(整理)同济第六版高数答案(高等数学课后习题解答)2

1、习题9-1(1) 有一平面薄板(不计其厚度).占有xOy面上的闭区域 D. 薄板上分布有密度为R =R(x. y)的电荷.且N(x.y)在D上连续.试用 二重积分表达该板上全部电荷 Q解 板上的全部电荷应等于电荷的面密度Mx. y)在该板所占闭区域D上的二重积分Q= (x,y)d。，D2,设 I1= H(x2+y2)3d。.其中 Di=(x.y)|-1。£12My<2；Di又 I2 = H(x2+y2)3d。其中 D2=(x,y)|0«x«1，04y玉2 . D2试利用二重积分的几何意义说明Il与I2的关系,解Ii表示由曲面z=(x2+y2)3与平面x=&#

2、177; 1.y=±2以及z=0围成的 立体V的体积,I2表示由曲面z=(x2+y2)3与平面x=0x=1 y=0y=2以及？0围成 的立体V1的体积显然立体V关于yOz面、xOz面对称因此V 1是V位于第一 卦限中的部分故V=4V1,即 11=463,利用二重积分的定义证明：的。=。(其中仃为D的面积)； D证明由二重积分的定义可知f(x,y)d：D其中巴表示第i个小闭区域的面积此处f(x,y) = 1,因而f«J)=1所以.nd； Tim2 "lim；-二.10i - )0DT（其中k为常数）;(2) kf(x,y)d； =k f(x,y)d :证明 kf (

3、x, y)d； Tim % kf ( i, i)二i -lim k% f ( i, i) - i d' " '，0 i=in= klim/ f( i, i) ；i=kf(x,y)d；:.10i TD(3) f(x,y)d二=f(x,y)dLi f(x,y)d。 DDiD2其中D = D2D2-Di、D2为两个无公共内点的闭区域,证明 将Di和D2分别任意分为ni和n2个小闭区域A。'和%2 .n1+n2=n作和nnln2V f(i, Li J f( ii, i)、f( i2, i2)F2 , i 1ii ii2=i令各卜和A。i2的直径中最大值分别为九i和,、

4、2又%=maxOi%2)，则有nnin2网% f(i, i)«i = limj f(ii, ii)lim。' f(i2, izLz1 ii ii i2 i2F即f(x,y)d 二=f(x,y)d。 f(x,y)d。DDiD24根据二重积分的性质.比较下列积分大小：(1) H(x + y)2d。与H(x+y)3d。其中积分区域D是由x轴，y轴与直线x+y=1所围成；解 区域 D 为：D=(x、y)|0«x, 0«y,x+y«1 .因此当(x，y卢 D 时.有 (x+y)3w(x+y)2.从而(x y)3d - - (x y)2d- DD(2) H(

5、x + y)2d口与H(x+y)3d。-其中积分区域D是由圆周(x-2)2+(y-1)2=2 所围成；解 区域D如图所示由于D位于直线x+y=1的上方所以当 (x.y)w D时.x+y之1 .从而(x+y)3之(x+y)2.因而(x y)2d(x y)3d-DD(3) Hln(x+y)d。与H(x+y)3d。其中D是三角形闭区域三角 DD顶点分别为(1 - 0)- (1 - 1)- (2.0)；解 区域D如图所示.显然当(x.y)w D时. 1Mx+yW2.从而0<ln(x+y尸 1 .故有ln(x y)2- ln(x y)因而 ln(x y)2d- - ln(x y)d。DD(4) H

6、ln(x+y)d。与(x+y)3d。.其中 D=(x y)|3WxM5. 0=1 . DD解 区域D如图所示显然D位于直线x+产e的上方故当(x. y)eD 时，x+y*e，从而ln(x y)-1因而 ln(x y)2 ln(x y)故ln(x y)d: 一 ln(x y)2d二.DD(5) ,利用二重积分的性质估计下列积分的值：(1)I = Jjxy(x+ y)d。-其中 D=(x.y)| 0«H1，0«尸1； D解因为在区域D上0MxM03yM1.所以0<xy<1.0<x+y<2-进一步可得05xy(x y”2于是 0dL i!xy(xy)dL

7、ii2d。 DDD即 0 - xy(x y)d： - 2 D(6) I = "sin2xsin2yd。.其中 D=(x y)| 03Mk 0"3兀； D解 因为 0sin2x1 - 0Msin2yE1 .所以 0Wsin2xsin2yw于是!0d- 11 sin2 xsin2 yd- uld- DDD即 0 - sin2xsin2yd： - 2D(7) I = H(x + y+1)d。-其中 D=(x y)| 0x1- 0WyW2；D解 因为在区域 D上.01 - 07<2.所以l<x+y+l<4-于是Dd。w (x y 1)d!4d。DDD即 2三(x

