(完整版)5.1.2任意角的三角比的复习课

1、( (二期课改二期课改) )回顾回顾 锐角三角比锐角三角比 任意角三角比任意角三角比ompabsinmpopcosomoptanmpom正弦正弦余弦余弦正切正切( , )p x yxyosin正弦正弦余弦余弦正切正切yrcosxrtanyx二、三角比有意义的条件二、三角比有意义的条件显然，象限角的六个三角比值总有意义显然，象限角的六个三角比值总有意义!sinyrrcosxrrtanyx,2kkz设设 为角为角 终边上一点终边上一点( , )p x yopr(0)r cscry,kkzsecrx,2kkzcotxy,kkz例例1.已知角已知角 的终边经过点的终边经过点 ，求角，求角 的六个的六个

2、( 2,1)p 三角比值三角比值.解：解：2,1xy 因此因此22( 2)15r sinyr1555cosxr252 55 tanyx1212 cscry5secrx52 cotxy2 220rxy例例2.求角求角 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.53解：在直角坐标系中作角解：在直角坐标系中作角53aob60oxypam300在终边上取点在终边上取点p且满足：且满足：1op 3pom13( ,)22p即即13,122xyr 5sin35cos332125tan33 解毕解毕b 由于同一个角的六个三角比都是由其终边上一点的坐标由于同一个角的六个三角比都是由其终边上一点的坐标定义的定义的

3、, ,即都是即都是 x, ,y, ,r 这三个相关量的不同比值这三个相关量的不同比值, ,观察可发观察可发现其间存在着一些固有的数量关系现其间存在着一些固有的数量关系. .* * *1.1.同角三角比的关系同角三角比的关系. .* *(1)(1)倒数关系倒数关系: : . 1cottan1seccos1cscsin ; ; ; ;* *(2)(2)商数关系商数关系: : ) ); ;( ( , ,0coscossintan) ). .( ( , ,0sinsincoscot* *(3)(3)平方关系平方关系: : ; ;1cossin22; ;sectan122. .csccot122* *

4、*理解感悟理解感悟: : (1)(1)上述关系式中除了上述关系式中除了 是绝对是绝对 恒等式外恒等式外, ,其余都是条件恒等式其余都是条件恒等式; ;1cossin22(2)(2)上述八个关系式虽然三角比的名称各不相同上述八个关系式虽然三角比的名称各不相同, , 但都是同一个角的三角比但都是同一个角的三角比; ; (3)(3)用上述关系式只需知道角用上述关系式只需知道角的一个三角比值的一个三角比值, , 就可计算出角就可计算出角其余三角比值其余三角比值. .例例1.已知已知 ，且，且 是第四象限角，求其余是第四象限角，求其余4cos5解：解：22sincos1且且sin0三角比三角比.2sin

5、1 cos 35 sintancos34 554sec,csc,cot433 解毕解毕例例3.已知已知 ，且，且 是第四象限角，求其余是第四象限角，求其余4cos5解法二：利用余弦线可知解法二：利用余弦线可知三角比三角比.33sin,tan54 43( ,)55554sec,csc,cot433 解毕解毕的终边经过点的终边经过点opxy1m at即即43,155xyr 由三角比的定义可知：由三角比的定义可知：例例4.已知已知 ，求，求5tan12sin,cos解：解：22sincos1sin5cos12设设 代入代入式得：式得：sin5 ,cos12kk113k 因此因此5sin1312cos

6、13或或5sin1312cos13 解毕解毕课堂练习课堂练习1.已知已知 ，且，且 是第三象限角是第三象限角,1sin3 求其余三角比求其余三角比.2.已知已知 ，求，求sin,cos,tan.cot2 3.求证下列三角恒等式：求证下列三角恒等式：(1)221tansec(2)cos1 sin1 sincosxxxx课堂练习答案课堂练习答案1.2 22cos,tan34 3 2csc3,sec,cot2 24 2.1tan2 当当 是第二象限角时，是第二象限角时，52 5sin,cos55 当当 是第四象限角时，是第四象限角时，52 5sin,cos55 课堂练习答案课堂练习答案3. 证：证：

7、(1)22cos1sincos(1 sin)1 sincos(1 sin )cosxxxxxxxx22sincos10(1 sin )cosxxxxcos1 sin1 sincosxxxx(2)222222sinsincos1tan1coscos 221seccos证毕证毕注意证明方法的选取及书写过程的规范性注意证明方法的选取及书写过程的规范性. .三、象限角的三角比的符号三、象限角的三角比的符号+_sincostan思考：思考：各象限角的余切、正割和余割的符号？各象限角的余切、正割和余割的符号？第五章三角比5.2.1 任意角的三角比任意角的三角比5.2.2 任意角的三角比任意角的三角比三角函

8、数线三角函数线二、正弦线、余弦线与正切线二、正弦线、余弦线与正切线pxm过过 作作 轴的垂线，垂足为轴的垂线，垂足为设单位圆的圆心在原点，设单位圆的圆心在原点，角角 的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点popxy1mat(1,0)a过过 作单位圆的切线，作单位圆的切线，t交角交角 的终边的终边(或其反向延长线或其反向延长线)于点于点有向线段有向线段 称为称为 的的正弦线正弦线，即，即mpsinmp有向线段有向线段 称为称为 的的余弦线余弦线，即，即omcosom有向线段有向线段 称为称为 的的正切线正切线，即，即attanat例例1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：作出下列各角的正弦

