(整理)学案11函数与方程

1、学案11函数与方程课前准备区|回扣教材与实基蚂【自主梳理】1 .函数零点的定义(1)对于函数y= f(x)(xCD),把使 成立的实数x叫做函数丫=刈依6口)的零点.(2)方程f(x)=0有实根？函数y=f(x)的图象与 有交点？函数y = f(x)有.2 .函数零点的判定如果函数y=f(x)在区间a, b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ,那么函数y=f(x)在区间 启有零点，即存在 cC(a, b),使得,这个 也就是f(x)=0的根.我们不妨把这一结论称为零点存在性定理.4 .用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间a, b,验证,给定精确度 g第二步，求区间(a, b

2、)的中点c;三若若若第步，计算:,则c就是函数的零点；,则令b=c此时零点xoC(a, c);,则令a=c此时零点XoC(c, b)；第四步，判断是否达到精确度e：即若|ab|<s,则得到零点近似值 a(或b);否则重复第二、三、四步.:自我检测】1. (2010 福建)f(x) =的零点个数为x2+2x 3, x<02 + ln x x>0A. 0B. 1C. 2D. 32 .若函数y=f(x)在R上递增，则函数y = f(x)的零点()A.至少有一个B.至多有一个C.有且只有一个D.可能有无数个3 .如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是B

3、.D.A. C.B. f(x)=(x-1)2逐堂活动度|突破考点研析热点4 .设f(x)=3x+3x8,用二分法求方程3x+3x8=0在xC (1,2)内近似解的过程中得f(1)<0, f(1.5)>0, f(1.25)<0,则方程的根所在的区间是()A. (1,1.25)B. (1.25,1.5)C. (1.5,2)D.不能确定5. (2011福州模拟)若函数f(x)的零点与g(x) = 4x+2x2的零点之差的绝对值不超过 0.25,贝U f(x)可以是()A. f(x)=4x- 1C. f(x)=ex1D. f(x)=ln(x0.5)探究点一函数零点的判断O11判断函数

4、y=ln x+2x6的零点个数.变式迁移1 (2011烟台模拟)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2) = f(x),且当xC 0,1时，f(x)=x,则函数y=f(x)log3|x|的零点个数是()A,多于4个B. 4个C. 3个D. 2个探究点二用二分法求方程的近似解隋21求方程2x3+3x3= 0的一个近似解(精确度0.1).1变式迁移2 (2011淮北模拟)用二分法研究函数f(x)=x3+ln x+ 2的零点时，第一次经、一一1.以上横计算f(0)<0, f 1 >0,可得其中一个零点x°e，第二次应计算2线上应填的内容为1 11A. 0 - f -B. (

5、0,1) f"2 221.311C. ", 1 f -D. 0 - f -2424探究点三利用函数的零点确定参数仞3已知a是实数，函数f(x)= 2ax2+2x 3a,如果函数y = f(x)在区间1,1上有 零点，求a的取值范围.变式迁移3 若函数f(x) = 4x+a 2x+a+1在(°°, + 8)上存在零点，求实数 a的取值 范围.课堂小结1 .全面认识深刻理解函数零点：(1)从“数”的角度看：即是使f(x)=0的实数x;(2)从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；(3)若函数f(x)的图象在x= xo处与x轴相切，则零点x

6、o通常称为不变号零点；(4)若函数f(x)的图象在x= xo处与x轴相交，则零点xo通常称为变号零点.2 .求函数y=f(x)的零点的方法：(1)(代数法)求方程f(x)=0的实数根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等 )；(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y = f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点；(3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值，二分法的条件f(a) f(b)<0表明：用二分法求函数的近似零点都是指变号零点.3 .有关函数零点的重要结论：(1)若连续不间断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点；(2)连续不间断的函

7、数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；(3)连续不间断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变.(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1. (2010天津)函数f(x)= 2x+ 3x的零点所在的一个区间是()A. (-2, 1)B. (-1,0)C. (0,1)D. (1,2)1 72 .(2011福州质检)已知函数f(x)=log2x标x,右实数 刈是万程f(x)=0的解，且0<x1<x°, 3则f(x1)的值B.等于零()A.恒为负C.恒为正D.不小于零3 .下列函数图象与 x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()ABCD4 .函数 f(X)=

8、 (X2)(X5) 1 有两个零点 XI、X2 ,且 X1<X2,则()A. xi<2,2<X2<5B. xi>2, X2>5C. xi<2 , X2>5D . 2<xi<5, X2>54x 4,x< 15. (2011 厦门月考)设函数 f(x)= 2, g(X) = log2X,则函数 h(x)= f(x) g(x)x2 4x+ 3, x>1的零点个数是()A. 4B. 3C. 2D. 1题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6.定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)= 2 00

