(整理)平面向量的数量积及其应用精品

1、平面向量的数量积及其应用自主梳理1.向量数量积的定义(1)向量数量积的定义:已知两个非零向量a和b,它们的夹角为 依则数量 .|a|b|cos 0量积(或内积)，记作ab=|a|b|cos 0,其中向量的投影：Irb I cos叫做a和b的数r b=辛e r,称 |a|r r为向量b在a方向上的投影。投影的绝对值称为射影;注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0 WW180。,一 ，Jr-规定：零向量与任一向量的数量积为 0.即0 a 0(2)平面向量数量积的几何意义数量积a b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|cos 0 的乘积.(3)平面向量数量积的 重要性质：如

2、果e是单位向量，则 ae=ea=_ |a|cos 0;非零向量a, b, a±b? ab=0;当a与b同向时，ab=_|a|b|;(两个非零向量 a与b垂直的充要条件是 _a b=0_)当 a 与 b 反向时，ab=_-|a|b|, a a = _ a2=a|2, |a|=Va_a(两个非零向量 a与b平行的充要条件是_ a b= Na|b|)cos 0=一|a|b|a b|_<|a|b|.2 .向量数量积的运算律(1)交换律：a b = _ b a;(2)分配律：(a+ b) c=a c+ b c;数乘向量Z合律：(?a) b = ?(a b).3 .向量数量积的坐标运算与度

3、量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a=(xi, yi), b= (x2, y2),贝U a b= x1x2+yy(2) 设两个非零向量a,b, a=(x1，y1)，b=(x2,y2),则a±b? x1x2+yy2=0(3)设两个非零向量a,b, a=(x1，y1)，b=(x2,y2),则 cos 0=(4)若 a=(x, y),则 |a|2=_x2 y2或|a|=_x2+y2.(5)若 A (xi, yi), B(X2, y2),则 AB=(x2-xi, y2 yi) , 所以 |AB|=Jx2-xi)2 +(y2 -y1)2.点评：1 .向量的数量积是一个实

4、数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围2 .ab=0不能推出a= 0或b=0,因为ab=0时，有可能a±b.3 .一般地，(ab)cwbc)a即乘法的结合律不成立.因ab是一个数量，所以(ab)c表示一个与c 共线的向量，同理右边(bc)a表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，故一般情况 下(a b)gb c)a.4 .a b = a c(aw 0)5能推出b= c,即消去律不成立.5 .向量夹角的概念要领会，比如正三角形 ABC中，AB, BC应为120 ；而不是60：自我检测1

5、.已知向量a和向量b的夹角为135°, |a|= 2, |b|=3,则向量a和向量b的数量积ab = 3也 .2 .在 RtAABC 中，/ C=90 ,AC=4,则AB AC等于()A. - 16B. 8C. 8D. 16D 因为乙所以正,而二0,所以ME .4C-(4C + CH) - AC-(ACy+AC -3.已知向量A. 0b 满足 ab = 0,同=1, |b|=2,则 |2ab|=D.B. 2V2C. 4r rr-yfri uurry_ 厂B 2ab V(2a b) "4a 4a b b =8=242.34 .已知a±b, |a|=2, |b|=3,

6、且3a +2b与 后一b垂直，则实数 入的值为 25 .已知a=(2,3), b= (4,7),则a在b方向上的投影为旁.6.设ab, c是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有(ab)c (ca)b = 0; |a|一|b|<|ab|;(bc)a(ac)b不与 c垂直；(3a+4b) (3a4b) = 9|a|216|b|2.7.平面上有三个点 A (-2, y),B(0, 2), C(x, y),若ABBC,则动点C的轨迹方程 为.解析由题意得 AB= 2, - 2- , BC=x, 2,又 AB，BC,，ABbC = 0,即 2, 2 - x, y =0,化简得 y2=8

7、x(xw 0)8.若等边AABC的边长为2 J3,平面内一点 M满足 疝=156+"20，则MA MB=. 63解析 合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设 C(0,0), A(2y3, 0), B(. 3, 3), 这样利用向量关系式，求得MA= 亚，1,MB = 近，-1 ,MB=虫,勺，所以MA MB222222= -2.题型一 平面向量的数量积的运算c 满足(a c) (b c) = 0,例1(1)已知a, b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量则|c|的最大值是 a/2(2)如图，在那BC中，|Ad|= 1,则 AC AD等于A.2 ；3解法 1 基底法：Bc=