8、y 1)d二三8D(4)1 = "(x2 + 4y2+9)d。.其中 D=(x.y)| x2+y2 w4 . D解在D上.因为0wx2+y2w4 .所以9 Mx2 4y2 9 M4(x2 y2) 9M 25于是 9d - <(x2 4y2 9)d- < 25d。DDD9二 22 M(x2 4y2 9)d - -25 - 22D即36二 <(x2 4y2 9)d二三100二.D习题9-21 ,计算下列二重积分：(1) JJ(x2+y2)d。.其中 D=(x,y)| |x悍1 , |y|«1； D解 积分区域可表示为D : -1 <x<1 ,-1&

9、lt;y<1 ,于是 11001c 10d!(x2 y2)d。= j/xy(x2 , y2)dy =x2yy311dxD3= j(2x2 +3)dx =gx3 +(刈:!.(2)(3x+2y)d。.其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域： D解积分区域可表示为D： 0xW2.0Ey<2-x 于是 22c20(3x 2y)d；：； = 0dx0 (3x 2y)dy = 03xy y220xdx D=f(4+2x 2x2)dx =4x + x2 -1x30 =230 .(3) H(x3+3x2y+y2)d。.其中 D=(x.y)| 0<x<1 . 0<y&l

10、t;1； D4X71 o,c c111。 c C解(x3 3x2y y3)d： = Qdy ,Q(x3 3x2y y3)dx= 01(4y y3)dy 吗子小=：1 卜.JJxcos(x+y)dcr .其中D是顶点分别为(0.0). (n. 0).和(n .n)的三角形闭区域, D解 积分区域可表示为D ： 0<x<n , 0<y<x,于是.二 x二xJJxcos(x+y)dcr = 0 xdx 0 cos(x +y)dy = xsin( x+y)0dxDji=0 x( s i 2x -s i ix)dx0xd(-2c o2xc ox),11= -x(,c o2x-c

11、ox) |0+ |0 (2cos2x-cosx)dx =-2,回出积分区域.并计算下列二重积分：(1) Hxjyd。.其中D是由两条抛物线y=6. y = x2所围成的闭区域； D解 积分区域图如.并且D=(x.y) 0<x<1 . x2MyMVx,于是1、.x1，_3-1 Q Q tiAx、.yd。/炉炉 x., ydy>0x3y2x2xdx = 0(|x4-3x4)dxw .D33355(2) Uxy2d。.其中D是由圆周x24y2=4及y轴所围成的右半闭区域； D解 积分区域图如.并且DX(x.y)| 2WyW2. 0Wxwj4y2.于是22:4 -y222 1 2 2

12、 4 -y2xyd；jdy0xydx=2xy°dyD22 1 .,42 .31 .5264=J2y 一”)dy=|y 一记 yF'(3) JJex%。.其中 D=(x,y)| 冈+|y£1； D解积分区域图如.并且D=(x y)| -1 -x-0 -x-1 -y-x 1 一 (x y)| 0-x-1 x-1 _y_-x 1.0 x 11-x"1ex yd。= gdx *eydy 0exdx x_1 eydy D=：exeytxLdx 0exey滔1dy = 01(e2x 1-e)dx 0(e-e2x')dx=2-e2x 1 飞七0| ex-1e2x

13、0 =e-e-1.(4) JJ(x2+y2 -x)d。.其中D是由直线y=2,y=x及y=2x轴所围成的闭区域c c2(x2 y2x)d二=0D解 积分区域图如.并且D=(x.y) 0<y<2. y<x<y,于是y z 9O x .2y .dy y(x2 y2-x)dx= J-x3 y2x-x22dy20 3222/19 3 3 2、x 13 = 0(24y 一8y )dy二石3 .如果二重积分JJf (x,y)dxdy的被积函数f(x, y)是两个函数fi(x)及f2(y)的乘积.D即f(x.y)= fi(x) f2(y).积分区域DX(x. y)| a<x&l

14、t;b, c< y<d.证明这个二重积分等于两 个单积分的乘积即bdii fi(x) f2(y)dxdy- afi(x)dx c f2(y)dy D b db d证明fi(x) f2(y)dxdy = i dx fi(x) f2(y)dy = fi(x) f2(y)dydx .a ca cDdd而c fi(x) f2(y)dy = fi(x) c f2(y)dy .bd故fi(x) f2(y)dxdy= fi(x) f2(y)dydx ,acD由于f2(y)dy的值是一常数因而可提到积分号的外面于是得 cbd! fi(x) f2(y)dxdy 刊 fi(x)dx f2(y)dyac

