初中函数概念大全

1、平面直角坐标系函数1、平面直角坐标系在平面内画两条相互垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系；其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点o（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面；为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和 y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、其次象限、第三象限、第四象限；留意： x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限；2、点的坐标的概念点的坐标用（ a，b）表示，其次序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒；平面内点的坐标是有

2、序实数对，当a3、不同位置的点的坐标的特点各象限内点的坐标的特点b 时，（ a，b）和（ b， a）是两个不同点的坐标；点 px,y 在第一象限x0, y0点 px,y 在其次象限x0, y0点 px,y 在第三象限x0, y0点 px,y 在第四象限坐标轴上的点的特点x0, y0点 px,y 在 x 轴上点 px,y 在 y 轴上y0 ， x 为任意实数x0， y 为任意实数点 px,y 既在 x 轴上，又在y 轴上x， y 同时为零，即点p 坐标为（ 0， 0）两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特点点 px,y 在第一、三象限夹角平分线上x 与 y 相等点 px,y 在其次、四象限夹角平分线

3、上x 与 y 互为相反数和坐标轴平行的直线上点的坐标的特点位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同；位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同；关于 x 轴、 y 轴或原点对称的点的坐标的特点点 p 与点p关于 x 轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数点 p 与点p关于 y 轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数点 p 与点p关于原点对称横、纵坐标均互为相反数点到坐标轴及原点的距离点 px,y 到坐标轴及原点的距离：（ 1）点 px,y 到 x 轴的距离等于y（2）点 px,y 到 y 轴的距离等于x（3）点 px,y 到原点的距离等于x 2y 2对称性：如直角坐标系内一点p（a，b），就 p 关

4、于 x 轴对称的点为p1（ a，b），p 关于 y 轴对称的点为p2（ a，b），关于原点对称的点为p3（ a，b） .坐标平移：如直角坐标系内一点p（ a，b）向左平移h 个单位，坐标变为p（ah，b），向右平移h 个单位，坐标变为 p（ ah，b）；向上平移h 个单位，坐标变为p（ a，b h），向下平移h 个单位，坐标变为p（ a，b h） . 如：点 a（ 2， 1）向上平移2 个单位，再向右平移5 个单位，就坐标变为a（ 7，1）4、函数平移规律：左加右减、上加下减函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量；一般地，在某一变化

5、过程中有两个变量x 与 y，假如对于x 的每一个值，y 都有唯独确定的值与它对应，那么就说x是自变量， y 是 x 的函数；2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式； 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范畴；3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法；（2）列表法把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法；（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法；4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与

6、函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：依据自变量由小到大的次序，把所描各点用平滑的曲线连接起来；一次函数和正比例函数1、一次函数的概念：一般地，假如ykxb （k ， b 是常数， k0），那么 y 叫做 x 的一次函数；特殊地，当一次函数ykxb 中的 b 为 0 时， ykx （ k 为常数， k0）；这时， y 叫做 x 的正比例函数；2、一次函数、正比例函数的图像全部一次函数的图像都是一条直线一次函数y kxb k 0 的图像是经过点（0， b）的直线 b 是直线与 y 轴的交点的纵坐标，即一次函数在y 轴上的截距 ；正比例函数ykx

7、的图像是经过原点（0， 0）的直线；3、斜率：ktany2y1x2x1ypx0 y0da x1,y1y=kx+b直线的斜截式方程，简称斜截式: y kx b k 0由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式:b x2,y2bykxbtan xby2y1x2x1x xx1 y1a0x由直线在x 轴和 y 轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：xy1ab设两条直线分别为，l1 ： yk1 xb1l2 ： yk 2 xb2 如l 1l 2k 1k 21y如 l 1/l 2 ，就有 l 1 / l 2k1k 2 且 b1b 2 ；kx 0y0bkx0y0ba点 p（ x0，y0）到直线 y

