角_,_,它们所对它们所对的弧一

3、定的弧一定_._.直角直角直径直径相等相等相等相等四、圆内接四边形的性质四、圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角圆内接四边形的对角_._.互补互补考点一考点一 垂径定理及其推论垂径定理及其推论【典例【典例1 1】(2016(2016南充中考南充中考) )如图是由两个长方形组成如图是由两个长方形组成的工件平面图的工件平面图( (单位单位:mm),:mm),直线直线l是它的对称轴是它的对称轴, ,能完全能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是_mm._mm.【思路点拨】【思路点拨】画出图形画出图形根据根据l为它的对称轴为它的对称轴cmcm和和anan的长的长在在r

4、trtomcomc和和rtrtoanoan中分别表示中分别表示ococ2 2和和oaoa2 2根根据据ococ2 2=oa=oa2 2列出关于列出关于omom的方程的方程, ,求解得求解得omom再求半径再求半径. .【自主解答】【自主解答】如图如图, ,设圆心为设圆心为o,o,连接连接ao,co,ao,co,直线直线l是它的对称轴是它的对称轴, ,cm=30,an=40,cm=30,an=40,cmcm2 2+om+om2 2=an=an2 2+on+on2 2, ,30302 2+om+om2 2=40=402 2+(70-om)+(70-om)2 2, ,解得解得om=40,om=40,

5、oc= =50(mm),oc= =50(mm),能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm.50mm.答案答案: :5050223040【名师点津】【名师点津】垂径定理运用中的垂径定理运用中的“两注意两注意”(1)(1)两条辅助线两条辅助线: :一是过圆心作弦的垂线一是过圆心作弦的垂线, ,二是连接圆心二是连接圆心和弦的一端和弦的一端( (即半径即半径),),这样把半径、弦心距、弦的一半这样把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形中构建在一个直角三角形中, ,运用勾股定理求解运用勾股定理求解. .(2)(2)方程思想方程思想: :在直接运用垂径

6、定理求线段的长度时在直接运用垂径定理求线段的长度时, ,常常常将未知的一条线段设为常将未知的一条线段设为x,x,利用勾股定理构造关于利用勾股定理构造关于x x的的方程解决问题方程解决问题. .这是一种用代数方法解决几何问题的解这是一种用代数方法解决几何问题的解题思路题思路. .【题组过关】【题组过关】1.(20161.(2016长沙中考长沙中考) )如图如图, ,在在o o中中, ,弦弦ab=6,ab=6,圆心圆心o o到到abab的距离的距离oc=2,oc=2,则则o o的半径长为的半径长为_._.【解析】【解析】弦弦ab=6,ab=6,圆心圆心o o到到abab的距离的距离ococ为为2,

7、2,ac=bc=3,aco=90ac=bc=3,aco=90, ,在在rtrtoacoac中中, ,由勾股定理得由勾股定理得: :oa= oa= 答案答案: :2222acoc3213.132.(20162.(2016福州中考福州中考) )如图所示的两段弧中如图所示的两段弧中, ,位于上方的位于上方的弧半径为弧半径为r r上上, ,下方的弧半径为下方的弧半径为r r下下, ,则则r r上上_r_r下下. (. (填填“”“=”“=”或或“”)”)【解析】【解析】如图作出两弧的半径如图作出两弧的半径, ,知知r r上上rr下下. .答案答案: : 3.(20153.(2015长沙中考长沙中考)

8、)如图如图,ab,ab是是o o的直径的直径, ,点点c c是是o o上上的一点的一点, ,若若bc=6,ab=10,odbcbc=6,ab=10,odbc于点于点d,d,则则odod的长为的长为_._.【解析】【解析】abab是是o o的直径的直径,acb=90,acb=90, ,即即acbc,acbc,由勾股定理可得由勾股定理可得,ac= =8,ac= =8,又又odbc,odac,odbc,odac,又又oo是是abab的中点的中点, ,dd为为bcbc的中点的中点, ,即即odod是是abcabc的中位线的中位线, ,od= ac=4.od= ac=4.答案答案: :4 4221061

9、2考点二考点二 垂径定理及推论在实际中的应用垂径定理及推论在实际中的应用【典例【典例2 2】(2015(2015孝感中考孝感中考) )如图如图, ,一条公路的转弯处一条公路的转弯处是一段圆弧是一段圆弧( ).( ).(1)(1)用直尺和圆规作出用直尺和圆规作出 所在圆的圆心所在圆的圆心o.(o.(要求保留作要求保留作图痕迹图痕迹, ,不写作法不写作法) )abab(2)(2)若若 的中点的中点c c到弦到弦abab的距离为的距离为20m,ab=80m,20m,ab=80m,求求 所所在圆的半径在圆的半径. .abab【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)连接连接ac,ab,ac,ab,分别作分别

