A21导数的概念课件

1、A21导数的概念PPT课件第二章第二章 导数与微分导数与微分 导数反映了函数因变量相对于自变量变化的快慢程度，导数反映了函数因变量相对于自变量变化的快慢程度，即：函数的变化率。即：函数的变化率。 微分指明微分指明, 当自变量有微小变化时，函数大体上改变了当自变量有微小变化时，函数大体上改变了多少。多少。 本章内容包括：本章内容包括： 两个概念两个概念导数与微分；导数与微分； 六个法则六个法则导数的四则运算法则，复合函数求导法则，导数的四则运算法则，复合函数求导法则， 反函数求导法则；反函数求导法则； 若干导数应用问题。若干导数应用问题。A21导数的概念PPT课件2.1 导数的概念导数的概念0导

2、数的定义导数的定义0用定义求导数用定义求导数0导数的几何意义与物理意义导数的几何意义与物理意义0可导与连续的关系可导与连续的关系A21导数的概念PPT课件1.1.变速直线运动某一时刻的瞬时速度问题变速直线运动某一时刻的瞬时速度问题 质点运动的路程质点运动的路程S S是时间是时间t t的函数：的函数：S=S(t).S=S(t).从时刻从时刻t t到到t+t+ t t时间段内时间段内，质点走过的路程为：，质点走过的路程为： S=S(t+t)-S(t)S=S(t+t)-S(t)在时间间隔在时间间隔tt内，质点运动的平均速度为内，质点运动的平均速度为: :ttSttStSv )()(ttSttSLim

3、tvvt )()()(0 平均速度平均速度 与与tt的取值有关，一般不等于质点在时刻的取值有关，一般不等于质点在时刻t t的速度的速度v v，但，但tt的值愈小，的值愈小， 愈接近于愈接近于t t时刻的速度时刻的速度v(t)v(t)。因。因此此, ,取极限取极限 t t0,0,质点在时刻质点在时刻t t的瞬时速度的瞬时速度: :vv一、一、 问题的提出问题的提出A21导数的概念PPT课件例例 自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运动的瞬时速度问题0tt ,0时时刻刻的的瞬瞬时时速速度度求求tt如图如图,0tt 的的时时刻刻取取一一邻邻近近于于, t 运动时间运动时间tsv 平均速度平均速度00t

4、tss ).(20ttg ,0时时当当tt 取极限得取极限得2t)(tlimv00 gtt瞬瞬时时速速度度.0gt 自由落体自由落体运动的路程运动的路程S S是时间是时间t t的函数：的函数：.21)(2gttS A21导数的概念PPT课件2.曲线的切线问题曲线的切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置MN 设光滑曲线设光滑曲线 y= f (x) ,定定义曲线义曲线M点的切线点的切线: 作割线作割线MN,并令点并令点N沿沿曲线趋向于点曲线趋向于点M,此时割线此时割线MN绕点绕点M旋转旋转,而趋向极限而趋向极限位置位置MT,直线直线MT称为曲线称为曲线C在点在点M处的处的切线切线.T

5、A21导数的概念PPT课件 T0 xxoxy)(xfy CNM).,(),(00yxNyxM设设的斜率为的斜率为割线割线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿沿曲曲线线的斜率为的斜率为切线切线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 例例 f(x)=x2 , M(1,1), 则则M点处的切线方程点处的切线方程 : y -1=k(x-1). 211lim1)1()(limtan211 xxxfxfkxx其其中中A21导数的概念PPT课件二、导数的定义二、导数的定义,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxf

6、xxfyyxxxxxxxfy 记为记为处的导数处的导数在点在点数数并称这个极限为函并称这个极限为函处可导处可导在点在点则称函数则称函数时的极限存在时的极限存在之比当之比当与与如果如果得增量得增量取取相应地函数相应地函数时时仍在该邻域内仍在该邻域内点点处取得增量处取得增量在在当自变量当自变量有定义有定义的某个邻域内的某个邻域内在点在点设函数设函数定义定义A21导数的概念PPT课件.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000,)(00 xxxxdxxdfdxdy 或或即

7、即A21导数的概念PPT课件.,)()100程程度度的的快快慢慢因因变变量量随随自自变变量量的的变变化化它它反反映映了了变变化化率率处处的的的的导导数数是是因因变变量量在在点点在在点点函函数数xxxf.)(,)()2内内可可导导在在开开区区间间就就称称函函数数处处都都可可导导内内的的每每点点在在开开区区间间如如果果函函数数IxfIxfy 关于导数的说明：关于导数的说明：A21导数的概念PPT课件.)(),(,.)(.)(,)3dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或记记作作的的导导函函数数这这个个函函数数叫叫做做原原来来函函数数导导数数值值的的一一个个确确定定的的都都对对应应着着对对于于任任一

8、一 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或.)()(00 xxxfxf 而而A21导数的概念PPT课件右导数右导数:4) 单侧导数单侧导数左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 如如果果)(xf在在开开区区间间 ba,内内可可导导，且且)(af 及及)(bf 都都存存在在，就就说说)(xf在在闭闭区区间间 ba,上上可可导导.A21导数的概念PPT课件.,),(),()(000可可导导性性的的讨讨论论

9、在在点点设设函函数数xxxxxxxxf xxfxxfx )()(lim000若若xxxxx )()(lim000,)(0存存在在xf 5) 函数函数)(xf在点在点0 x处可导处可导左导数左导数)(0 xf 和右和右导数导数)(0 xf 都存在且相等都存在且相等.例例:A21导数的概念PPT课件则则)(xf在在点点0 x可可导导，,)(0存存在在xf xxfxxfx )()(lim000若若xxxxx )()(lim000 ,)()(00axfxf 且且.)(0axf 且且A21导数的概念PPT课件三、由定义求导数三、由定义求导数步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()

