分类讨论思想在初中数学中的几个常见运用

1、分类讨论思想在初中数学中的几个常见运用摘 要：近年来，在各地中考试题中涉及“分类讨 论”的问题十分常见，因为这类试题不仅考查我们的数学基 本知识与方法，而且考查了我们思维的深刻性。在解决此类 问题时，因考虑不周全导致失分的较多，究其原因主要是在 平时的学习中，尤其是在中考复习时，对''分类讨论”数学 思想的几个常见运用没有复习到位。关键词：分类讨论；初中数学中图分类号:g632文献标识码：b文章编号:1002-7661(2015) 04-119-03分类讨论思想是指在解决一个问题时，无法用同一种方 法去解决，而需要一个标准将问题划分成几个能用不同形式 去解决的小问题，将这些小问

2、题一一加以解决，从而使问题 得到解决，这就是分类讨论思想。分类讨论思想的实质：将 整体问题化为部分问题来解决，以增加题设条件去完成。分 类讨论思想的原则：分类科学，标准统一，做到不重复，不 遗漏，并力求最简，讨论的方法是逐类进行，还必须要注意 综合讨论的结果，以使解题步骤完整。一般情况下，当数学问题中的条件，结论不明确或题意 中含参数或图形不确定时，就应用分类讨论的思想来解决问 题。近年来，在各地中考试题中涉及“分类讨论”的问题十 分常见，因为这类试题不仅考查我们的数学基本知识与方 法，而且考查了我们思维的深刻性。在解决此类问题时，因 考虑不周全导致失分的较多，究其原因主要是在平时的学习 中，

3、尤其是在中考复习时，对“分类讨论”数学思想的几个 常见运用没有复习到位。下面就一些典型试题中涉及“分类 讨论思想”的问题，分析几个常见运用，以加深读者对这几 个常见运用的理解。一、化简含绝对值的代数式例1已知 是数轴上的两个数(如图)，化简：i a_b | -1 a+b | +1 a | -1 b.分析：绝对值概念是一个需要分类讨论的概念，要弄清 这一概念应从绝对值的几何意义说起，也就是一个数的绝对 值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离。所以只有对初 中数学概念的本身有一个全面深刻的理解，才能在解决有关 问题时有分类讨论的意识，从而提高分析问题和解决问题的 能力。去绝对值符号的关键是要搞清楚

4、绝对值符号里面结果 的情况，严格用公式来解决问题。解：由图可得a-bo, b>0时，ab>0,原式等于3； (2) 当a>0, bo时，abo,原式等于-1。因此，代数式所有可能 的值为3、-lo答案：ao解决含参数的函数表达式有关问题例1 一次函数y二kx+b,当-3wxwl时，对应的值为 lwyw9,则kb的值是（）a. 14 b. -6 c. -4 或 21 d. -6 或 14分析：题目中给出了一次函数图象的一部分（线段），当x=-3时，y可以取1或9,因此应对参数k分两种情况讨 论，当k>0时，线段两端点为（-3, 1）和（1, 9）,则22, b=7, kb

5、=14；当ko,即ao相矛盾，错误；b、由一次函数 y=mxa的图象与y轴的正半轴相交可知a>0,即ao相矛 盾，错误；c、由一次函数y二mx令a的图象与y轴的负半轴 相交可知ao,与y=a/x （xho）的图象a（1）当dm与be是对应边时,dmeb二mnae ,即dm=55（2）当dm与ab是对应边时，即dm2=15, dm=.答案：dm的长是.55或四、代数与几何分类情况的综合运用例1 （威海市）如图，点a, b在直线mn上，ab=11厘 米，0a, ob的半径均为1厘米.oa以每秒2厘米的速度 自左向右运动，与此同时，ob的半径也不断增大，其半径 r （厘米）与时间t （秒）之间

6、的关系式为r=l+t （t±0）.（1）试写出点a, b之间的距离d （厘米）与时间t （秒） 之间的函数表达式；（2）问点a出发后多少秒两圆相切？ 分析：在两圆相切的时候，可能是外切，也可能是内切, 所以需要对两圆相切进行讨论.解：(1)当0wtw5.5时，函数表达式为d=ll-2t； 当t>5. 5时，函数表达式为d=2t -11.(2)两圆相切可分为如下四种情况： 当两圆第一次外切,由题意,可得ll-2t=l+l+t, t=3； 当两圆第一次内切，由题意，可得ll-2t=l+tt, t=113； 当两圆第二次内切，由题意，可得2t-ll=l+t-l, t=l 1 ； 当两

7、圆第二次外切，由题意，可得2ttl=l+t+l, t=13. 所以，点a出发后3秒、11/3秒、11秒、13秒两圆相切.例 2 (上海市)已知 ab=2, ad=4, zdab=90° , adbc (如图).e是射线bc上的动点(点e与点b不重合)，m是 线段de的中点.(1) 设be=x, aem的面积为y,求y关于x的函数解 析式，并写出函数的定义域；(2) 如果以线段ab为直径的圆与以线段de为直径的 圆外切，求线段be的长；(3) 连接bd,交线段a数关系m于点n,如果以a、n、 d为顶点的三角形与abme相似，求线段be的长.分析：建立函实质就是把函数y用含自变量x的代数

8、式 表示。要求线段的长，可假设线段的长，找到等量关系，列出方程求解。题中遇到“如果以a、n、d为顶点的三角形与 相似”，一定要注意分类讨论。解：(1)取中点h,连接mh.vm 为 de 的中点 tmh ii be, ?mh二？ (ad+be)二？x (4+x)=?x+2又 vab1b/.mh丄ab.szxabe二？ab.mh二mh ,得 y二？x+2 (x>0)由已知根据图形位置情况得de二(x-4) 2+22或(4-x)2+22以线段ab为直径的圆与以线段de为直径的圆外切amh=?ab+?de, ? (x+4) =?2+ (4-x) 2+22解得 x二？, 即线段be的长为？;(3)

9、由已知，以a、n、d为顶点的三角形与abme 相似，又易证得zdamzebm.由此可知，另一对对应角相等有两种情况:zdan=zbem； zadn"二zbm e"zadn=zbme 时vad ii be zadn=zdbe./.zdbe=zbem, /.db=de,易得 be=2ad.得be=8； zadn=zdbezadn =zbmz, e.zdbe 二zbm evad ii be ,m" ,sabm e 即de /be =be /m e",即 be 2二de *m e ,得.x2二? (4-x) 2+22 (4-x) 2+22 解得 xl=2, x2

10、=-10 (舍)即 线段be的长为2综上所述，所求线段be的长为8或2.例3已知一次函数y=- v3/3+3 v3与x轴、y轴的交点 分别为a、b,试在x轴上找一点p,使apab为等腰三角形。分析：本题中apab由于p点位置不确定，而且等腰三 角形中哪两条是腰也没有确定。apab是等腰三角形有几种 可能？我们可以按腰的可能情况加以分类：(1) pa=pb； (2) pa二ab； (3) pb=abo先可以求出b点坐标(0, 3 v3), a点 坐标(9, 0)o设p点坐标为(x, 0),利用两点间距离公式 可对三种分类情况分别列出方程，求出p点坐标有四解，分 别为(-9, 0)、(3, 0)、(9+6 v3, 0)、(9-6 v3, 0)。答案:(-9, 0)、(3, 0)、(9+6 v3, 0)、(9-6 v 3, 0)(解答此类 问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条 件，分