幂函数知识点及题型归纳总结

1、幂函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、幂函数的定义一般地，函数()yxr叫做幂函数，其中x是自变量，是常数 . 注：判断一个函数是否为幂函数，关键是看其系数是否为1，底数是否为变量x. 二、幂函数的图像幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四项县内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像如果与坐标轴相交，则交点一定是原点. 当11,2,3, 12时，在同一坐标系内的函数图像如图2-18 所示 . 三、幂函数的性质当0时，幂函数yx在(0,)上是增函数，当1时，函数图像是向下凸的；当01时，图像是向上凸的，恒过点(0,0)(1,1)和；当0时，幂函数yx在(

2、0,)上是减函数 .幂函数yx的图像恒过点(1,1). 题型归纳及思路提示题型 1 幂函数的定义及其图像思路提示确定幂函数yx的定义域， 当为分数时， 可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当0时，底数是非零的. 例 2.68 函数2223( )(1)aaf xaax为幂函数（a为常数），且在(0,)上是减函数，则a_.分析 根据幂函数的定义及单调性求解a. 解析 依题意，得2211230aaaa，解得2a. 变式 1 函数32204(42)(1)ymxxmxmx的定义域为r，求实数m的取值范围 . 变式 2幂函数( )yf x的图像经过点1( 2,)8，则满足( )27f x

3、的x的值是_. 变式 3 设11,1,32a，则使函数yx为奇函数且定义域为r的所有的值为（）.1,3a. 1,1b. 1,3c. 1,1,3d题型 2 幂函数性质的综合应用思路提示紧扣幂函数yx的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，x为奇函数，为偶数时，x为偶函数 . 例 2.69 已知幂函数223( )()mmf xxmz为偶函数，且在区间(0,)上是减函数 . （1）求函数( )f x的解析式；（2）求满足33(1)(32 )mmaa的a的取值范围 . 分析 利用函数( )f x在区间(0,)上是减函数且为偶函数求m，从而得到( )f x的解析式 .

4、解析 （1）因为幂函数在区间(0,)上是减函数，所以2230mm得13,mmz又，当0m时，2233mm；当1m时，2234mm；当2m时，2233mm. 又因为( )f x为偶函数，所以4( )f xx. （2）由1m得1133(1)(32 )aa. 即113311132aa又13yx在r上单调递增，故11132aa，整理得(1)(32)(23)0aaa，解得23132aa或，如图所示 . 故a的取值范围为2 3(, 1)(,)3 2u. 评注 突破点为由单调性得m的取值范围， 进而验证满足偶函数的值，若从偶函数的条件入手，则不易向下转化 .分类讨论时，确定分类标准，做到不重不漏. 变式 1

5、 已知函数2( )f xx，设函数( )( )(21) ( )1g xqff xqf x，问是否存在实数(0)q q，使( )g x在区间, 4上是减函数，且在区间( 4,0)上是增函数？若存在，求出q；若不存在，请说明理由 . 最有效训练题1.下列函数中，既是偶函数又在(,0)上是增函数的是（）43.a yx32.b yx2.c yx14.d yx2.幂函数2232()mmyxmz的图像如图2-20 所示，则m的值为（）.1a.2b.3c.4d3.幂函数( )f x的图像经过点1 1(,)4 2a，则它在点a处的切线方程为（）.4410a xy.4410b xy.20cxy.20dxy4.若

6、幂函数( )f x的图像经过点13,9则其定义域为（）.,0ax xr x.,0bx xr x.,0cx xr x.d r5.设232555322,555abc，则, ,a b c的大小关系是（）.aacb.b abc.c cab.dbca6.设1 1 12, 1,1,2,32 3 2a，则使yx为奇函数且在(0,)上单调递减的值的个数为 （）.1a.2b.3c.4d7.已知幂函数( )yf x的图像过点(2,2)，则(8)f的值为 _. 8.已知幂函数265( )()mmf xxmz为奇函数，且在区间(0,)上是减函数，则( )f x的解析式为32231图 2-19 _. 9.已知函数12( )f xx，且(21)(3 )fxfx，则x的取值范围是_. 10.设函数( )1()f xxq的定义域为,baa bu，其中0ab，若函数( )f x在区间,a b上的最大值为6，最小值为3，则( )f x在, ba上的最大值与最小值的和为_. 11.已知函数12( )f xx，给出下列命题：若1( )1xf x则；若120 xx，则2121()()fxfxxx；若120 xx，则2112()()x fxx f x；若120 xx，则1212()()22f xfxxxf. 其中，所有正确