8、V3BD，:.AC=BC-BA = 3BD-BA = 3(AD-AB) + AB = V3AD+(1V§)AB. 又 ADAB, |AD|=1.AC aD = 3AD2+(1 /3)AB AD= v'3.法2定义法设BD = a,则BC = 3a,作CEBA交的延长线于 E,可知/ DAC = / ACE,在 RtABD 与 RtBEC 中，RtABDsRtBEC 中，_BD AD CE=% 3BC EC ,"'cos/ DAC = cos/ ACE =里宠AC. aD aC= |aD| AC|cos/ DACBQC= |AD| |AC| cos/ ACE

9、= V3.法3坐标法解析建系如图所示.令双小,0 ) ,C(x,7c)fD(0,l),、"之 /、二 = xc - xs ,y匚 J ,ED =( 一常”】). 工仁扉丹=(工神)*RC =筋加、'、九='B xc = ( - J3 )jch yc =、瓦4C = ( ( 1 万，万).AL) =(0 J ) t贝“正,万5二、氏变式训练1 (1)若向量a的方向是正南方向，向量 b的方向是正东方向，且|a|=|b|=1,则 (3a) (a+b) = -330 , AD是边BC上的高，则 AD AC的值ABC 30，借助数量积的定义求出.(2)如下图，在 AABC 中，

10、AB BC 3, ABC等于()A. 0B. 9C. 44【思路点拨】充分利用已知条件的AB BC 3,【答案】B【解析】因为AB AC 3,ABC 30 , AD是边BC上的uuu uuur 高，ad 3 AD ACuuurADuuurACcosCADuuur 2AD(3)设向量1a, b, c满足 |a|= |b|= 1, a b= -2,a c,b- c> = 60°,则|c|的最大值等于(A. 2B.V3C.V2D. 11 一【解析】: a b= g,且 |a|= |b|= 1,a b 1.cosa, b> = 一a,|a| |b|2.a, b> = 120

11、°.如图所示，将a, b, c的起点平移至同一点O,则 a-c=(CA,b-c= CB, / ACB = 60°,于是四 点 A, O, B, C 共圆，即点 C 在 AOB的外接圆上，故当 OC为直径时，|c|取最大值.由余弦定理，得 AB =1OA2+OB220A OOcosa, b= 3,由正弦定理， 得2R=.空 ,2,即|c|的最大 Sil IIN0值为2.题型二向量的夹角与向量的模例 2 已知 |a|=4, |b|=3, (2a-3b) (2a + b) = 61,(1)求 a 与 b 的夹角 0; (2)求|a+b|; (3)若AB= a, BC= b，求 A

12、ABC 的面积.【例 2 解 (1) . (2a- 3b) (2a+b)=61, . . 4|a|24a b3|bf = 61.又|a|=4, |b|=3, .-.64-4ab-27=61, ，ab= 6. a b - 62 n- cos 0=丽广衣=2.又0e=5.(2)可先平方转化为向量的数量积.b+b|2= (a+ b)2=|a|2 + 2a b+ |b|2= 42+2 >(-6)+32= 13,.|a+b|= 13.(3)AB与BC的夹角 仁朗 ./ABC=l 斗=( 333又|AB|=|a|= 4, |BC|=|b|=3,Saabc= 1|AB|BC|sin/ ABC = 2X

13、4X3就=3 3.变式训练2 (1)已知平面向量 % 3, |o|=1, 3= (2,0), n (a 2以 求|2a+f3|的值；(2)已知三个向量 a、b、c两两所夹的角都为120°, |a|=1, |b|=2, |c|=3,求向量 a+ b+c与向量a的夹角.解 (1)V 3= (2,0), ,0=2,又 n (a 2 3),.a ( a 2 份=a2 2 a 31 - 2 a =田.a =5. .(2 a+ 3)2 = 4a2+ 伊+ 4 a -=图+4+2= 10.，|2a+ 日="；而.(2)由已知得(a+ b+ c) a= a= Y'1+4+9 + 4