15、D4 ,化二重积分I =Jf (x,y)d。为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的D两个二次积分).其中积分区域D是：(i)由直线y=x及抛物线y2x所围成的闭区域；解积分区域如图所示.并且D=(x.y)10MxM4, x<y <2Vx.或 D=(x.y)| 0<y<4,- y2 <x<y.42-x,4 y所以 I=dxf f (x,y)dy或 I =6dy jy2 f (x,y)dx， 0 x4(2)由x轴及半圆周x2+y2=/(y之0)所围成的闭区域；解积分区域如图所示.并且D=(x y)| r MxMr, 0£ y 一 J2 x2 或

16、D=(x,y)| 0_y_r, - ,r2-y2 _x_,r2-y2.所以f(x, y)dx .rr r2 x22、 rr2 _y2= Gdxtf(x,y)dy 或I =曲rrr-7(3)由直线y=x.x=2及双曲线y=(x>0)所围成的闭区域； x解积分区域如图所示.并且1 、D=(x y)|1<x<2,-< y <xx或口=汽 y)| 1<y<1,-l<x<2. (x y)|1<y<2, y<x<2.所以2 xI = 1 dx”(x, y)dy .或 I "x1222二dy i f (x, y)dx 1

17、dy f (x, y)dx .2 -.4-y21- 4 -y2dy 2 f(x, y)dx dy 2 f (x,y)dxT.1-y2-2-4ry2 y22_(4)环形闭区域(x y)| 1_x y <4.解 如图所示.用直线x=1和x=1可将积分区域D分成四部分.分别记做D1.D2.D3.D4.于是I !f(x, y)d，Iif(x,y)d，iif(x, y)d。-II f(x, y)d。D1D2D3D4.4 b21J4b2=dx 442f(x,y)dy dx1 f(x,y)dy 24 x11 x1- 1 以22. 4 -x2dx 2 f(x,y)dy 1dx 4 2 f (x,y)dy

18、 4 -x14 -x用直线y=1 .和y=-1可将积分区域D分成四部分.分别记做D1 .D2.D3.D 4.如图所示.于是I !f(x,y)d，iif(x,y)d，iif(x,y)d。.11 f(x,y)d。D1D2D3D42. 4-y21-1 -y2=1 dy-4f2 f (x,y)dx ydy._ 4_y2 f (x,y)dx5 ,设f(x.y)在D上连续.其中D是由直线y=x、y=a及x=b(b>a)围成的闭区域.证明adx£ f (x,y)dy=£dyjyf(x, y)dx ,证明积分区域如图所示.并且积分区域可表示为D=(x .y)|a<x .a<

19、;y<x .D=(x.y)|a<y<b .y<x<b,b x、b b于是"f (x,y)d仃=J dx f (x,y)dy .或 ff f(x, y)d。=J dyf f (x,y)dx .a aa yDDb xb b因此 adxa f(x,y)dy= ady y f(x,y)dx .6 ,改换下列二次积分的积分次序：1 y 0 dy 0 f (x, y)dx解 由根据积分限可得积分区域 D=(x.y)|0<y<1 . 0<x<y.如图.因为积分区域还可以表示为 D=(x.y)|0<x<1 .x<y<1.所

20、以1 y110dy 0 f (x,y)dx = 0dx xf(x,y)dy .2 2y 0dy y2 f(x,y)dx2解 由根据积分限可得积分区域 D=(x.y)|0WyW2.y <x<2y.如图.2 2y因为积分区域还可以表示为 D=(x.y)|0<x<4. lx <y<Vx.所以0dy f(x,y)dx = 0吟 f(x,y)dy .y2小、11-y2x -x2 dx f (x,y)dy 12公解 由根据积分限可得积分区域 D=(x,y)11MxM2,2xEywJ2xx2.如图.因为积分区域还可以表示为 D=(x,y)|0MyW1,2-yWxW1十斤，

21、 .所以22x -x2111 y21dx2 f(x，y)dy = 0dy 2 y f(x,y)dx .,3 3) dy. -2 f (x,y)dx 0 - 1 -y解 由根据积分限可得积分区域 口=(乂丫)|003,-97双£斤7.如图.因为积分区域还可以表示为 D=(x,y)|-1ExE1,0EywU .所以1。1 +2-y2f(x,y)dx= /x0 f(x, y)dye ln x(5) 1dxo f (x,y)dy解 由根据积分限可得积分区域 D=(x.y)|1<x<e, 0<y<ln x.如图,因为积分区域还可以表示为 D=(x.y)|0wyw1 .e