9、线、余弦线、正切线：(1)3(2)56(3)23(4)136opxy1解解:正弦线正弦线 ，余弦线，余弦线 ，正切线，正切线matmpomat(1)(2)opxy1mat例例1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：(1)3(2)56(3)23(4)opxy1解解:正弦线正弦线 ，余弦线，余弦线 ，正切线，正切线matmpomat(3)(4)opxy1m at136例例2.已知已知 ，利用三角函数线证明：，利用三角函数线证明：(1)sincos1(2)sinopxy1mat(0,)2证：证：(1)mpomop由三角形两边之和由三角形两边之和大于第三边可得：

10、大于第三边可得：即即sincos1(2)由点到直线的距离定义可得：由点到直线的距离定义可得：mppasinop即即，则，则sin证毕证毕例例3.利用三角函数线画出满足下列条件的角的终边：利用三角函数线画出满足下列条件的角的终边：(1)1sin2(2)1cos2(3)1tan2 oxy11p解解: (1)1212p2(2)oxy11p1212p2例例3.利用三角函数线画出满足下列条件的角的终边：利用三角函数线画出满足下列条件的角的终边：(1)1sin2(2)1cos2(3)1tan2 解解: (3)oxy1t121a2(选用选用)例例4.利用三角函数线，比较利用三角函数线，比较 的同名三角的同名

11、三角比比(正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切)的大小的大小., o1pxy11ma1t2p2m2t解：作两个角的三角函数线解：作两个角的三角函数线可得：可得：sinsincoscostantan解毕解毕第五章三角比5.2.2 任意角的三角比任意角的三角比5.2.3 任意角的三角比任意角的三角比诱导公式诱导公式i,ii* *3.3.四组诱导公式的内容四组诱导公式的内容, ,作用及其记忆方法作用及其记忆方法: : ( (第二组诱导公式第二组诱导公式) ); ;) )( (sinsin; ;) )( (coscos; ;) )( (tantan. .) )( (cotcot( (第一组诱导公式第一组诱

12、导公式) ); ;) )( (sin2ksin; ;) )( (cos2kcos; ;) )( (tan2ktan. .) )( (cot2kcot( (第三组诱导公式第三组诱导公式) ); ;) )( (sinsin; ;) )( (coscos; ;) )( (tantan. .) )( (cotcot( (第四组诱导公式第四组诱导公式) ); ;) )( (sinsin; ;) )( (coscos; ;) )( (tantan. .) )( (cotcot( (异名诱导公式异名诱导公式) )2sin-cos( () ); ;2cos-sin( () ); ;2tan-cot( () )

13、; ;2cot-tan( () ). .2sin+ cos( () ); ;2 cos+sin( () ); ;2 tan+ cot( () ); ;2 cot+tan( () ). .( (异名诱导公式异名诱导公式) )32 sin-cos( () ); ;32 cos-sin( () ); ;32tan-cot( () ); ;32cot-tan( () ). .32 sin+ cos( () ); ;32cos+sin();();32 tan+ cot( () ); ;32 cot+tan( () ). .应该如何记忆这些诱导公式？应该如何记忆这些诱导公式？“奇变偶不变，符号看象限奇变偶

14、不变，符号看象限”oxy12k221.公式左边的角可以统一写为：公式左边的角可以统一写为：,2kkz2.视角视角为锐角，为锐角，则公式左侧的角象限确定则公式左侧的角象限确定例例1.利用诱导公式，求下列各三角比的值：利用诱导公式，求下列各三角比的值：(1)sin1470 (2)19cos3(3)17tan4(4)13sin2sin(4 36030 )sin30cos(6)3 cos31212tan(4)4tan41sin(6)2 sin21例例2.利用诱导公式，求下列各三角比的值：利用诱导公式，求下列各三角比的值：(1)sin()6(2)cos()4(3)tan()3(4)7sin()3sin6

15、12cos422tan337sin3sin332例例3.判断角判断角 所在象限：所在象限：(1)sin()0,tan(4)0(2)sin(2)cos(2)0sin0,tan0解解: (1)属于第三象限属于第三象限;sin(2)sin (2)属于第一或第三象限属于第一或第三象限.cos(2)cos即即sincos0解毕解毕例例4.利用诱导公式，把下列三角比化为锐角三角比利用诱导公式，把下列三角比化为锐角三角比后求值：后求值：(1)7sin6(2)11cos4(3)tan( 1560 )sin()6sin63cos(2)42212 tan(4 360120 )tan120 3cos4 cos()4

16、cos4 tan1560tan(18060 ) tan603例例5.利用诱导公式，化简求值：利用诱导公式，化简求值：(1)cos225 (2)11sin3(3)16tan()3sin(4)3sin3cos(18045 )2232 cos4516tan()3tan(5)3tan()3tan33总结把任意角三角比转化为锐角三角比的步骤总结把任意角三角比转化为锐角三角比的步骤例例6.化简：化简：(1)sin() tan(2) cos(2)tan()cos()sin()cos(2)cot()tan()sin()cot(3)cos(180)sin(720 )sin(180 )cos( 180)(2)(3