14、cos 120 + 6 cos 120 +12cos 120 =3.设向量a + b+c与向量a的夹角为以3 a+b+c a 24r3则 cos 仁=-p =-Y,即 0= 150 ；|a+b +c|a|32故向量a + b+c与向量a的夹角为150 :(3)已知i, j为互相垂直的单位向量，a= i-2j, b=i+j,且a与b的夹角为锐角，实数 入的取值范围为.j r -.一一 兀一斛析 a, bC (0, 2), a b>0 且 a b不同向. 即|i|22R|2>0, $1 一当ab同向时，由 a=kb(k>0)得 上一2.，Ka且 后一2. (4)已知直角梯形 AB

15、CD 中，AD/BC, /ADC = 90°, AD = 2, BC= 1 , P 是腰 DC 上的动 点，则|PA+ 3PB|的最小值为 解 以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC=a, DP = y.D(0,0), A(2,0) , C(0, a) , B(1, a), P(0, y),PA=(2, -y), PB=(1 , a-y),PA + 3l5B=(5,3a-4y),|PA+ 3PB|2= 25+ (3a-4y)2,点P是腰DC上的动点，0可地， 因此当y=ja时，|PA+3P B|2的最小值为25, + a b+ a c3=

16、1 + 2cos 120 +3cos 120 =-万，D (0) d h|a+b+c| = / a+b + c 2=，Ja2+b2+c2+2a b+2a c+2b c题型三平面向量的垂直问题例 3 已知 a = (cos a, sin a), b = (cos & sin 3(°< “< 火兀).(1)求证：a+b与ab互相垂直；(2)若ka+b与a-kb的模相等，求3-认其中k为非零实数)(1)证明(a+ b) (a b)= a2 b2= |a|2 |b|2=(cos2 a+ sin2 o) 一 (cos2 计 sin2 制=0,a + b与a- b互相垂直.(

17、2)解ka+b=(kcos a+ cos & ksin a+ sin 份，a kb= (cos a kcos & sin a ksin ,|ka+b|=、(k cos cos )2 (k sin sin )2=Jk2 2kcos( ) 1 ,|akb|=«12kcos( ) k2 .1 |ka + b| = |a kb|, 2kcos( 3 «) = 2kcos( 3 a).又 kwQ . cos( 3- a) = 0.而 0< a< 3< tt, . 0< M a< tt, M a= 2变式训练3 (1)已知平面向量a= (-

18、3, 1), b= 2, 3 .证明：a± b; 若存在不同时为零的实数k和t,使c= a+(t2-3)b, d = ka+ tb,且c,d,试求函数关系式 k= f(t). 证明a b= 3X2- 1 x223= 0,a± b.解c= a+(t2 3)b, d=ka+tb,且 cd, . c d = a + (t2 3)b ( ka + tb) = ka2 + t(t2 3)b2 + t k(t2 3)a b = 0,又 a2=|a|2=4, b2=|b|2=1, ab=0,t33t cd=- 4k+ t3-3t=0,k=f(t)=-4- ”0).(2)已知 a= (co

19、s a, sin a), b = (cos 3, sin ，且 ka+b 的长度是 a kb 的长度的 a/3倍(k>0) .求证：a+b与a b垂直；用k表小a b;求a b的最小值以及此时a与b的夹角e点拨：1.非零向量 a±b? a b=0? Xix2+yiy2=0.2.当向量a与b是非坐标形式时，要把 a、b用已知的不共线的向量表示.但要注意运算技 巧，有时把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异.解由题意得，|a|=|b|=1,，(a+b) (ab) = a2b2= 0,a+ b 与 a b 垂直.|ka+ b|2= k2a2+ 2ka b+ b2= k

20、2+ 2ka b+ 1,川同akb|)2=3(1 + k2)6ka b.由条件知，k2 + 2ka b+ 1= 3(1 + k2) 6ka b,1 + k2从而有，a b= Fk>。) .1 + k2 11 1由(2)知 a b=74k- = 4(k + k)%，1当k=时，等号成立，即 k= 土. k1- k>0, 1. k=1.，一ab1 一 _兀此时cos 0=而而=万，而 长0, nt - 0= 3. 一一 > 一, 1, 兀故a b的最小值为-,此时仁3.(3)设向量 a= (4cos a, sin 力，b= (sin 8 4cos ，c= (cos 3, 4sin

