初等几何研究讲义(提纲)(函授用)

1、初等几何研究讲义（提纲）（函授用）引言1. 木课程特点：初等几何研究课主要是对中学几何内容的补充、深化、融会贯通。进一步明确初等几 何的基木概念、思想方法、理论体系。为胜任中学几何教学打好基础。2. 初等几何发展简史初等儿何是世界上最先成熟的一门学科。“几何” 一词最早来源于希腊文，意思是“土地测量”，即几何来源于生产实践屮土 地测量的需要。世界上四大文明占国埃及、印度、巴比伦、中国都位于大河流域。因人类、动物、植物 生长屮都离不开水，这些国家首先发展了农业，也发展了几何学。三千多年前在古埃及，每年雨季一到，尼罗河水泛滥，大批良出被淹，两岸田亩地 界被水冲坏，而农民租种的土地是国王按照同样大小

2、的正方形分配给他们的。每年要缴租金， 为计算租金数量，洪水退后，要重新测量土地。几何学就是这样在计算和测量中产生,并 应用几何知识，造出了金字塔。埃及人在实践屮获得了丰富的几何知识经验，而把这时经验集屮起来,形成系统的知 识，并将其推广的却是与埃及隔海相望的古希腊人。公元前五、六世纪，古希腊学者泰勒斯，毕达哥拉斯年轻时都到过埃及，学习埃及 人的几何经验，并将这些知识系统化。泰勒斯重要发现：对顶角相等，半圆上的圆周角是直 角，等腰三角形的底角相等，毕达哥拉斯重要发现：三角形的内角定理，止多面体最多冇五种。欧几里得（公元前330年至前275年，古希腊人）在前人工作的基础上，总结，发展 了儿何学，使

3、儿何系统化、严谨化。写出了光辉著作儿何原木。世界丿力史上从來末有一 本科学书籍彖几何原本那样长期地成为广大教师、学生的读物，几何原本手抄本先 流传了 1800多年，从1482年至19世纪末，印刷本用各种文字出了一千版以上。元朝（13 世纪）阿拉们文木传入我国。明朝（17世纪）徐光启汉译木出版。古埃及的儿何知识与古希腊的逻辑学结合产生了欧儿里得儿何学。直到19世纪末，希尔伯特的几何基础出版，其完善的公理体系才代替了几何原 木。第一章几何公理体系第一节 欧几里得的几何原本与希尔伯特的几何基础一 欧几里得的几何原木1. 儿何原本的主要内容：几何原本共13卷，第5、7、8、9、10卷为算术和比例，其它

4、8卷为 几何。i、2卷：直线形（三角形、平行线）；3卷：圆；4卷：内接和外切多边形；6卷：相似形ii、12、13卷：立体几何。在第1卷中，首先给出23个定义，5个公设、5个公理，组成公理体系。定义：（1）点是没有部分的；(2) 线有长度而没有宽度；(3) 线的界限是点；(4) 直线是同其中各点看齐的线；(5) 面只有长度和宽度；(6) 面的界限是线；(7) 平面是同其上直线看齐的那种面；(8) 至(22)为角、平角、垂线、圆。(23)平行直线是在同一平面内，而且往两个方向无限延长后在两个方向上都不会相交公设：(1)从每一点向另一点可引直线；(2) 每条直线可以无限延长；(3) 以任意点为圆心，

5、可用任意长为半径画圆;(4) 所有的直角都相等; 在同一平面上，若两直线和第三直线相交，且在同侧构成的两个内角之和小于两直角,则这两条直线在笫三直线的这一侧相交。 公理：(1)等于同量的量相等；(2) 等量加等量，其和相等；(3) 等量减等量，其差相等；(4) 互相重合的量相等；(5) 全量大于部分。其屮公设是关于几何关系的规定，而公理是关于数量的规定，现代统称公理。2. 儿何原本特点及其历史意义：(1) 几何原本特点：是用(古典)公理体系最早建立比较完整的数学体系的典范， 其基木思想是以较少的几个基木假设(公理公设)为基础，运用逻辑上的定义和推理的 方法推导岀尽可能多的定义和定 理这样，欧儿