8、=kx+b 即： kx-y+b=0的距离 :dk 21 2k 214、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）bx22如图：点a 坐标为（ x 1， y 1）点 b 坐标为（ x2， y2 ）就 ab 间的距离，即线段ab 的长度为x1x2y1y25、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式ykx （ k0）中的常数k；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式ykxb （ k0）中的常数k 和 b；解这类问题的一般方法是待定系数法；6、（1）一次函数图象是过两点的一条直线，|k|的值越大，图象越靠近于y 轴；（2）当 k&

9、gt;0 时，图象过一、三象限，y 随 x 的增大而增大；从左至右图象是上升的（左低右高）；（3）当 k<0 时，图象过二、四象限，y 随 x 的增大而减小；从左至右图象是下降的（左高右低）；（4）当 b>0 时，与 y 轴的交点（ 0， b）在正半轴；当b<0 时，与 y 轴的交点 0,b在负半轴；当b 0 时，一次函数就是正比例函数，图象是过原点的一条直线（5）几条直线相互平行时， k 值相等而b 不相等；反比例函数1、反比例函数的概念一般地，函数yk（ k 是常数， k0）叫做反比例函数；反比例函数的解析式也可以写成xykx1 的形式；自变量 x 的取值范畴是x0 的一

10、切实数，函数的取值范畴也是一切非零实数，也可写成xy=kk是常数， k0反比例函数中，两个变量成反比例关系：由xy=k ，由于 k 为常数， k0，两个变量的积是定值，所以y 与 x 成反比变化，而正比例函数y=kxk 0 是正比例关系：由ky =k k 0 ，由于k 为不等于零的常数，两个变量的商是定值；x2、反比例函数y=k 0 的图象的画法画图方法：描点法；x由于双曲线的图象有关于原点对称的性质，所以只要描出它在一个象限内的分支，再对称地画出另一分支；肯定要留意： k>0 ，双曲线两分支分别在第一、三象限；k<0 ，双曲线两分支分别在其次、四象限； 在每一象限内，从左向右上升

11、 因此，它的增减性与一次函数相反反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称；特点： y=k =kx- 1k 0 中， x0，y0，就有双曲线不过原点且与两坐标轴永不相交；但无限靠近x 轴、 yx轴；画图时图象要表达这种性质，千万留意不要将两个分支连起来；3、反比例函数的性质和图像反比例函数k 的符号yk k0 xk>0k<0yy图像oxox x 的取值范畴是x0，y 的取值范畴是y0；性质当 k>0 时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； x 的取值范畴是x0，y 的取值范畴是y0；当 k<0 时，函数图像的两个分支分别在其次

12、、四象限；在每个象限内，y随 x 的增大而增大；4、反比例函数解析式的确定确定的方法仍是待定系数法；由于在反比例函数y一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式；5、反比例函数中反比例系数的几何的意义k中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的x如下图，过反比例函数yk k x0 图像上任一点p 作 x 轴、 y 轴的垂线pm ， pn，就所得的矩形pmon 的面积s=pm . pn=二次函数y . xxyyk ,xy xk , sk1、二次函数的概念：一般地，假如yax 2bxca, b, c是常数， a0 ，那么 y 叫做 x 的二次函数；yax 2bxca, b,c是常数

13、， a0 叫做二次函数的一般式；2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条关于3、二次函数图像的画法五点法：xb 对称的曲线，这条曲线叫抛物线；2a（1）先依据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点m ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线yax 2bxc与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点a,b 及抛物线与y 轴的交点c，再找到点c 的对称点 d ；将这五个点按从左到右的次序连接起来，并向上或向下延长，就得到二次函数的图像；当抛物线与x 轴只有一个或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点c 及对称点d；由 c、m 、d 三点可粗略地画出二次函数的草图；假如需要画出

14、比较精确的图像，可再描出一对对称点a 、b ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像4. 求抛物线的顶点、对称轴的方法（ 1）公式法：yax2bxc2a xb 2a4acb 24a，顶点是（b 4acb 2，2a4ab），对称轴是直线x2a（ 2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为ya xh 2k 的形式，得到顶点为 h , k ，对称轴是直线xh .2（ 3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点；如已知抛物线上两点 x ,y、 x, y （及 y 值相同），就对称轴方程可以表示为：xx1x2125. 抛物线 yax 2bxc 中，a,b