21、 ). 若a与b2c垂直，求tan(a+ 3)的值；求|b+ c|的最大值；若 tan dan 3= 16,求证：a/ b.解因为a与b 2c垂直，所以 a (b 2c) = 4cos osin 3 8cos ocos 汁 4sin ocos 3+ 8sin osin 3= 4sin( a+ 四- 8cos(a+ 3 = 0.因此tan( a+份=2.解 由 b+c= (sin 汁 cos & 4cos 3 4sin 3),得|b+c|=、(sin cos )2 (4cos 4sin)2= '17-15sin 23 W2.又当3=黄，等号成立，所以|b+c|的最大值为4加sin

22、 sin 一证明 由 tan dan 3= 16 得 16 即 16cos cos sin sin 0所以a / b.（4）如图4-4-1所示，在等腰直角三角形 ABC中，/ ACB=90°, CA=CB, D为BC的中点，E是AB上的一点，且 AE=2EB.求证：ADXCE.1 一 一 2 一解 AD CE= (AC+2CB) (CA + 3AB)=-由2+烧 CA+2AB aC+：AB Cb 233=-|AC|2 + 2|CB|函cos 90 +°232pAC|3 ,x 23 *x 2|a+b|=y cos 2x+ cos 22+ sin 2x-sin 2 2 =勺 2

23、+ 2cos 2x= 2|cos x|,_5 K3，4 , cos x>0,|a+ b|= 2cos x.(2)f(x) = cos 2x 2cos x= 2cos2x 2cos x 1 =2 cos x 2 2 2. 兀兀 1- x 3, 4 , /.pcos x<1, 3 当cos x= 1时，f(x)取得最小值3； 当cos x= 1时，f(x)取得最大值1.变式迁移4(1)已知4ABC的面积S,二ABAC = 3S,且cos B = 3,求cos C. 5cos 45 ; 当AC|2cos 45=-|AC|2+ |AC|2= 0,. 7I一ADXCE,即 ADXCE.,(5

24、)在 ABC 中,AB =(2, 3), AC =(1, k),且 ABC的一个内角为直角,求k值. 3 解：当 A = 90 时，AB AC = 0, . 2X1 +3Xk = 0 . k = -2当 B = 90 时，AB BC = 0, BC = AC AB = (1 2, k 3) = ( 1, k 3)112X( 1) +3 * 3) = 0.1. k =3f当 C= 90 时，ACBC= 0, .1- 1 + k(k 3) = 0.1. k =3132题型四向量的数量积在二角函数中的应用例4 已知向量a= cos 2x,3sin 2x ,兀 兀3, 4 .x . x I 一b= c

25、os 2, sin 2 ,且 xC (1)求 a b 及 |a+ b|;(2)若f(x) = a b|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.解 (1)ab= cos 3xcos j-sin 3xsin 2= cos 2x,1AB AC= 1bccos A= 3S= bcsin A >0, 222AC 0, 2 , cos A= 3sin A.又 sin得 cos B = 2X5 >8A+ cos2A= 1,.八 103 10 sin A= 10 , cos A= 10 .由题意 cos B=3,得 sin B= 4. 55cos(A+ B)= cos Acos B sin Asin

26、 B='00.a、b、c, G 是 ABC 的重cos C = cos广(A+ B) = 10-.(2) .已知 ABC中，角A、B、C的对边分别为心，且 56sin A GA +40sin B GB + 35sin C - GC = 0.(1)求角B的大小；(2)设 m = (sin A, cos 2A), n = (4k,1)(k>1), m n 的最大值为 5,求实数 k 的值.解：(1)由G是那BC的重心，得 GA + GB + GC =0,uuruuur uurGC = -(GA +GB),由正弦定理，可将已知等式转化为 uuur uuu uuur uuu r56a G

27、A +40b GB +35c (-GA - GB) = 0uuuuuu整理，得(56a 35c) GA + (40b-35c) GB =0.uuu uuu56a35c=0,，八一' 40b35c=0.，得 a ： b ： c= 5 ： 7 ： 8.不妨设a=5, b=7, c= 8,由余弦定理,a2+ c2- b22ac52+ 82 72- 0<B<7t, . . B= 一3.(2)m n= 4ksin A+ cos 2A= 2sin2A+ 4ksin A + 1,由得B = j,所以A+C = 2%故得AC 0, 22c. 333设 sin A=tC (0,1,则 m n