10、2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求极极限限例例1 1.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即A21导数的概念PPT课件例例2 2.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设设函函数数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 A21导数的概念PPT课件例例3 3.)(的的导导数数为为正正整整数数求求函函数数nxyn

11、解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x A21导数的概念PPT课件例例4 4.)1, 0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee A21导数的概念PPT课件例例5 5.)1, 0(log的导数的导数求函数求函数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .log1)(lo

12、gexxaa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa A21导数的概念PPT课件例例6 6.0)(处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(点点不不可可导导在在函函数数 xxfyA21导数的概念PPT课件四、四、 导数的几何意义和物理意义导数的几何意义和物理意义xyo)(xfy CT0 xM曲线)(xfy 在点),(00yx的切线

13、斜率为)(tan0 xf 若,0)(0 xf曲线过上升;若,0)(0 xf曲线过下降;xyo0 x),(00yx若,0)(0 xf切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;),(00yx),(00yx0 x若,)(0 xf切线与 x 轴垂直 .曲线在点处的),(00yx切线方程切线方程:)(000 xxxfyy法线方程法线方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xfxyo0 x,)(0时 xf1.几何意义A21导数的概念PPT课件例例.,)2 ,21(1方方程程和和法法线线方方程程并并写写出出在在该该点点处处的的切切线线斜斜率率处处的的切切线线的的在在点点求求等等边边双双曲曲线线xy 解解由导

14、数的几何意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即A21导数的概念PPT课件2.物理意义物理意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动: :路程对时间的变化率为物体的瞬路程对时间的变化率为物体的瞬时速度时速度.lim)(0dtdststvt 交流电路交流电路: :电量对时间的变化率为电流强度电量对时间的变化率为电流强度.lim)(0dtdqtqtit 非均匀的物体非均匀的

15、物体: :质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的变的变化率为物体的线化率为物体的线(面面,体体)密度密度.电流对时间的变化率为电磁感应电流对时间的变化率为电磁感应.lim)(0dtdItItt A21导数的概念PPT课件五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数. .证证,)(0可可导导在在点点设设函函数数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0连连续续在在点点函函数数xxf)0(0 x A21导数的概念PPT课件举例举例.,)()()(,)(. 1000函

16、函数数在在角角点点不不可可导导的的角角点点为为函函数数则则称称点点若若连连续续函函数数xfxxfxfxf xy0例如例如,y=|x|0,0( ).xxf x在处不可导为的角点没有切线 连续函数未必可导连续函数未必可导.不可导也可能有切线。不可导也可能有切线。A21导数的概念PPT课件31xyxy01)( .)(,)()(limlim,)(. 2000000不可导不可导有无穷导数有无穷导数在点在点称函数称函数但但连续连续在点在点设函数设函数xxfxxfxxfxyxxfxx 例如例如, 1)(3 xxf但有切线x=13110(1)lim,1( )1. ()xxfxf xx 称函数在点有无穷导数不可

17、导A21导数的概念PPT课件., )()(. 30点点不不可可导导则则指指摆摆动动不不定定不不存存在在在在连连续续点点的的左左右右导导数数都都函函数数xxf,0, 00,1sin)( xxxxxf例如例如,0.x 在处不可导没有切线011/1/xyA21导数的概念PPT课件例例 .0,0, 00,1sin)(处处的的连连续续性性与与可可导导性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解,1sin是有界函数是有界函数x01sinlim0 xxx.0)(处连续处连续在在 xxf处处有有但但在在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之之间间振振荡荡而而极极限限不不存存在在和和在在时

18、时当当 xyx.0)(处不可导处不可导在在 xxf0)(lim)0(0 xffxA21导数的概念PPT课件.)()(,)(. 4000不可导点不可导点的尖点的尖点为函数为函数则称点则称点符号相反符号相反的两个单侧导数的两个单侧导数且在点且在点若若xfxxxf xyoxy0 xo)(xfy )(xfy A21导数的概念PPT课件解解: 因为1. 设)(xf 存在, 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以. 2) 1 ( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()(1 (lim210 xfxfx1) 1 (21f抽象

19、函数求导数用导数定义抽象函数求导数用导数定义例例A21导数的概念PPT课件)(xf在 0 x处连续, 且xxfx)(lim0存在， 证明:)(xf在0 x处可导.证证：因为xxfx)(lim0存在， 则有0)(lim0 xfx又)(xf在0 x处连续,0)0(f所以xxfx)(lim0即)(xf在0 x处可导.例例2. 设xfxfx)0()(lim0)0(f 故A21导数的概念PPT课件例设例设 f(x)在点在点x=a处可导，求处可导，求xxafxafx)()(lim0 .解：解： xxafxafx)()(lim0 xafxafafxafx)()()()(lim0 )(2)()(afafaf A21导数的概念PPT课件例 设f(x)=(xa)(x) ,其中(x) 在x=a处连续,求f (a).A21导数的概念PPT课件例例).0(),100()2)(1()(fxxxxxf 求求设设解解0)0()(lim)0(0 xfxffx)100()2)(1(lim0 xxxx!100 A21导数的概念PPT课件例例. 设函数设函数 f(x)在在 x=0的某邻域内可导的某邻域内可导,且且).0(f 求求,3)(lim0 xxfx解解. 0( )lim3 ,:xf xx由极限与无穷小的关系0( )3( ),lim( )(0)0,xf xxo