分块矩阵的性质及其应用

1、吉首大学学年论文1 分块矩阵的性质及其应用依宇天（吉首大学数学与计算机科学学院，湖南吉首 416000 ）摘要： 矩阵分块是解决矩阵问题的常用方法,矩阵分块适当可为解决问题带来极大方便。关键词： 分块矩阵、矩阵的分块、矩阵的计算、证明、应用block matrix and its applicationyi yu tian (college of mathematics and computer science, jishou university,jishou hunan,416000) abstract :block matrix is a matrix to solve problem

2、of the commonly used methods, block matrix suitable for solve the problem bring great convenience. keywords: block matrix, block matrix, matrix calculation, proof, application 引言：本文详细、全面论述证明了矩阵的分块在高等代数中的应用。包括用分块矩阵证明矩阵乘积的秩的定理问题，用分块矩阵求逆矩阵问题，用分块矩阵求矩阵的行列式问题，用分块矩阵求矩阵的秩的问题，利用分块矩阵证明一个矩阵是零矩阵的问题。1.分块矩阵1.1 分块

3、矩阵的定义令 a 为 mn 矩阵，把a 分成如下形式stssttaaaaaaaaaa212222111211其中 aij（i=1、2s， j=1、2t）为 minj矩阵，且m1+m2+ms=m，n1+n2+nt=n，称其中的每一个小矩阵为a 的一个分块。1.2 分块矩阵的计算令ststaaaaa1111，bststbbbb1111这里 a、b 的行列数相同，且分法一致，那么ststssttbabababa11111111ba，ststaaaaaaaaaa1111. 分块矩阵乘法运算复杂一些，但只要做到a 的列的分法与b 的行的分发一致，即设吉首大学学年论文2 rsrsaaaaa1111，sts

4、tbbbbb1111那么rtrticcccba111。注意： 只有在通常的乘法运算a 与 b 可乘的前提下，分块乘法可进行。1.3 分块矩阵的性质在行列式计算中，我们经常用到下面三条性质：（一） ：若行列式中某行有公因子，则可提到行列式外面；（二）把行列式中的某行乘上某一个非零数加到另一行中，其值不变；（三）把行列式中的某两行互换位置，其值不变。推论： 设 a、b 为 n 阶行列式，则有：a、 b 的乘积也为n 阶行列式。证明： 作一个 2n 阶行列式booad由拉普拉斯展开定理得）（）n22n1nn21(212222111211)1(nnnnnncccccccccdc1-0001-0001-

5、，定理得证。例 1：计算 n 阶行列式mxxxxmxxxxmxnnn212121。解：mxxxmxxxmxnnni222n1i111)(原式吉首大学学年论文3 21100()00nniixxmxmm11()()nniixmm推论： 行列式乘积公式baab。证明： 作beabbeaeae000(1) 设 a、b 为 nn 矩阵，作nijnijeeep0，i 、j=1 、2n，这里，ije为 nn 矩阵，除了第i 行，第 j 列元素为ija外，其他元素皆为零，则由初等矩阵与初等变换的关系，易得右端为nnnnnn1nn11211e0aee00eppppp又 由ijp所 对 应 的 初 等 变 换 是

6、 某 行 加 上 另 外 一 行 的 倍 它 不 改 变 行 列 式 的 值 ， 故babe-oabe-oappbe-oaeenn11oa但（ 1）的右端可经过n 个两列变换变成e-boab故abe-ab1-be-abon这就证明了abba。结论： 两个方阵的乘积的行列式等于这两个方阵的行列式的乘积。2.1 分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用定理 1： 设 a 是数域 p 上 nm 矩阵， b 是数域 p 上 ms 矩阵，吉首大学学年论文4 于是秩(a) min 秩 (a)，秩 (b) （1）即乘积的秩不超过各因子的秩。证明： 为了证明（ 1） ，只需证秩 (ab ) 秩 (a) ，同时秩

7、(ab) 秩 (b) 即可。设mn212222111211212222111211b,abbbbbbbbbaaaaaaaaammnnnmnnmm令1b,2bmb表示 b的行向量，1c,2cnc表示ab的行向量。由计算可知，ic的第 j 个分量和1122bbbiiimmaaa的第 j 个分量，都等于mkkjikba1，因而1 122iiiimmca ba ba b， （i=1 、2n） ，即矩阵 ab的行向量组1c,2cnc可经过b的秩，即秩 (ab) 秩 (b) 。同理可得秩 (ab ) 秩 (a) ，定理得证。3.1 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用例 2：设0000000000000x11nn

8、aaa，其中0ija， （i=1 、2n） 。求1-x。解：111,2,11000100000000100ae00000100000001iirrinnnnaaa111112,10111niinrarinanaaa吉首大学学年论文5 1211111101110nnaaaa, 故1111-110x0nnaaa。3.2 分块矩阵在行列式计算式方面的应用在线性代数中， 分块矩阵是一个十分重要的概念，它可以使矩阵的表示简单明了，使矩阵的运算得以简化，而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题。而事实上， 利用分块矩阵方法计算行列式，时常会使行列式变得简单，并收取到意想不到的效果。下面给出利用分块矩

9、阵计算行列式的几种方法例 3：求1111111111111111a的逆矩阵1a。解： 记bbbba，其中1111b，则b21111121b1有111111111111111bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb-b-bbbbba其中11111b21b2bbbbbb于是a41bbbb41b21b21b21b2121bbbb21b21b21b21b21a111111111-总结： 从分块矩阵行列式的性质及其应用中得知：灵活应用分块矩阵的行列式性质，可以简吉首大学学年论文6 化某些 n 阶行列式的计算。在实际应用的过程中，若能结合行列式的结构特点，选择恰当的分块矩阵，将使该方法得到更为广泛的应用。参考文献：1 ：张禾瑞、郝鈵新、