28、 = 2t2+4kt+1, tC (0,1.令f(t) = - 2t2+4kt+1,则可知当t (0,1,且k>1时，f(t)在(0,1上为增函数，所以，当 t=1时，m n取得最大值5.于是有：2 + 4k+ 1 = 5,解得k= 2,符合题意，所以，k=3.(3)已知等边三角形 ABC的边长为2,。A的半径为1, PQ为。A的任意一条直径,uuuuuur uuuuuuu判断BP CQ AP CB的值是否会随点 P的变化而变化，请说明理由;uuu uuur求BP CQ的最大值。A1 . 一些常见的错误结论：(1)若|a|= |b|,则 a= b; (2)若 a2= b2,则 a= b;

29、 (3)若 all b, b/ c,则 a / c; (4)若 a b= 0, 则 a=0 或 b=0; (5)|a b|= |a| |b|; (6)(a b)c= a(b c);若 ab=ac,则 b = c.以上结论都是错 误的，应用时要注意.2 .平面向量的坐标表示与向量表示的比较：已知a=(xi, yi), b=(x2,必,。是向量a与b的夹角.向里表小坐标表小向量a的模|a|=ya-a|a|=x2+y2a与b的数重积a b= |a|b|cos 0a b= X1X2+ y1y2a与b共线的充要条件A II b(b w 0) a= 2a II b? X1y2 X2y1 = 0非令向里a,

30、 b垂直的充要条件a± b? a b= 0a _L b? X1X2+y1y2 = 0向量a与b的夹角八 a b cos 6=. |a|b|X1X2 + y1y2 cos 0 iA/X2+ y2x2+ y23.证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有:(1)要证 AB=CD,可转化证明 AB2=CD2或 |AB|= |CD|.(2)要证两线段 AB/CD,只要证存在唯一实数WQ使等式AB=妇D成立即可.(3)要证两线段 ABXCD,只需证AB CD=0.平面向量的数量积及其应用练习一一、选择题1.若向量a=(3, m), b=(2, 1), a b= 0,则实数 m的值为()33

31、A. -2B.2C. 2D. 61 . D 因为 ab=6 m = 0,所以 m= 6.2 .已知非零向量 a, b,若|a|=|b|=1,且a,b,又知(2a+3b), (ka 4b),则实数k的值为()A. - 6B. -3C. 3D. 63 . D 由(2a+3b) (ka 4b)=0 得 2k12=0, ，k=6.4 .已知那BC 中，AB=a, At=b, ab<0, SzABC=145, |a|=3, |b|=5,则/ BAC 等于()A. 30°B. 150°C. 150°D, 30°或 150°1153. C - SAAB

32、C =2|a|b|sin/ BAC = , 1 sin / BAC= 2.又 a b<0, / BAC 为钝角./ BAC= 150 .4.若非零向量 a, b满足|a|=|b|, (2a + b) b=0,则a与b的夹角为()A. 30°B, 60°C. 120° D, 150°4. C 由(2a+b) b= 0,得 2ab= |b|解析 a b= cos 2 a+ 2sin2a- sin.12ab 2|b|1cosa, b=同也厂 |b|2 =一，.a, bC 0 °, 180 ,a, b> = 120 .15 .设向重 a,

33、b满足 |a|=|b|=1, ab= 一万，则 1a+2b|等于()A. 2B. 3C. 5D. 76 .已知向量 a=(1,2), b=(2, 3).若向量 c 满足(c+a)/b, c± (a+b),则 c 等于(7 7a, 9, 3777 73, .9 C. 3, 9713-7 一-D7 .在 AABC 中，AB=3, AC = 2, BC = M，则AB AC等于A.-2B.2C.l233D28 .若a, b, c均为单位向量，且 ab=0, （ac） （bc） w。则|a+b c|的最大值为（）A.m1B.1C.2D.29 .已知|a|=6, |b|= 3, a b=- 1