22、yaw e,所以 e ln x1 ejdxg f(x, y)dy = dy ey f (x,y)dx - sinx(6) (dxinxf(x,y)dy (其中 a>0).解 由根据积分限可得积分区域 D=(x, y)|0WxMn,sin_x WyMsinx .如图, 因为积分区域还可以表示为D =( x, y)| 1 三y 三0, 2a r c sy nxM吗-( x,y) |0三y 三1, a r c sy nx 二-arcsynsinx0-：.1区一arcsiny所以 0 dx y呜 f(x，y)dy= .dy .3csinyf(x，y)dx 别 arcsinyf(x，y)dx7,设

23、平面薄片所占的闭区域 D由直线乂+丫=20=乂和x轴所围成.它的面密度为 N(x .y) =x2+y2.求该薄片的质量.解如图.该薄片的质量为y2)dxM = . . " (x,y)d。D= J13(2-y)3+2y2-fy3dy8 ,计算由四个平面x=0 .y=0 .x=1 .y=1所围成的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截 得的立体的体积.解四个平面所围成的立体如图.所求体积为11V = U(6-2x-3y)dxdy = dx(6-2x-3y)dyD=06y-2xy-3y20dx “(|2x)dx彩.9 ,求由平面x=0.y=0. x+y=1所围成的柱体被平面z=0及抛物面x

24、2+y2=6-z截得 的立体的体积.解 立体在xOy面上的投影区域为D=(x. y)|0<x<1.0<y<1-x.所求立体的体积 为以曲面z=6-x2寸2为顶.以区域D为底的曲顶柱体的体积.即c 111-xC C 17V = .(6-x2-y2)d ； =0dx0 (6-x2-y2)dy =17 .D610求由曲面zr242y2及z=6-2x2-y2所围成的立体的体积.解由z =x +2/2 2消去z.得x2+2y2=6-2x2-y2.即x2+y2=2.故立体在xOy面上 z =6-2x2 -y2的投影区域为x2y2<2 .因为积分区域关于x及y轴均对称.并且被积

25、函数关于x. y都是偶函数.所以V = (62x2y2)(x2 2y2)d二=(6 3x23y2)d二 DD2n2-x2222 -2 3二12。dxQ(2x2y2)dy =8。. (2 x2)3dx=6二，11 .画出积分区域.把积分口 f(x,y)dxdy表示为极坐标形式的二次积分.其中积 D分区域D是： 222(1)(x y)| x2 y2<a2(a>0)解 积分区域D如图,因为D=( P,0)|0<6<2n. 0<P<a.所以11 f (x, y)dxdy = f ( ： cos?, ：sin 二)：d ：d1 DD2 二a=J0 dH J0 f( P

26、c o S, Ps i 3)FdP (2)(x y)|x2 y2Nx解 积分区域D如图，因为D=( P,0)|-|-<0 <,0< P<2coS9.所以11 f (x, y)dxdy =f (：、cos1"sin尸d ：1d1DD 2cop=RdBf(Pc o虫 Ps i n)PdP .22 2222(3)(x .y)| a <x +y <b .其中 0<a<b ；解 积分区域D如图，因为D=( P.0)|0<6<2.a<P<b.所以11 f (x, y)dxdy = f ( : cos，飞in 二);?d ;?

27、dDD2二.b=4 d Ja f (Pc oW, Ps i 3) PdP，(4)(x,y)| 0<y<1-x. 0<x<1,解 积分区域D如图,因为D=(P,e)|0MeMj0MPM _1 .口 .所以2 cos sm,i f (x, y)dxdy = f ( cos1, sin ) ;?d ;?dDD二_i _=Udu./'FfLcossin)%：.12 .化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：i 1(1) 0dx0f(x,y)dy解积分区域D如图所示,因为D =(：尸)|0- -,0< ?<sec - (:>)1二一-,0 :Mcs等.44

28、2LL 11所以 °dx °f(Ky)dy = f(x,y)dc = f(:cos ：sin”：d：dFDD方 s e：c21c sp=g de f (Pc o®, Ps i n) PdP 十1de jf (Pc oft, Psi n)PdP ,：dxx3xf(、x2y2)dy解积分区域D如图所示.并且TTTTD =(：尸)|7_-,0_ _2sec.432. 3x所示一江2sec?f(；)W .。-f(D)：d：duD0dx( f(Jx +y )dy=0f(Jx +y )d1. 1。2 0dxl f(x,y)dy解积分区域D如图所示.并且D =(：户)|0一 1

