(完整版)导数难题(含答案)

1、、单选题1.已知可导函数f x的导函数为f '02018,若对任意的xR,都有f x f' x ,则不等式f x2018ex的解集为(A. 0,C.12eD.,02.定义在R上的偶函数f x的导函数为0,xf2f0.则()f eA.4f 22 eB. 9fC.D.3.已知f为定义在0,上的可导函数,xf ' x恒成立,r ,2 ,21则不等式x f - f x 0 x的解集为(A. 1,B.,1C. 2,D.,2二、解答题4.已知函数2 axlnx a R .(1)讨论f的单调性;(2)若存在1, fx a ,求a的取值范围.5 .设函数 f xx2 ax 2 x2 x

2、 Inx.(1)当a 2时，讨论函数f x的单调性；(2)若x 0, 时，f x0恒成立，求整数a的最小值.一 一，.1 a _6 .已知函数 f x x alnx, g x a R .x若a 1,求函数f x的极值；设函数h x f x g x ,求函数h x的单调区间；7 .已知函数 f x x a Inx,a R .(1)当a 0时，求函数f x 的极小值；a的取值范围(2)若函数f x在0, 上为增函数，求8 .已知函数f xx2 ax a ex.(1)讨论f x的单调性；(2)若a 0,2 ,对于任意x1,x24,0 ,都有f x1f x24e 2 mea恒成立，求m的取值范围参考答

3、1. Af xf x f x【解析】令 g x g x x 0, g 02018ee一，,一 _ xf x因此 f x 2018e 2018 g x (g 0 x、0,选 A.e点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性,而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如f x构造g x0构造f x构造f x 0构造g xxf x2. D根据题意，设g (x)=x2f (x),其导数 g' (x) = (x2)+x2?f (x)=2xf(x) +x2?f (x) =x2f(x) +xf (x),又由当x>0时，有2f(x) +xf (x) <0成立

4、，则数g' (x)=x2f (x) +xf (x) <0 ,则函数g (x)在(0, +8)上为减函数,若 g (x) =x2f (x),且 f (x)为偶函数，则 g (-x)=(-x)2f (-x) =x2f (x) =g (x),因为f x为偶函数，所以f e即g (x)为偶函数，所以 g e g 2 即所“七f 22- e故选D点睛：本题考查函数的导数与函数单调性的关系,涉及函数的奇偶性与单调性的应用，关键是构造函数g(x)并分析g (x)的单调性与奇偶性.xf x3. A【解析】令g fx xfxfxfx f x2 0在0,上恒成立xg x在0, 上单调递减f x，即

5、xx故选A点睛：本题首先需结合已知条件构造函数，然后考查利用导数判断函数的单调性，再由函数的单调性和函数值的大小关系,判断自变量的大小关系4. (1) f X 在上递减.；（2）1 ，10,上递增，在 ' 2a2a【解析】试题分析:（1）对函数f x求导，再根据a分类讨论，即可求出f x的单调性；（2）将£乂 a化简得a x2 1lnx0 ,再根据定义域 x 1,对a分类讨论,a 0时，满足题意，a 0时,构造g x a x2 1lnx ,求出g x的单调性，可得g x的最大值，即可求出 a的取值范围.试题解析：（1） f x2a 1 x1 2ax20时，f x0,所以x在0

6、,上递增,0时，令f0,得1V2a，0,得x0,得x_1_,2a ,所以上递减. ，1上递增，在 _.2a(2)得a x21 lnx 0 ,因为 x1, ，所以 lnx(0,x2 10,0时，a x21 lnx0满足题意,1 , 一时，设g x21 lnx(x 1), g2ax y. 2a 1 八0, x所以g x在1, 上递增，所以g x g 10,不合题意,人一 m1令 g x 0 ,得 1,-j=- 2a所以g xmaxg 2a,g x 0,综上，a的取值范围是点睛：本题考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则.一

7、般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会5. (1) f (x)递增区间为(0, 1), (1, +00),递减区间为(1，1); (2)1.22【解析】试题分析：(1)求出函数f (x)的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)问题转化为a>x-2 (x-1 ) lnx恒成立，令g (x) =x-2 (x-1 ) Inx,根据函数的单调性求出a的最小值即可.试题解析：(1)由题意可得f (

8、x)的定义域为(0, +8),当 a=2 时，f (x) =x2+2x+2 (x2x) lnx,1_所以 f' xO = 2x+2+2 (2x1) lnx+2 (x2x) ?K = (4x2) lnx ,由 f (x) >0 可得：(4x 2) lnx >0,r 4x-2>0 f 4s-2<0 所以或 UnYO ,j_ 解得x> 1或0vxv 2 ;由 f (x) < 0 可得：(4x 2) lnx < 0 ,所以j 4-2<C 1 lnx>01解得：2<xv1.34综上可知：f (x)递增区间为(0,2)，(1, +8),递