15、, c 的作用（ 1） a 打算开口方向及开口大小当a0 时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当a0 时，抛物线开口向下；顶点为其最高点；a 相等，抛物线的开口大小、外形相同.a 越大，图像开口越小，a 越小，图像开口越大； 平行于 y 轴（或重合）的直线记作xh . 特殊地，y 轴记作直线x0 .（ 2） b 和 a 共同打算抛物线对称轴的位置. 由于抛物线yax 2bxc的对称轴是直线xb ，2a故： b0 时，对称轴为y 轴； b a0 （即 a 、 b 同号）时，对称轴在y 轴左侧； b0 （即 a 、 b 异号）时，对称轴在y 轴右侧 .a（ 3） c 的大小打算抛物线yax 2bx

16、c 与 y 轴交点的位置 . 当 x0 时， yc ，抛物线yax 2bxc与 y 轴有且只有一个交点（0， c ）： c0 ，抛物线经过原点; c0 , 与 y 轴交于正半轴；c0 , 与 y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧，就b0 .a6、二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：yax 2bxca,b, c是常数， a0（2）顶点式：ya xh 2ka, h, k是常数， a0（3）交点式：当抛物线yax 2bxc与 x 轴有交点时，即对应二次好方程ax 2bxc0 有实根x1和x2 存在时 ， 根 据 二 次 三 项 式 的 分 解

17、 因 式ax 2bxca xx1 xx2 ， 二 次 函 数 yax2bxc可 转 化 为 两 根 式ya xx1 xx2 ；假如没有交点，就不能这样表示；几种特殊的二次函数的图像特点如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标y2axyax 2kya xhya xh当 a0 时开口向上（0,0 ）x0 （ y 轴）x0 （ y 轴）0,k 当 a0 时2开口向下xh2kxh h ,0 h , k yax 2bxcxbb24acbya xb 24acb22a4a2a，2a4a7、二次函数的最值假如自变量的取值范畴是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值） ，即当 xb4 acb 2时，y最值

18、；2 a4a假如自变量的取值范畴是x1xx2 ，那么， 第一要看b是否在自变量取值范畴x12axx2内，如在此范畴内，b4acb 2就当x=时， y最值；如不在此范畴内，就需要考虑函数在212a4 ax1xx2 范畴内的增减性，假如在此范畴内， y 随 x 的增大而增大，就当xx2 时，y最大ax 2bx2c ，当 xx1 时，y最小ax 2bx1c ；假如在此范畴内， y 随 x 的增大而减小，就当xx1 时，y最大ax2bx1c ，当 xx2 时，y最小ax2bx2c ；128、二次函数的图象函数二次函数yax 2bxca, b, c是常数， a0a>0a<0yy图像0x（ 1

19、）抛物线开口向上，并向上无限延长；（ 2）对称轴是x=b ，2 a0x1（ 1）抛物线开口向下，并向下无限延长；（ 2）对称轴是x=b，2a顶点坐标是（b4acb 2，）；2a4a顶点坐标是（b4acb 2，）；2a4a（ 3）在对称轴的左侧，即当x<b时 ， y 随 x2 a（ 3）在对称轴的左侧，即当x<b时， y 随 x2a性质的 增 大 而 减 小 ； 在 对 称 轴 的 右 侧 ， 即 当b的增大而增大；在对称轴的右侧，即当bx>时， y 随 x 的增大而增大，简记左减2ax>时， y 随 x 的增大而减小，简记左2a右增；（ 4）抛物线有最低点，当x=b时， y 有最小2a增右减；（ 4）抛物线有最高点，当x=b时， y 有最2 a值，9.抛物线的交点y最小值4acb 24a大值，y最大值4acb 24a（ 1） y 轴与抛物线yax2bxc 得交点为 0,c .（ 2）抛物线与x 轴的交点：二次函数yax 2bxc的图像与 x 轴的两个交点的横坐标x1、x2 ，是对