29、( , )| 2,cos si n1/1次2所以0dx(f (x, y)dy= 口 f (x, y)d。= JJ f (Pcos6, Psin8) PdPdH11 f ( Pc o s, Ps i n) PdP1x2 0dx0 f(x, y)dy .解积分区域D如图所示.并且HTD =(：,明0<【< 4,sec taE_ ；_sec1 x2.所以dx f (x,y)dy = jjf (x,y)d。= JJ f(Pco甲，Psin)Pdd8DD-7 s ec=0 " s a/rCo", 飞 i n)：d' 0s ey a n13 .把下列积分化为极坐标形

30、式.并计算积分值：2a2ax x22 0 dx0 (x y )dy解 积分区域D如图所示.因为D=(P/0)|0Ma <|,0<P<2acos0.所以2a.2ax-x2 . n .* dx(x2+y2)dy = 口 P2,PdPd 日D二2de jaco'p2 PdP =4a442c o4sda =3na4004(2) :dx ：x2 y2dy解 积分区域D如图所示，因为D=(P,8)|0W8 W工,0wPEaseC3.所以 4:dx；x2y2dy=；：ddDaas e-sa3 -33=o4d< I p Pd。= a- 04seCud 二-a6K 2 ln(、2

31、 1).1 x-1. 0dxx2(x2 y ) 2dy解 积分区域D如图所示，因为D=( P,8)|0we40“EseC3 tan6 .所以 1 x_1_1dxjx2 (x2 +y2) 2dy = JJP 2 Pd用8aa2 _y2 0 dy 0 (x y )dx .解 积分区域D如图所示，因为D=( P9)|0<0 <2,0<P<a.所以aa2 -y2 c cca a ody (x2+y2)dx= fP2 PdPd日=pd日P2 FdP =D14.利用极坐标计算下列各题：(1) Jex 4y d。，其中D是由圆周x2+y2 =4所围成的闭区域；解 在极坐标下DX( P

32、.e)|0WeKn. 0WPW2.所以.ex2 y2d。= .©飞5DD= j"d"ePPdP = 2n 1(e4-1) =(e4-1)，(2) J1ln(1+x2+ y2)d。,其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的在第一象限D内的闭区域；解 在极坐标下D=(P,e)|0we/,0"可.所以iiln(1 x2 y2)d- = ln(1 ；2)：泡：七1DD三,1=2d。 ln(1 ：2)：d： = l(2ln21)=1(2ln2 1) .(3) f arctan-da .其中D是由圆周x2+y2-4 ,x2+y2=1及直线y4.y=x所围成的第

33、dx一象限内的闭区域.解 在极坐标下D=( P,0)|0<0 <,1<P<2.所以4y- Xan= arctan(tani)d；d 二- d ; d; dDD223 3= 04d1 H，PdP =(例1 PdP=34，15.选用适当的坐标计算下列各题： 2(1)Hx2dxdy,其中D是由直线x=2, y=x及曲线xy=1所围成的闭区域， d y解 因为积分区域可表示为D=(x,y)11MxM2,1EyW片.所以 x2_x22 2 x 12 39-dxdy 1 x dx 1 2dy =1 (x3-x)dx =d y1 xy 14(2) .32-乙。.其中D是由圆周x2为2

34、=1及坐标轴所围成的在第一象限内D ； 1 x y的闭区域；解 在极坐标下口=(巳曾|0vW5,0"W1 .所以(3) JJ(x2+y2)d。.其中D是由直线y=x.yn+a.y=a.y=3a(a>0)所围成的闭区域；D解 因为积分区域可表示为D=(x.y)|aWy3a.y-aWxEy .所以H(x2+y2)d。=dyf (x2+y2)dx =(2ay2 -a2y+1a3)dy=14a4 .Da y 与a3h'x2 +y2db .其中D是圆环形闭区域(x*y)| a2x2+y2<b2.D解 在极坐标下DM( P.e)|0MeWn.aMPMb .所以x2 y2d二二