6、里得就把历史上积累的庞杂分散的儿何知识 编排成较完整的理论体系。(2) 历史意义：几何原本是历史上第一部比较完整的数学理论著作，是一部初等数 学的基础教材，两千多年来一直被人沿用，对数学教育产生了深远的影响，对口然科学的 发展起了重大的作用。3. 几何原本公理体系的缺陷：(1) 有些定义模糊，逻辑顺序不清楚。女ii “点”、“直线”、“平面”的概念是用“部分”、“长度”、“宽度”等概 念来定义的，而后者实际上更为复杂，用“看齐”來定义直线、平面，语言费解。(2) 有些推理缺乏依据，只得借助丁直观例如：证明两边及夹角对应相等的两个三角形全等时，用“运动”把一个三角形与另一 个三角形重合，但运动过

7、程中图形的形状、大小是否会改变无公理保证，仅借助于直观。(3) 有的公理不独立如所有的直角都相等可用其它公理推导出，应为定理。二希尔伯特的几何基础1. 希尔伯特对公理体系的要求：(1) 相容性:各公理z间不存在互相孑盾的现象：(2) 独立性：要求公理的条数尽可能的少，也就是不能冇能被其它公理证明的公理命题（3）完备性:由定义和公理组成的公理系统不必借助于直观而用纯粹逻辑推理 的方法展开全部儿何学。3. 希尔伯特公理体系欧几里得以后的许多数学家都致力于完善欧几里得公理体系的工作，直到 1899年希尔伯特发表几何基础才算完成这项工作。希尔伯特几何基础公理体系包括三个基本元素（原始概念）、三个基本关

8、系、 五组二十条公理。希尔们特公理体系（见教科书p242页附1. 1）第二节中学儿何教材的公理体系木世纪流传的小学几何课木，是仿照勒让德（1752-1833）对几何原本 的改写木改写的。我国的屮学儿何教材，是在解放初，取材于前苏联儿何课本，参考解放 前用的三s平面几何编写,后经七次较大修改（1952, 1956, 1962, 1977, 1982, 1993, 2001 ）。但逻辑结构不变，与几何原木出入不很大。（近几年的 教材是根据课程标准各地编写的）一 现行屮学课本公理：1. 经过两点有一条直线，并且只有一条直线；2. 在所有连结两点的线中，线段最短；3. 经过直线外一点冇月只冇一条直线和

9、这条己知直线平行；4. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；5. （边角边公理）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；6. （角边角公理）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；7. 矩形的面积等于它的长和宽的乘积；&如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条一直线上的所有点都在这个平 面内；9.如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直 线；10：通过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面；11 平行于同一直线的两条直线互相平行；12. 长方休的体积等于它的长、宽、高的乘积；13. （祖唯原理）夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行

10、于这两个平面 的任意平面所截，如果截得的截面面积相等，那么这两个儿何休的休积相等。 二现行中学几何公理体系的特点：1. 公理方面：（1）采用扩大了的公理体系，把一些可以证明但较难证明的定理作为公理以减少教学难度，这样作放弃了公理休系的独立性（2）顺序公理、连续公理不提及，全靠直观承认，这样作实际上是放弃了公 理体系的完备性。体现了数学教育的儿何与数学科学的儿何的不同，是为照顾学 生的年龄特征与思维能力。公理体系的相容性是满足的。（i）xe原始概念点、直线、平面是用描述的方法，通过实例引入的。易为学生 接受。(2) 采用一些没冇解释的概念，如“通过”，“在之间”，“同侧”等；(3) 对一些概念未