17、)解解: (1)原式原式=cossin1sin( cos) (2)原式原式=sintancos1tancossin 例例7.化简：化简：(1)sin() tan(2) cos(2)tan()cos()sin()cos(2)cot()tan()sin()cot(3)cos(180)sin(720 )sin(180 )cos( 180)(2)(3)解解: (3)原式原式=coscot( tan)sin( cot)costansin1解毕解毕(选用选用)例例8. 已知已知求求 的值的值.sin(),cos()kkkz解：解： 当当 为偶数时，为偶数时， 与与 终边重合：终边重合：kksin()sin

18、,cos()coskk当当 为奇数时，为奇数时， 与与 终边关于原点对称：终边关于原点对称：kksin()sin,cos()coskk 综上：综上：cos()( 1) cos,kkkz sin()( 1) sin,kkkz 思考思考 tan()?k* * *1.1.利用三角比的诱导公式求满足条件的角利用三角比的诱导公式求满足条件的角. .* *例题例题9:9: 根据下列所给出的已知条件根据下列所给出的已知条件, ,求出角求出角x. .; ; , , ,( (1 1) ). .20 x21sinx; ; , ,- -, ,( (2 2) ). .x33tanx; ; , , ,( (3 3) )

19、. .20 x3tanx为为第第四四象象限限角角. ., ,( (4 4) ). .x3tanx* *求满足条件的角的具体方法和规律求满足条件的角的具体方法和规律* *(1)(1)当已知三角比的值是当已知三角比的值是正数正数时时, ,可先找出对应的可先找出对应的锐角锐角, ,再再 找相应的第二个指定范围内的角找相应的第二个指定范围内的角; ;(2)(2)若找到了若找到了锐角锐角, ,则第二象限角为则第二象限角为 -; ; 第三象限角为第三象限角为 +; ; 第四象限角为第四象限角为 -( (或是或是 2-););(3)(3)若指定范围为一个周角若指定范围为一个周角, ,如如: ,: ,一般可求

20、得两个一般可求得两个 满足已知条件的角满足已知条件的角: :20 x, ,(4)(4)策略策略:-:-利用数形相结合的方法利用数形相结合的方法, ,理解和掌握求角的具体理解和掌握求角的具体 方法和规律方法和规律. .* *课堂练习课堂练习( (课本课本p49) )练习练习: : 3( (1)()(2););5.3.1 同角三角比同角三角比第一章集合和命题第二章不等式第四章幂函数、指数函数、对数函数第三章函数的基本性质第五章三角比第五章三角比5.3.2 同角三角比的关系同角三角比的关系化简与证明化简与证明例例1：化简下列各式：化简下列各式(1)21 sin 440(2)211cos x(3)21

21、 2sin35 cos35sin351 cos 55解解:21 sin 80原式原式=2cos 80cos802sec1x原式原式=| tan|x原式原式=22(sin35cos35 )sin35sin 55cos35sin35sin35sin551 注意三角比的正负；注意三角比的正负；关注关注“1”的变形的变形例例2：化简下式：化简下式2222222sincossin(coscsc)sec1csc1解解: 原式原式=2222222sincoscossin()tancotsin22222cossin(cossin)sin22sincos1解毕解毕注意三角比的正负；注意三角比的正负；关注关注“1

22、”的变形的变形注意切、割、弦的互化注意切、割、弦的互化例例3：证明证明cos1 sin1 sincosxxxx证：证：左边左边=coscos(1 sin ) cosxxxx21 sin(1 sin ) cosxxx1 sincosxx=右边右边证：证：cos1 sin1 sincosxxxx22cos(1 sin)0(1 sin ) cosxxxx证：证：即证即证2cos(1 sin )(1 sin )xxx22cos1 sinxx 即证即证因为因为22cossin1xx成立成立所以原等式成立所以原等式成立不等式证明方法中的不等式证明方法中的比较法比较法，分析法分析法，综综合法合法也可以用来证

23、明也可以用来证明等式。变形的一般的等式。变形的一般的原则是原则是从繁到简从繁到简例例4：证明下列等式证明下列等式2222cot(tansin)sin(1)tansec11 sintansec1cos(2)证：证：左边左边=22222cossin(sin)sincos21 cos =右边右边证：证：左边左边=sin1 cossin1 cos 左边左边-右边右边=(sin1cos )cos(1sin )(sin1cos )(sin1cos )cos 0三角证明题与化简题方法技巧基本是一致的三角证明题与化简题方法技巧基本是一致的第五章三角比5.3.2 同角三角比的关系和诱导公式同角三角比的关系和诱导公式5.3.3 同角三角比的关系和诱导公式同角三角比的关系和诱导公式例例1.化简：化简：(1)21 sin 110(2)2csc 801(3)222cos11 2sin2cos 110|cos110 |cos70211sin 802cot 80cot802222222cos(sincos)(sincos)2si