35、Dd1 , r2dr ="2二(b3-a3).0 a 316 .设平面薄片所占的闭区域 D由螺线P=28上一段弧(0<e<|)与直线所 围成.它的面密度为N(x .y)=x2+y2 ,求这薄片的质量.解 区域如图所示.在极坐标下D =( P9)|0<9 <,0<P<20.所以所求质量2'2r O5- 5- 5M =(x,y)do = ；dL0 ：2 .Dd： =4 02。%l=而.D4017 .求由平面y=0.y=kx(k>0).z=0以及球心在原点、半径为R的上半球面所围成 的在第一卦限内的立体的体积,解 此立体在xOy面上的投影区

36、域D=(x.y)|0w8warctank. 0<P<R,c a aa r c tka n R -V = JjjR2 -x2 -y2dxdy = d6 0 /R2 -P2PdP=1R3a r c tla nD318,计算以xOy平面上圆域x2+y2=ax围成的闭区域为底.而以曲面z=x2+y2为顶 的曲顶柱体的体积.解 曲顶柱体在xOy面上的投影区域为D=(x.y)x2+y2Max.在极坐标下 D=( P,6)|- <0<|-, 0<P<acos6.所以a a7Taco 停4 7T AQ/V= (x y )dxdy 二9di 0:： d2cos 汨 =；a 二

37、.x2 y2 郎"24 "232习题9-31 ,化三重积分I = 1fH f (x,y,z)dxdydz为三次积分.其中积分区域。分别是：Q(1)由双曲抛物面xy=z及平面x+y-1=0.z=0所围成的闭区域；解积分区域可表示为0(x.y.z)| 0<z<xy. 0<y<1 -x. 0<x<1.于是 I11 2 xy=0dx 0 dy 0 f (x,y,z)dz .(2)由曲面z=x2+y2及平面z=1所围成的闭区域；解积分区域可表示为1 =(x,y,z)|x2 y2 EzMl, f ；1 -x2 三 y _ . 1-x2, -1Mx M

38、1.1121于7H1 = Jdx 12dy .X2 2 f (x,y,z)dz xx 1 y(3)由曲面z=x2+2y2及z=2-x2所围成的闭区域；解 曲积分区域可表示为 =(x,y,z)|x2 2y2 -z-2-x2, - d-x2 _y_ d-x2, -1-x-1.11 -x22 -x2于th1 = ./x dy x2.2y2 f(x,y,z)dz -提示：曲面z=x242y2与z=2-x2的交线在xOy面上的投影曲线为x2+y2=1 .(4)由曲面cz=xy(c>0).岑+甘=1 .z=0所围成的在第一卦限内的闭区域. a b解 曲积分区域可表示为cb 22xyaa2 诙2:1

39、(x,y,z)|0-z -xy, 0 - y - b x a2 -x2,0-x -s于是 I=0 dx ； dy 0c f (x, y, z)dz .提示：区域建的上边界曲面为曲面cz=xy ,下边界曲面为平面z=0,2 .设有一物体.占有空间闭区域 Q=(x.y .z)|0<x<1.0<y<1.0<z<1.在点(x.y.z) 处的密度为Hx.y.z)=x-+z.计算该物体的质量.111ii解 M =Kxdydz = dx dy (x y z)dz = dx (x y -)dy:，0、，12 1111 oi 3= gxy+y +)yodx=4(x+1)dx=

40、2(x+1)20 = 2 .3 ,如果三重积分仃f(x,y,z)dxdydz的被积函数f(x.y .z)是三个函数f(x)、f2(y)、f3(z)的乘积.即 f(x.y.z)=f(x)f2(y) f3(z).积分区域0= (x. y. z)|a£xwb. cEyEd. lzEm. 证明这个三重积分等于三个单积分的乘积.即bdm! f(x)f2(y) f3(z)dxdydz= J(x)dx f2(y)dy f3(z)dz aciQ b d m证明f1(x) f2(y) f3(z)dxdydz = J c (l f1(x)f2(y) f3(z)dz)dydxQ b dmbmd=a c (

41、f1(x) f2(y) l f3(z)dz)dydx = J( f1(x) l f3(z)dz)( c f2(y)dy)dx b mdmdb=a( l f3(z)dz)( c f2(y)dy)f1(x)dx -(l f3(z)dz)( c f2(y)dy) a f(x)dx=f1(x)dxf2(y)dyf3(z)dz .acl4 .计算Hf xy2z3dxdydz .其中C是由曲面z=xy.与平面y=x.x=1和z=0所围成的 Q闭区域.解积分区域可表示为0(x.y .z)| 0<z<xy. 0<y<x. 0<x<1.于是xy2z3dx d y dz0xdx