10、作acac和和abab的垂直平分的垂直平分线线, ,两垂直平分线的交点为两垂直平分线的交点为o.o.(2)(2)连接连接ob,oc,ob,oc,由由c c为为 的中点得到的中点得到ocab,ocab,应用垂径应用垂径定理、勾股定理求解定理、勾股定理求解. .ab【自主解答】【自主解答】(1)(1)作图如图所示作图如图所示. .(2)(2)连接连接ob,oc,ocob,oc,oc交交abab于点于点d,d,ab=80m,cab=80m,c为为 的中点的中点, ,ocab,ocab,ad=bd=40m,cd=20m,ad=bd=40m,cd=20m,设设ob=r,ob=r,则则od=r-20,od

11、=r-20,ab在在rtrtobdobd中中,ob,ob2 2=od=od2 2+bd+bd2 2, ,rr2 2=(r-20)=(r-20)2 2+40+402 2, ,解得解得r=50,r=50, 所在圆的半径是所在圆的半径是50m.50m.ab【名师点津】【名师点津】用垂径定理及推论解决实际问题的三个步用垂径定理及推论解决实际问题的三个步骤骤(1)(1)弄清题意弄清题意, ,搞清跨度搞清跨度, ,拱高等概念拱高等概念, ,从实际问题中抽象从实际问题中抽象出一个数学问题出一个数学问题. .(2)(2)从数学问题中构造直角三角形从数学问题中构造直角三角形, ,利用勾股定理求出数利用勾股定理求

12、出数学问题的答案学问题的答案. .(3)(3)得出实际问题的答案得出实际问题的答案. .【题组过关】【题组过关】1.(20151.(2015潍坊中考潍坊中考) )将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒水杯拧紧杯盖后放倒, ,水平放置在桌面上水平放置在桌面上, ,水杯的底面如水杯的底面如图所示图所示, ,已知水杯内径已知水杯内径( (图中小圆的直径图中小圆的直径) )是是8cm,8cm,水的最水的最大深度是大深度是2cm,2cm,则杯底有水部分的面积是则杯底有水部分的面积是( () )22221616a.(4 3)cm b.(8 3)cm3384c.(4

13、3)cm d.(2 3)cm33【解析】【解析】选选a.a.作作odabodab于于c,c,交小交小o o于于d,d,则则cd=2,ac=bc,cd=2,ac=bc,oa=od=4,cd=2,oc=2,oa=od=4,cd=2,oc=2,在在rtrtaocaoc中中,sinoac= ,sinoac= oac=30oac=30,aob=120,aob=120, ,oc1oa2，ac= ac= ab= ab= 杯底有水部分的面积杯底有水部分的面积=s=s扇形扇形-s-saobaob= = 22 oaoc2 3，4 3，2212041164 32(4 3)cm .360232.(20152.(201

14、5衢州中考衢州中考) )一条排水管的截面如图所示一条排水管的截面如图所示, ,已知已知排水管的半径排水管的半径oa=1m,oa=1m,水面宽水面宽ab=1.2m,ab=1.2m,某天下雨后某天下雨后, ,水管水管水面上升了水面上升了0.2m,0.2m,则此时排水管水面宽则此时排水管水面宽cdcd等于等于_m._m.【解析】【解析】连接连接od,ob,od,ob,作作oeab,oeab,垂足为垂足为e,e,与与cdcd交于交于f f点点. .ob=1m,eb=0.6m,ob=1m,eb=0.6m,根据勾股定理得根据勾股定理得oe=0.8m,ef=0.2m,oe=0.8m,ef=0.2m,则则of

15、=0.6m,of=0.6m,在在rtrtodfodf中中,of=0.6m,od=1m,of=0.6m,od=1m,得得fd=0.8m,fd=0.8m,因此因此cd=1.6m.cd=1.6m.答案答案: :1.61.6考点三考点三 圆周角与圆心角圆周角与圆心角【考情分析】【考情分析】圆周角定理及其推论和圆心角、弧、弦之间的关系圆周角定理及其推论和圆心角、弧、弦之间的关系是中考命题的热点是中考命题的热点, ,常常结合垂径定理、直角三角形、常常结合垂径定理、直角三角形、全等三角形、相似三角形等进行命题全等三角形、相似三角形等进行命题, ,呈现形式多样化呈现形式多样化, ,有选择题、填空题和解答题有选