9、6x+log2 006X,则在R上，函数 f(x)零点的个数为.7. (2011深圳模拟)已知函数f(x) = x+ 2X, g(x) = x+ln x, h(x) = x近一1的零点分别为 X1, X2, X3,则X1, X2 , X3的大小关系是.8. (2009山东)若函数f(x)=aX x a(a>0,且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是.三、解答题(共38分)x 19. (12 分)已知函数 f(x)=x3-x2+2+4.1证明：存在 Xo (0, 2),使 f(x0)=X0.10. (12分)已知二次函数f(x) = 4x2-2(p-2)x- 2p2p+1在区间1,1内至

10、少存在一个 实数c,使f(c)>0,求实数p的取值范围.a11. (14 分)(2011 杭州倜研)设函数 f(x) = ax2+bx+c,且 f(1)=-, 3a>2c>2b,求证: b 3a>0 且一3<a<-4；(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；(3)设X1, x2是函数f(x)的两个零点，则/2< |x1 -x2|<4-.答案自主梳理1. (1)f(x)=0 (2)x 轴 (xi,0)两个一个 无自我检测1. C 当xw。时，令 解得x= 3;零点 2.f(a)f(b)<0 (a, b)4.f(a) f(b)<

11、;0 f(c)f(c)=0x2+2x 3=0,f(c) =0 c3.(xi,0)(x2,0) f(a) f(c)<0 f(c) f(b)<0当 x>0 时，令2+In x=0,解得 x=e2,所以已知函数有两个零点.2. B 3.B 4.B 5.A课堂活动区f(x)=0,转化为方程根的个数,能1】解题导引判断函数零点个数最常用的方法是令解出方程有几个根，函数y=f(x)就有几个零点，如果方程的根解不出，还有两种方法判断：方法一是基本方法，是利用零点的存在性原理，要注意参考单调性可判定零点的唯一性；方法二是数形结合法，要注意作图技巧.解 方法一 设 f(x)=ln x+ 2x-

12、6,. y= In x和y= 2x 6均为增函数， ,f(x)也是增函数.又. f(1) = 0+2 6=4<0, f(3)=ln 3>0 , f(x)在(1,3)上存在零点.又 函数在(1,3)上存在唯一零点.方法二在同一坐标系画出y=ln x与y=62x的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数y=ln x+ 2x6只有一个零点.变式迁移1 B 由题意知f(x)是偶函数并且周期为 2.由f(x) log3|x|=0,得f(x)=log3x|, 令y=f(x), y=log3|x|,这两个函数都是偶函数，画两函数 y轴右3 4 5边的图象如图，两函数有两个交点，因此零点个数在xw

13、0, x£ R的范围内共 4个.1例21解题导引用二分法求函数的零点时，最好是利用表格，将计算过程所得的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等置于表格中，可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程，有时也可利用数轴来表示这一过程；在确定方程近似解所在的区间时，转化为求方程对应函数的零点所在的区间，找出的区间a, b长度尽可能小，且满足 f(a)f(b)<0;求方程的近似解，所要求的精确度不同得到的结果也不同，精确度 S,是指在计算过 程中得到某个区间(a, b)后，直到|ab|<£时，可停止计算，其结果可以是满足精确度的最 后小区间的端点或区间内的任一实数，结果不

14、唯一.解 设 f(x)=2x3+3x 3.经计算，f(0) = 3<0, f(1) = 2>0,所以函数在(0,1)内存在零点，即方程2x3+3x 3=0在(0,1)内有解.取(0,1)的中点0.5,经计算f(0.5)<0,又f(1)>0,所以方程2x3+ 3x-3= 0在(0.5,1)内有解,如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表 (a, b)(a, b)的中点a+ b f2(0,1)0.5f(0.5)<0(0.5,1)0.75f(0.75)>0(0.5,0.75)0.625f(0.625)<0(0.625,0.75)10.687 5f

15、(0.687 5)<0(0.687 5,0.75)|0.687 5- 0.75|= 0.062 5<0.1至此，可以看出方程的根落在区间长度小于0.1的区间(0.687 5,0.75)内，可以将区间端点0.687 5作为函数f(x)零点的近似值.因此 0.687 5是方程2x3+ 3x- 3=0精确度0.1的一 个近似解.1.C1 . .1.变式迁移 2 D 由于 f(0)<0 , f 2 >0,而 f(x) = x3+ln x+ 2 中的 x3 及 ln x+ 2 在1，一一，一1，一一，+ 00上是增函数，故 f(x)在 2, 十0°上也是增函数，11故f