42、 0 y2dy :yz3dz = 0xdx ; y2和dy1 x1=-x5dx y5dy = x12dx =4 0028 03645,计算/xdydj、3 .其中Q为平面x=0.y=0.z=0.x4y+z1所围成的四面体 ；(1 x y z)解积分区域可表示为0(x.y .z)| 0<z<1-x-y. 0<y<1-x. 0<x<1.于是:(1?；竽=odxo dy o(1 x y z)5 dz11诙= Qdxo 2(1 x y)2一驷力木川加二a(l 嗯提示：dxdydz 11 /1 .x _y1一(1 x y z)3 0dx0 dy 0(1 x y z)3

43、dz11 -1Jv 111110dx 0 -2(1 x y z)20 "dy = 0dx0 2dT 一那y111: 0 -2(1 x y)力1094加一8Hxdx1-2-x116 +X3-8-刈nd15=2(ln2-，6，计算JH xyzdxdydz.其中夏为球面x +y +z =1及三个坐标面所围成的在第一 Q卦限内的闭区域.解积分区域可表示为J -(x,y,z)|0<z< 1-x2-y2, 0< y < 1-x2,0<x<111 -x2I2_y2于是 Hxyzdxdyd0dx0dyJ0xyzdzQ _°11e2 1991 122110

44、dx 02xy(1-x2-y2)dy = 08x(1-x ) dx =获7,计算xzdxdydz.其中C是由平面z=0.z=y.y=1以及抛物柱面y=x2所围成的 闭区域.解积分区域可表示为2j=(x y z)| 0-z-y x <y<1 -1-x<1曰11y11 1于是x zd x d y W /dx 2dy 0 z d 左 xdx 1 y2dy1x01xx(1-x6)dx = 0 .8,计算zdxdydz.其中C是由锥面z=n«'x2+y2与平面kh(R>0. h>0)所围成 - R的闭区域.解 当07窃时.过(0. 0. z)作平彳T于xO

45、y面的平面.截得立体G的截面为圆Dz：x2 y2 =(Rhz)2 .故Dz的半径为Rz .面积为半2z2 .于是考hz3dz =小h2 04hDzjjjzd xd ydgzdz 仃dxdy =9，利用柱面坐标计算下列三重积分(1) HJzdv.其中C是由曲面z=j2x2y2及z=x2+y2所围成的闭区域；解在柱面坐标下积分区域建可表小为0<e<2n, 0<P<1 , P2<z<72-p2 .于是2-12-：2zdv= 0 djd ; 2zdzQ二2二;2 ：(2- ：2_ ：4)d：1 r -3 、5- 7-0(2： - 3_D5)dD 送二(2) HMx2

46、 + y2)dv .其中夏是由曲面x2+y2=2z及平面z=2所围成的闭区域解在柱面坐标下积分区域C可表小为。20<e<2Jr. 0<P<2. <z<2 .2- 2 c 2于是川(x2+y2)dv=HJP2FdPdedz= d0 P3dPpdz2,2二212二816=di (2：3D5)dD= 8dL 生二. 00'20 3310 .利用球面坐标计算下列三重积分：(1) 1H(x2+y2+z2)dv .其中C是由球面x24y2+z2=1所围成的闭区域.解在球面坐标下积分区域C可表示为0凡 0 夕0,0<r<1.于是(x2 y2 z2)dv

47、 =r4sindrdd1QQ2 ：；,、?.1= df s i nd : r4dr = 一二. 0005(2) HJzdv .其中闭区域C由不等式x2+y2 +(z-a)2&2.x2+y2<z2所确定，Q解在球面坐标下积分区域C可表示为TT0_i -2- ,0- -, 0<r <2acos4于是 HzdvHrc o中sr2s i?d r咄aQ Q=2冗 04s i nc o S ；(2ac oS)4d中£= 8 ：a4 4s i n c05sd ： =7二a4 . 0611 .选用适当的坐标计算下列三重积分：(1) Jjjxydv.其中。为柱面x2+y2=1

48、及平面z=1.z=0.x=0.y=0所围成的在第一卦 限内的闭区域.解在柱面坐标下积分区域C可表示为0_1 _,0_ ：- _1,0<z<1于是 xydv in Pcos? ：-'sin 二：-'d：didzQ Q二1 01=02s i nc o Sd9 |0 P3dP0dz=-,别解：用直角坐标计算1.q1 2211. 1 上213!xydv = 0xdx0 ydy 0dz = /d ydy 0g吟)dx2 2x2 x4 111=*。8 1(2) JH Jx2+y2+z2dv .其中。是由球面x2+y2+z2=z所围成的闭区域；解在球面坐标下积分区域C可表示为0_