16、择题、填空题和解答题. . 命题角度命题角度1:1:在同圆或等圆中在同圆或等圆中, ,圆心角、弧、弦之间的关圆心角、弧、弦之间的关系系【典例【典例3 3】(2016(2016济宁中考济宁中考) )在在o o中中, aob, aob=40=40, ,则则adcadc的度数是的度数是( () )a.40a.40b.30b.30c.20c.20d.15d.15abac,【思路点拨】【思路点拨】 aoc=aobadcaoc=aobadc的度数的度数. .【自主解答】【自主解答】选选c.c.连接连接oc,oc,由由 可知可知, , aob=aoc,aob=aoc,又因为又因为aob=40aob=40,a

17、oc=40,aoc=40, ,所以所以adc= adc= 4040=20=20. .abacabac12【母题变式】【母题变式】( (改变条件和问法改变条件和问法) )本例若改为本例若改为: :如例题图如例题图, ,在在o o中中, adc=, adc=,求求aobaob的度数的度数. .提示提示: :连接连接oc,oc,则则aoc=2adc=2,aoc=2adc=2,又又 aob=aoc=2.aob=aoc=2.abac，abac，命题角度命题角度2:2:利用同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系利用同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系求圆周角或圆心角的度数求圆周角或圆心角的度数【典例【典例4 4

18、】(2016(2016巴中中考巴中中考) )如图如图,a,a是是o o的圆周的圆周角角,obc=55,obc=55, ,则则a=_.a=_.【思路点拨】【思路点拨】ob=ococb=obcoob=ococb=obco的度数的度数aa的度数的度数. .【自主解答】【自主解答】根据同圆中圆周角和圆心角的关系得根据同圆中圆周角和圆心角的关系得: :a= boc= a= boc= (180(180-55-552)=352)=35. .答案答案: :35351212【母题变式】【母题变式】( (改变问法改变问法) )去掉条件去掉条件obc=55obc=55. .探究探究aa与与obcobc的关系的关系.

19、 .提示提示: :a= a= o= o= (180(180-2-2obc)=90obc)=90- -obc.obc.1212命题角度命题角度3:3:圆周角、圆心角与垂径定理相结合圆周角、圆心角与垂径定理相结合【典例【典例5 5】(2016(2016黄冈中考黄冈中考) )如图如图, ,o o是是abcabc的外接的外接圆圆,aob=70,aob=70,ab=ac,ab=ac,则则abc=_.abc=_.【思路点拨】【思路点拨】根据圆周角与圆心角关系根据圆周角与圆心角关系c= c= aobaobab=acab=acabc=abc=c c结论结论. .12【自主解答】【自主解答】o o是是abcab

20、c的外接圆的外接圆, ,c= aob=35c= aob=35( (同弧所对的圆周角是所对的圆心同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半角的一半).).又又ab=ac,abc=c =35ab=ac,abc=c =35. .答案答案: :353512【母题变式】【母题变式】( (改变问法改变问法) )题中题中baobao的度数为多少的度数为多少? ?提示提示: :ab=ac, ab=ac, oacb,bao=90oacb,bao=90-abc=90-abc=90-35-35=55=55. .abac，命题角度命题角度4:4:圆周角、圆心角与勾股定理相结合圆周角、圆心角与勾股定理相结合【典例【典例6 6

21、】(2015(2015永州中考永州中考) )如图如图, ,已知已知abcabc内接于内接于o,o,且且ab=ac,ab=ac,直径直径adad交交bcbc于点于点e,fe,f是是oeoe上的一点上的一点, ,使使cfbd.cfbd.(1)(1)求证求证:be=ce.:be=ce.(2)(2)试判断四边形试判断四边形bfcdbfcd的形状的形状, ,并说明理由并说明理由. .(3)(3)若若bc=8,ad=10,bc=8,ad=10,求求cdcd的长的长. .【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)由由adad是直径是直径, ,得到得到abd=acd=90abd=acd=90, ,从而证明从而证明a