11、能作出精确的定义，如“长度”，“面积”，“体积”等。 三.中学几何课程的改革：中学数学是各国中学课程中相对比较统一的一门学科，而儿何课程是其中最不统一的部分。随着时代的变迁，传统的欧氏几何作为现代中学课程是不适宜的，但完全把欧氏几何拒z于 中学门外也是不正确的，几何课程的改革势在必行。第二章几何证明第一节命题1. 命题：反映客观事物貝有某种性质或某种关系的思维形式叫做判断。表 示判断的语句叫命题。命题由两部分组成，第一部分称前提或假设，第二部分称结论。数学上的命题常写成假言命题的形式。若p则q.记作p => q2. 命题的四种变化(见教材p4)二证明：1 证明的意义和结构：证明是通过一连

12、串的推理，由一些真实性的命题來确定某一命题真实性的过程。证明由论题、论据、论证三部分组成。(1) 论题：指需要确定其真实性的那个命题，命题的条件是己知部分，结论是求证部分。(2) 论据：指被引用来作为证明论题真实性的命题，在几何证明中的论据是公理、已知定义、定理和论题中的己知条件。(3) 论证：指论据和论题之间的逻辑联系的方式，也就是用那些推理形式 从论据推出论题的过程。2. 证明的种类：按照推理形式可分为演绎法和归纳法，按照证明方法口j分为直接证法和间接证法，按照思维理路(理由和路线)可分为综合法和分析 法。(1) 直接证法和间接证法：1°直接证法：由论题的己知条件出发，根据定义、

13、定理、公理进行一系列正面的逻辑推理，最后得出命题的结论，这种证明方法称为直接证法。2。间接证法：有些命题用直接证法较困难可改证原命题的等效命题，这样的 证明方法称为间接证法。常用的间接证法可分为：同一法、反证法。同一法：如果一个命题是同一性命题(条件与结论唯一),并且直接证明有怵i难可以改证与 原命题等价的逆命题，这种方法叫同一法。运用同一法证明“具有条件a的图形f必具有性质b”的步骤：第一步:另作一图形f使它具冇性质b;第二步：证明所作的图形f'符合己知条件a;第三步：由于己知条件所制约的图形具有唯一性，从而判断f与f'重合， 于是图形f具有性质b op15 例 3反证法：从

14、否定结论的正确性岀发，根据假设、定义、公理、定理进行一系列 正确推理，最后得到一个矛盾的结果（与命题的假设矛盾，或与某个定理公 理矛盾，或自相矛盾）这就表明结论的反面不能成立，从而肯定结论的正确 性，这种方法叫反证法。反证法可分为归谬法和穷举法。若论题的反而只冇一种情况，否定这种情况便完成了证明，这种证法称为 归谬法；若论题的反面有多种情况，必须把所有情况全部列举出来并一一加以否定， 这种证法叫穷举法。例 1 （p13例 1）例2己知：p是aabc内部一点若ab=ac且zapb>z/t求证:pb<pc（2）综合法与分析法：由于思维理路冇顺逆z分，证明方法可分为综合法与分析法。1&#

15、176;综合法：（顺推法）从己知条件出发，逐步顺推，通过一系列正确的推 理，逐步靠近目标，最后证出结论。2°分析法：（逆求法从待证的结论入手，承认它是正确的话，逐步寻找 使之成立的根据，一步一步逆而推之，直到与已知条件会合。例 1 （p16例2）例2已知（do的两弦ab、cd延长后交于圆外一点e,过e作ad的平行线交 cb的延长线于f,自f作00的切线fg,则fg二fe一般说来综合法从已知条件推演，支路较多，不易找出证明途径，但叙述 简便，容易使人理解。因此，一般用分析法想问题，用综合法写出。第三章几何变换第一节变换与变换群定义1 ：设映射广atb,若a二b,称f是集合a上变换。定义