49、2 二,0_ _-,0<r <cos .,2,2 二 cos 八于是JH Jx2+y2+z2dv = j0 d 02drr2sindr=2二万sin : -cos4 d := 0410(3) W(x2 + y2)dv .其中夏是由曲面4z2=25(x24y2)及平面z4所围成的闭区域；解在柱面坐标下积分区域C可表小为0_1 -27.0- : -2,5 7MzM522-2 c 5于是 (x2 y2)dv= di J3d： .5-dz 00''J225 -、-、二2二 0 3(5-W ： )d：； 二8二，(4)H(x2+y2)dv .其中闭区域C由不等式0<aW

50、，x2+y2十z2 wA .z>0所确定， Q解在球面坐标下积分区域夏可表示为TT0 二 2-：,0< ; <2，a<r<A于是 (x2 y2)dv = (r2s i n :c o2s: r2s i n s i 2?)r2s i nd r dd1QQ2一； 矢 cA=0 d6 02sin 3 a r z=j5-x2 -y2 及 x2+y2 Hz ,解在柱面坐标下积分区域C可表示为0_I _2二,0一 ： 一2,1 :七72 .25-，：2de|/dP口dz0 4P=2 二:?(x5772-2)d |-：(5x5-4).13 .球心在原点、半径为 R的球体.在其上任

51、意一点的密度的大小与这点到球 心的距离成正比.求这球体的质量.解密度函数为 R(x,y,z)=kjx2 +y2 + z2 .dr =15 (A在球面坐标下积分区域。可表示为0<9<2. 0<. 0<r<R. -a5),12 .利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积：(1)z=6-x2-y2 及 z=Jx2+y2 ；解在柱面坐标下积分区域C可表示为20<e<2 H. 0<P<2 . Pz<6-P2.2-26 _,2于是 V = Hjdv=Hj Pd代I8dz = § de A PdPdzQ Q2 一 .o 一 32二2二

52、(6 ： - ： 2- ： 3)d。=32 二， 03(2)x2+y2+z2=2az(a>0)及 x2+y2 =z2(含有 z 轴的部分)；解在球面坐标下积分区域夏可表示为0 二 2二，0_ _-,0<r <2acos 4于是 V= dv = r2sin drddiQ Q2 二y2aco s o=0 dH 04s i nd* Ir2dr=2n 048a3c 03sps i nd中=g3 .3 3) z=Jx2 +y2 及 z=x2+y2 ；解在柱面坐标下积分区域C可表示为0<6<2. 0<P<1 .P2<z<P.一2-1P1c C于是 V

53、=. dv= 0 dY Jd = 2dz=2 二.0(：2_73)d： = 62 一一R于是 M =jqkjx2 + y2+z2dv = d9 0 s i nd5 0 kr r2dr =knR4 ,Q习题9-4：:z _y7T 二 a2 二x2 1 y21 ,求球面x2 +y2 z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax内部的那部分面积 解 位于柱面内的部分球面有两块.其面积是相同的.由曲面方程 z=，a2_x2_y2得合 =-,2 'A !xdxdy =、00dx 0 xdy =A 0k 2pxdx二融22：x ，a2_x2_y2于是 A =2 J （；z）2 （；z）2dxdy =22a

54、2dxdyac os 1）:二2x2;：；y2<ax 1、X -yx2 y2<ax . a -x-yd P -4a 02 （a -as i n）d -2a2（二-2）2 ,求锥面z=x2 +y2被柱面z2=2x所割下的部分的曲面的面积，解 由z=Vx2 +y2和z2=2x两式消z得x2+y2=2x.于是所求曲面在xOy面上的投 影区域D为x2+y2E2x,由曲面方程Jx2 +y2得4z=x . 4z =/y .二x x x2 y2 ;y x2 y2于是 A 'J （：z）2 （：z）2dxdy =、,2dxdy -/2二，（x）2 ' y2 d ''-x -y（x）2，y23 ,求底面半径相同的两个直交柱面 x2+y2=R2及x2+z2=R2所围立体的表面积.解 设Ai为曲面z =Jr2 -x2相应于区域D : x2+y2<R2上的面积.则所求表面积为 AMAi .A=4,1 （：z）2 （：z）2dxdy4. J （ -x ）2 02dxdyD:xtyDr2-x2RR. R421_R2= 4iiR<lxdy4R dx'dy =8R dx=16R2 ,D . R2 -x2与-R-x2,R2-x2y 卡4 .设薄片所占的闭区域D如下