22、bdabdacd,acd,根据垂直平分线的判定得到根据垂直平分线的判定得到be=ce.be=ce.(2)(2)由由(1)(1)知知adbc,adbc,由垂直平分线的性质结合已知条件由垂直平分线的性质结合已知条件证明证明bd=cd=cf=bf,bd=cd=cf=bf,从而证明四边形从而证明四边形bfcdbfcd是菱形是菱形. .(3)(3)根据根据cece2 2=aede=aede列方程求出列方程求出de,de,再用勾股定理求出再用勾股定理求出cd.cd.【自主解答】【自主解答】(1)ad(1)ad是是o o的直径的直径, ,abd=acd=90abd=acd=90. .ab=ac,ad=ad,

23、ab=ac,ad=ad,rtrtabdrtabdrtacd.acd.bd=cd.bd=cd.ab=ac,bd=cd,ab=ac,bd=cd,点点a,da,d都在线段都在线段bcbc的垂直平分线上的垂直平分线上. .adad垂直平分垂直平分bc.be=ce.bc.be=ce.(2)(2)四边形四边形bfcdbfcd是菱形是菱形. .理由理由: :由由(1)(1)知知,ad,ad垂直平分垂直平分bc,bf=cf.bc,bf=cf.cfbd,cfbd,dbe=fce,bde=cfe.dbe=fce,bde=cfe.又又be=ce,be=ce,bdebdecfe.bd=cf.cfe.bd=cf.bd=

24、cd,bf=cf,bd=cd,bf=cf,bd=cd=cf=bf.bd=cd=cf=bf.四边形四边形bfcdbfcd是菱形是菱形. .(3)bc=8,be=ce=4.(3)bc=8,be=ce=4.cece2 2=aede,ae=ad-de=10-de,=aede,ae=ad-de=10-de,442 2=(10-de)de.=(10-de)de.解得解得de=2de=2或或8.8.但但de=8de=8不合题意不合题意, ,应舍去应舍去. .cd=cd= 2222cede422 5.【母题变式】【母题变式】( (改变条件改变条件) )本例中本例中, ,若若bac=60bac=60, ,则点则

25、点e e的位置是的位置是_._.提示提示: :若若bac=60bac=60, ,则则adb=60adb=60, ,bdfbdf为等边三角形为等边三角形, ,df=bd= ad.df=bd= ad.点点f f与点与点o o重合重合, ,点点e e为为odod的中点的中点. .答案答案: :点点e e为为odod的中点的中点12【名师点津】【名师点津】1.1.解决与圆有关的角度的相关计算时解决与圆有关的角度的相关计算时, ,一般先判断角是一般先判断角是圆周角还是圆心角圆周角还是圆心角, ,再转化成同弧所对的圆周角或圆心再转化成同弧所对的圆周角或圆心角角, ,利用同弧所对的圆周角相等利用同弧所对的圆

26、周角相等, ,同弧所对的圆周角是圆同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解心角的一半等关系求解. .2.2.在圆中当有直径这一条件时在圆中当有直径这一条件时, ,往往要用到直径所对的往往要用到直径所对的圆周角是直角这一条件圆周角是直角这一条件, ,若含若含4545角角, ,可设法构造等腰直可设法构造等腰直角三角形角三角形; ;若含若含3030或或6060角角, ,则设法构造含有则设法构造含有3030角的角的直角三角形直角三角形. .【题组过关】【题组过关】1.(20161.(2016乐山中考乐山中考) )如图如图,c,d,c,d是以线段是以线段abab为直径的为直径的o o上两点上两点, ,若

27、若ca=cd,ca=cd,且且acd=40acd=40, ,则则cab=cab=( () )a.10a.10b.20b.20c.30c.30d.40d.40【解析】【解析】选选b.acd=40b.acd=40,ca=cd,ca=cd,cad=cda= (180cad=cda= (180-40-40)=70)=70, ,abc=adc=70abc=adc=70,ab,ab是直径是直径, ,acb=90acb=90,cab=90,cab=90-b=20-b=20. .122.(20162.(2016滨州中考滨州中考) )如图如图,ab,ab是是o o的直径的直径,c,d,c,d是是o o上上的点的

28、点, ,且且ocbd,adocbd,ad分别与分别与bc,ocbc,oc相交于点相交于点e,f,e,f,则下列结则下列结论论: :adbd;adbd;aoc=aec;aoc=aec;cbcb平分平分abd;abd;af=df;af=df;bd=2of;bd=2of;cefcefbed.bed.其中一定成立的是其中一定成立的是( () )a.a.b.b.c.c.d.d.【解析】【解析】选选d.d.结论结论正误正误分析分析abab是是o o的直径的直径,adb=90,adb=90, ,即即adbd,adbd,故故正确正确由已知条件不能判断由已知条件不能判断aoc=aecaoc=aec成立成立, ,