9、减区间为(，1).(2)若 xC+8)时，f (x) >0 恒成立, 即a>x2 (x1) lnx恒成立,令 g (x) =x 2 (x 1) Inx ,贝U a >g (x) max.因为 g' x) =1 2 (lnx+ 工)=21nx由（II ）知所以g' （x）在（0, +8）上是减函数，且 g' （1） >0, g' 2） V 0,故存在xoC（1,2）使得g（x）在（0,xo）上为增函数，在（xo,+8）上是减函数, ，x=x)时，g (x) max=g (x0) = 0,1 a>0,又因为 aCZ,所以 amin=1

10、.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题:(1)根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题;(2)x 0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为f x min 0，0恒成立，转化为f x 0;max(3)x g x恒成立，可转化为 fxming x max6. （1）极小值为f11; (2)见解析(3)2e2 1 a e 1【解析】试题分析:（1）先求导数，再求导函数零点,列表分析导数符号，确定极值（2）先求导数，求导函数零点，讨论1a与零大小，最后根据导数符号确定函数单调性（3）正难则反，先求存在一点 x0,使得f % g %成立时实数a的取值范围，由存在性问题转化为对

11、应函数最值问题，结合（2）单调性可得实数a的取值范围，最后取补集得结果试题解析：解：（I）当a 1时,x x Inxx 1 ,列极值分布表f x在（0,1 ）上递减，在（1）上递增，的极小值为f 11;(II ) h x x alnx当1时,h' x0,在（0,）上递增;当1时,h' x(III在（0,1先解区间a）上递减，在1 a,上递增;1,e上存在一点,使得f % g %成立g x 0在1,e上有解 当x 1,e时，h x min当a1时，h x在1,e上递增，hmin2. a 2当a1时，h x在(0,1 a)上递减，在1a,上递增0时,h x在1,e上递增,a无解1时

12、，hx在1,e上递减hminhmin1时,h x 在 1,1上递减，在 1a,e上递增a 2 a aln 1a aln 1 a 2In 122 a在0,e 1递减,0无解,即 hminaln 1 a0无解;综上：存在一点X0,使得fxq g xq成立，实数a的取值范围为:e2 1e 11 a八a ：0e所以不存在一点问题(有解，恒成立, 最值问题.7. (1)1 (2)e1 2 e-2x0,使得f x° g xq成立，实数a的取值范围为点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的无解等)，而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转

13、化为对应函数【解析】试题分析:(1)当a 0时，得出函数的解析式，求导数，令f'x 0,解出x的值，利用导数值的正负来求其单调区间进而求得极小值；(2)求出f ' X ,由于函数在0,是增函数，转化为 f'x 0对任意x 0,恒成立,分类参数，利用导数xlnxx的最小值，即可求实数 a的取值范围.试题解析:(1)定义域为0,xlnx当a 0时,1当x 0,1时，f' x 0 , f x为减函数;e为增函数.时，f ' x所以函数f的极小值是（2）由已知得lnx因为函数f x在0,是增函数，所以f' x 0对任意x 0,恒成立，x a由f x 0倚

14、lnx 0 ,即xlnx x a对任意的x 0,恒成立.x设g x xlnx x ,要使“xlnx x a对任意x 0,恒成立“，只要 a g x min1因为 g'x lnx 2,令 g'x 0,得 x 二. e1当x 0,二时，g x 0, g x为减函数；，e，1.一，、一，当x , 时，g x 0, g x为增函数.e ' ，一，1所以g x的最小值是g -2e故函数f x 在 0,是增函数时，实数 a的取值范围是12 e点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用，解答中涉及到利用导数求解函数的单调区间，利用导数求解函数的极值与最值等知识点的综合应用，这属于教学

15、的重点和难点，应熟练掌握，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中把函数f x在0,是增函数，所以f' x 0对任意x 0, 恒成立是解答的关键.1 e28. （1）见解析；（2） m .e【解析】试题分析：（1）求出f ' x，分三种情况讨论，分别令f ' x 0求得x的范围，可得函数f x增区间，f ' x 0求得x的范围，可得函数 f x的减区间；（2）由（1）知，所 以 fx f 2 a 4 e2,f 43a+16 e4 a f 0,maxf x1f x24e2 mea恒成立，即a e2 1 4e2 4e2 mea恒成立，即m 1e2 1恒成e立，利用导数研究函数的单调性，求出1的最大值，即可得结果试题解