34、2,则向量a在向量b方向上的投影是（）A.-4B.4C.-2D.2120 °,且 |ka+b10 .已知a、b、c是同一平面内的三个单位向量，它们两两之间的夹角均为 + c|>1,则实数k的取值范围是B.(2 , + 8)A.( £ 0)C.(8, 0) U (2, +00)D.(0,2) 二、填空题sin a=11 .设 a = (cos 2 a, sin a), b=(1,兀升 .2 r,2sin a- 1),代 兀，右 a b = -,则2 a= 5,.J2加2k 2sin2L sin5sin a= 3512 .若|a|=1, |b|=2, c= a + b,且

35、c,a,则向量a与b的夹角为 解析 设a与b的夹角为0, . c=a+b, c±a,c a= 0,即(a+b) a= 0. . . a2+a b= 0.又|a|= 1, |b|= 2,1 + 2cos 0= 0. .cos 0= - J,长0 ； 180 即 0= 120 :13 .已知向量m = (1,1),向量 n与向量 m 夹角为3,且 m,n= 1,则向量 n =.解析 设 n=(x, y),由 m n= - 1,有 x+ y=1.由m 与n夹角为 紫 有 m n= |m| |n|cos 学，x= - 1x= 0 .|n|=1,则x2+y2=1.由解得或，y= 0y= 1 n

36、 = (1,0)或 n=(0, 1).14.已知两个单位向重e1,e2的夹角为马，右向重b=e一2e2,b2=3e1 + 4e2,则b1b2=3- 6.三、解答题15.设两向量 e1、e2满足|e1|= 2,囤=1, e1、e2的夹角为60°,若向量2te1 + 7e2与向量e1+te2 的夹角为钝角，求实数 t的取值范围.解 e2= 4, e2= 1,e1 e2= 2 M >Cos 60 = 1, (2te1 + 7e2)(e1+te2)= 2te2+(2t2+7)e1 e2+7te2= 2t2+15t+7.1 向量 2te1 + 7e2 与向量 e1 +te2 的夹角为钝角

37、，2t2+15t+7<0.，一 7<t< 2.2t=入假设 2te + 7e2=依 + te2)(碎？7=t入?2t2=7?t乎,入=-标. 当t=一31时，2te1 + 7e2与e1+te2的夹角为为不符合题意. .t的取值范围是 7,于U 乎，.16 .在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A(1, 2), B(2,3), C(-2, - 1).(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(ABtOC) OC=0,求t的值.解 (1)由题设知 AB = (3,5), AC = (- 1,1),则 AB+AC=(2,6), AB AC=(4,

38、4).所以 |AB + AC|=2痂，|ABAC|=4亚.故所求的两条对角线长分别为4亚,210. 77 f(2)由题设知 OC=(2, 1), ABtOC= (3+2t,5+t).由(AB-tOC) OC=0,得(3 + 2t,5 + t) (2, 1) = 0,，一-,11从而5t=-11,所以t=-y.17 .已知OA=(2,5), Ob=(3,1), OC=(6,3),在线段OC上是否存在点 M,使MAMB,若存 在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.解 设存在点 M ,且OM=»C = (6Z, 3 A (0 本1)MA=(2 64 53,即 45 248 计 11 =

39、 0,故在线段OC上存在点IMB= (3-6X, 1-3?).一 11 ,、11斛得入=彳或 M 315m,使MAmb,且点(2 6»(364+ (5 3 2)(1 34=0, 点坐标为(2,1)或告，口 .55一 ，一.，、22M的坐标为(2,1)或(22511*平面向量的数量积及其应用练习二、选择题R,向量ax,1 ,b 1, y ,c2, 4，且 a c,bc，则B.,10C. 2而D.100 2xr rb/c2y2，故r r |a b| (2 1)(12)2,io.2、定义:sin其中r r为向量a与b的夹角，若2,6,B.C.D. 6得cos3 .,sin5rb sin =

40、 23.若向量c= a则向量a与c的夹角为解析:由于a c= a -a-a-a b a bb,又 a bw0, .a c= |a|2 |a|2 = 0,所以 a±c.答案：90°4.如图，非零向量 OA a,OB tflBC OAC为垂足，若OCa,则A.a b1 2|a|B.a b|a|b|C.a b|b|2D.局向a b5.在OAB 中,uuu uuuuuirOA a, OB b, OD是AB边上的高，若ADuuuAB,则实数A. a (b a)6.已知 |a| 2|b|围是A. 0, 6解：|a| 2|b|向量r ra,b的夹角为也7.设非零向量a、A. 150