16、(x)在0, 2上存在零点，所以 x0C 0, 2 ,1第二次计算应计算 0和2在数轴上对应的中点 1 。+2 1x1= 2 =4.【仞3解 若a=0, f(x)=2x3,显然在1, 1上没有零点，所以aw0.令 A= 4+8a(3+a)=8a2+ 24a+4=0,-3±/7解得a=-2.当 a:32 时,f(x)=0 的重根 x= 3?7c 1,1,当 a=2 时，f(x) = 0 的重根 x= -2?1,1，.y=f(x)恰有一个零点在1,1上；当 f(-1) f(1)=(a-1)(a-5)<0,即1<a<5时，y=f(x)在1,1上也恰有一个零点.当y = f

17、(x)在1,1上有两个零点时，则a>0A= 8a2+24a+4>0a<0A= 8a2+24a+4>01t<2T11t< 2T1f i >0f 一 1 > 0f 1 <0解得 a>5 或 a<2".综上所述实数a的取值范围是a>1 或 a<变式迁移3解方法一(换元)设 2X= t,则函数 f(x) = 4x+ a 2x+a+1 化为 g(t)= t2 + at+a+ 1 (tC(0, + oo).函数f(x) = 4x+a 2x+a+1在(一°°, + oo)上存在零点，等价于方程t2+

18、at+ a+1 = 0,有正实数根.(1)当方程有两个正实根时,= a2 4 a+ 1 > 0a 应满足 t1 +12= a>0t1 t2 = a+ 1>0 解得：1<aW222;(2)当方程有一正根一负根时，只需tt2=a+1<0,即 a< 1;(3)当方程有一根为0时，a=1,此时方程的另一根为 1.综上可知a<2-272.方法二 令 g(t) = t2+at+a+1 (tC(0, + oo).(1)当函数g(t)在(0, + 8)上存在两个零点时，A= a? 4 a + 1 >0实数a应满足 a>0g 0 = a+ 1>0解得1

19、<aW2 2场;(2)当函数g(t)在(0, +8)上存在一个零点，另一个零点在( 8, 0)时，实数a应满足g(0) = a+1<0,解得a< 1;(3)当函数g(t)的一个零点是0时，g(0)=a+1 = 0, a= 1,此时可以求得函数g的另一个零点是1.综上(2)(3)知aw 2 2小.课后练习区一，11. B 因为 f(1) = 23<0, f(0)= 1>0,所以f(x)在区间(一1,0)上存在零点.2. A3. C 能用二分法求零点的函数必须在给定区间a,b上连续不断，并且有f(a) f(b)<0.A、B中不存在f(x)<0, D中函数不

20、连续.4. C5. B 当x V1时，函数f(x)=4x 4与g(x)= log2x的图象有两个交点，可得 h(x)有两个 零点，当x>1时，函数f(x)= x24x+3与g(x)= log2x的图象有1个交点，可得函数h(x)有1 个零点，函数h(x)共有3个零点.6. 3解析 函数f(x)为R上的奇函数，因此f(0)=0,当x>0时，f(x)=2 006x+log 2 006x在区 间(0，2006)内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0, 十 °°)内有且仅有一个零点.根据对称性可知函数在(8, 0)内有且仅有一解，从而函数在R上的零点的个数为 3

21、.7. x1<x2<x3解析 令 x+2x= 0,即 2x=x,设 y=2x, y=x;令 x+ln x= 0,即 ln x= x,设 y= ln x, y= _ x.在同一坐标系内画出 y=2x, y= ln x, y= x,如图：xi<0<X2<1,令x 5一1=0,则(欢)2 -田-1 = 0,1+ ；52，即x3 =3+V52>1,所以8. a>1解析 设函数y= ax(a>0 ,且aw 1)和函数y=x+ a,则函数f(x) = axxa(a>0,且aw 1) 有两个零点，就是函数y= ax(a>0,且aw 1)与函数y=x

22、+a有两个交点，由图象可知当0<a<1 时两函数只有一个交点，不符合；当 a>1时，因为函数y= ax(a>1)的图象过点(0,1),而直线 y = x+ a所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点，所以实数a的取值范围是a>1.化分)9. 证明 令 g(x)=f(x) x.11111g(o)=4, ggxfq)/： 一 8,1 八- g(0) g(2)<o.(8分)1又函数g(x)在(0, 1)上连续，(10分)1 八所以存在 xoC (0, /),使 g(xo)= 0.即 f(x0)=x0.(12 分)10.解 二次函数f(x)在区间1,1内至少存在一个实数c,使f(c)>0的否定是：对于区间1,1内的