29、故故错误错误ocbd,adbd,ocad, ocbd,adbd,ocad, abc=dbc,abc=dbc,即即cbcb平分平分abd,abd,故故正正确确accd，结论结论正误正误分析分析ocad,af=df,ocad,af=df,故故正确正确af=df,oaf=df,o是是abab的中点的中点,of,of是是abdabd的中的中位线位线,bd=2of,bd=2of,故故正确正确由已知条件不能证明由已知条件不能证明cefcefbedbed成立成立, ,故故错误错误根据上述分析可知根据上述分析可知正确正确. .3.(20163.(2016烟台中考烟台中考) )如图如图,rt,rtabcabc的

30、的斜边斜边abab与量角器的直径恰好重合与量角器的直径恰好重合,b,b点点与与0 0刻度线的一端重合刻度线的一端重合,abc=40,abc=40, ,射线射线cdcd绕点绕点c c转动转动, ,与量角器外沿交于点与量角器外沿交于点d.d.若射线若射线cdcd将将abcabc分割出以分割出以bcbc为边的等腰三角形为边的等腰三角形, ,则点则点d d在量角器在量角器上对应的度数是上对应的度数是( () )a.40a.40b.70b.70c.70c.70或或8080d.80d.80或或140140【解析】【解析】选选d.d.当当bcbc为底时为底时,bcd=abc=40,bcd=abc=40, ,

31、 对的圆心角是对的圆心角是8080, ,当当bcbc为腰时为腰时,bcd=70,bcd=70, , 对的圆心角是对的圆心角是140140, ,故选故选d.d.bdbd4.(20164.(2016扬州中考扬州中考) )如图如图, ,o o是是abcabc的外接圆的外接圆, ,直径直径ad=4,abc=dac,ad=4,abc=dac,则则acac长为长为_._.【解析】【解析】连接连接cd,b=dac, cd,b=dac, ac=cd,adac=cd,ad为直径为直径,acd=90,acd=90, ,在在rtrtacdacd中中,ad=4,ac=cd= ,ad=4,ac=cd= 答案答案: :

32、accd，22ad42 2.222 25.(20165.(2016上海中考上海中考) )已知已知, ,如图如图, ,o o是是abcabc的外接圆的外接圆, , 点点d d在边在边bcbc上上,aebc,ae=bd.,aebc,ae=bd.(1)(1)求证求证:ad=ce.:ad=ce.(2)(2)如果点如果点g g在线段在线段dcdc上上( (不与点不与点d d重合重合),),且且ag=ad,ag=ad,求证求证: :四边形四边形agceagce是平行四边形是平行四边形. .abac，【证明】【证明】(1)(1)在在o o中中, ab=ac,b=acb., ab=ac,b=acb.aebc,

33、eac=acb,b=eac.aebc,eac=acb,b=eac.又又bd=ae,bd=ae,abdabdcae,ad=ce.cae,ad=ce.abac,(2)(2)连接连接aoao并延长并延长, ,交边交边bcbc于点于点h,h, oa oa是半径是半径,ahbc,bh=ch.,ahbc,bh=ch.ad=ag,dh=hg,bh-dh=ch-gh,ad=ag,dh=hg,bh-dh=ch-gh,即即bd=cg.bd=cg.bd=ae,cg=ae.bd=ae,cg=ae.又又cgae,cgae,四边形四边形agceagce是平行四边形是平行四边形. .abac，考点四考点四 圆内接四边形圆内

34、接四边形【典例【典例7 7】(2016(2016聊城中考聊城中考) )如图如图, ,四边形四边形abcdabcd内接于内接于o,fo,f是是 上一点上一点, ,且且 连接连接cfcf并延长并延长, ,交交adad的延的延长线于点长线于点e,e,连接连接ac,ac,若若abc=105abc=105,bac=25,bac=25, ,则则ee的度数为的度数为( () )cddfbc，a.45a.45b.50b.50c.35c.35d.60d.60【思路点拨】【思路点拨】先由圆周角定理得出先由圆周角定理得出dcedce的度数的度数, ,再根据再根据圆内接四边形的性质求出圆内接四边形的性质求出cdacda的度数的度数, ,根据三角形外角根据三角形外角的性质得出结论的性质得出结论. .【自主解答】【自主解答】选选b.b=105b.b=105,bac=25,bac=25, , bca=50bca=50. . dce=bac. dce=bac.b+cda=180b+cda=180,cde+cda=180,cde+cda=180. .b=cde,e=acb