41、76;8、 (2012湖南理)【解析】由下图知cos B 2BCB. a (a b)0,且关于x的方程B. -，30,且关于x的方程r r a bcos 0 -F|a| |b|b、c满足|a |B.120°在 ABCB.uuu uurC.a (b a)1 241ar |a|x1a|x|b| |c|，aC.60中,AB=2,AC=3,uuu uurABgBC = AB BC cos(.又由余弦定理知_ 22_ 2AB2 BC2 AC2cos B ,解得 BC V3.2AB BCC.D a (a b)1a br rb0有实根，则a与b的夹角的取值范3,2TD. 6, r 2b 0有实根，

42、则|a|B.D.30uuu uurABgBC = 1 则 BCC. 2V29.在平面直角坐标系中，0(0,0), P(6,8)，将向量针旋转3-后,得向量OQU，则点Q的坐标是(uuirB) 2 BC (uuruOP按逆时r4acos B) 1 .A. ( 7K K二、填空题八.兀八、9 , sin -e).,一 k+ t2y= ka+tb,满足x±y,试求此时B. ( 7,2, ,2) C, ( 4,6, 2) D. ( 4. 6, 2)_- _ 1 rr10 .右平面向重a, 3满足|o|=1, |。W,1且以向重a, 3为邻边的平行四边形的面积为万，则“与3的夹角0的取值范围是

43、 _6, 5.11 .已知向量 a, b, c满足 a + b+c= 0, (ab)±c, a±b,若 |a|=1,则 |a|2+|b|2+|c|2的值是4 .12.已知在平面直角坐标系中，O(0,0),M(1,1),N(0,1),Q(2,3),动点P(x,y)满足不等式0缶 6M< 1,0OP ONwj,则 z=OQ OP的最大值为 _3.三、解答题1313.设平面上有两个向重a = (cos a, sin a) (0a<360 ), b= 5, 彳.(1)求证：向量a+b与ab垂直；(2)当向量43a+b与a- 43b的模相等时，求 ”的大小.证明 . (a

44、+b) (a- b)= a2-b2 = |a|2- |bp1 3=(cos2 a+ sin2 «)- 4+4 =0,故 a + b a - b fi.(2)解由N§a+ b|=|a3b|,两边平方得31a|2+25ab+|b|2=|a|2 215ab+ 3|b|2,所以 2(|a|2-|b|2) + 4J 3a b= 0,13而|a|= |b|,所以 ab=0,则 一？ cos a+ 2 sin a= 0,即 cos(“+ 60)=0, a+ 60 = k 180 4 90 °, 即 a= k 180*30 ； kC Z,又 0 V“<360 ；则 a= 3

45、0 或 a= 210 :兀14 .已知向量 a=(cos( 九 sin( 0), b=(cos& - (1)求证：a±b;(2)若存在不等于0的实数k和t,使x=a+ (t2+ 3)b, 的最小值.兀/、(1)证明. ab=cos( 0) cos 2,- 9 +sin( 0) sin= sin Qcos 0 sin Qcos 0= 0. a± b.(2)解 由 xy 得，xy=0,即a+(t2+3)b ( ka+tb)=0,一 ka2+(t3+3t)b2 + t k(t2+3)a b=0, . . k|a|2+(t3+ 3t)|b|2=0.又|a|2=1, |b|2

46、=1,-k+t3+3t=0,k= t3+3t.k+t2 t3+t2+3t °1 ° 111k+t211=1=t2+t+3= t + 2 2+7.故当 t=时，-有最小值 彳.兀一切，-15 .已知 a=(1,2sin x), b= 2cos x + 6,1 ,函数 f(x)= a b (xC R).(1)求函数f(x)的单调递减区间；.8,、兀，(2)若 f(x) = 5,求 cos 2x- 3 的值. .一兀兀兀斛 (1)f(x)= a b= 2cos x+ 6 + 2sin x= 2cos xcos 6 2sin xsin m+ 2sin xI-7t=3 3cos x+ sin x= 2sin x+3 .kC Z.由+ 2kTtx+3v3j+ 2k Tt, kC