16、2:使得集合a屮任何元索都不变的变换叫做集合a上的恒等变换,记 作厶或/定义3 :设几g是集合a上的两个变换,对于a中的任一元素°,有f 8（patata",贝ijqtq"称为变换/,g 的乘积,记作（p = f og（p = f g）变换的乘积具冇下述性质：（1）若是一一变换，则fog也是一一变换；（2）f oi = iof = f 变换的乘积满足结合律，即（/ og）oh = f o（g oh）（4）变换的乘法不一定满足交换律。fsf定义4：任意a g a,aaara , g为的逆变换,记作g = f定义5:设a为点集，g是集合a上的若干个一一变换的集合，若g

17、关于变换的乘法构成群，则称g为点集a上的变换群，需证明：(1) 若 f,gwh ,则 fogeh若feh则厂' g/7若满足(1), (2)则为变换群。定义5: 一个群g的一个子集h叫做g的一个子群，假若h对于g的乘 法来说作成一个群。定义6:若/是点集a上的变换，fga若f(f)二f,则称f是变换/下的不变图形(二重图形)第二节合同变换一.合同变换平面定义1. 一个平面到自身的变换f ,若对于平面上任意两点a、b其距离ab总等 于对应点a'、b'的距离a' b则f称为平而上的合同变换定理1:平面上的合同变换由不共线的三对对应点唯一确定两个三角形合同可分为：(1

18、 )真止合同(全相等、全等)两个三角形合同旦转向相同。(2) 镜照合同：两个三角形合同旦转向相反。合同变换可分为两类：第一类合同变换：(运动)：把一个三角形变为与自身真正合同的三角形的合 同变换第二类合同变换:把一个三角形变为与自身镜照合同的三角形的合同变换定理2:合同变换是一一变换定理3.平面上所有合同变换的集合构成一个变换群定理4.在合同变换下：1. 两直线的夹角不变，三角形的而积不变，平而图形的而积不变，直线上三 点a、b、c的简单比不变；2. 共线点变为共线点，且保持顺序不变；3. 一直线变为直线，线段变为线段，射线变为射线，半平面变为半平面；4两直线的平行性不变。又：第一类合同变换构

19、成群(运动群),是合同变换群的子群。二平移变换：移。记作t(a),。称为平移距离，。的方称平移方向1. 定禺一个平面到自身的突换，如果对于平面上任意一点m及其对应点at , 向量mat ,陰等于耳知向ftf/,那么运个变换称为平面上的平移变换，简称平2. 平移由一向量或一对对应点唯一确定，零向量确定的平移是恒等变换。3. 平移的性质：(1) 平移是第一类合同变换；(2) 平面上的所有合同变换构成变换群，称为平移群，平移群是交换群。(3) 除恒等变换外，平移没有二重点，但有无穷多条二重线。即所有与平移方 向平行的直线;(4) 在平移变换下，直线/变为直线厂，贝啦平行于?'，或/与厂重合,

20、线段 ab变为线段人矽，且ab = afb,) ab / afbf5.平移的应用：在平而几何题屮，当已知条件屮冇平行线段，或冇造成平行的因素，又需将 线段或角相对集中时采用平移变换。例1己知:p为平行四边形abcd内的一点zpab二zpcb,求证：zpba二zpdaad例2p75例2三.旋转变换：1. 定义：一个平面到自身的变换，如果存在一个定点0和定角& (有向 角),使平面上任一点m及对应点m'，满足om =0m zmomr = 0f那么 这个变换称为平面上的旋转变换，简称旋转,记为r(o,0),o为旋转屮心，& 为旋转角当& = 0。，时为恒等变换，当力=

21、 180°时称为中心对称变换或中心反射2. 旋转由旋转屮心和旋转角唯一确定，或由旋转小心和一对对应点唯一确 定。3. 旋转的性质：(1) 旋转是第一类合同变换：(2) 具有同一中心的旋转变换的集合构成一个变换群，是交换群；(3) 除恒等变换外，旋转变换只有一个二重点，即旋转小心，当e 180° 时，旋转变换没有二重线(4) 当&工180°直线与其对应直线的交角等于旋转角,4. 中心对称变换：旋转角为180°的旋转变换称为中心对称变换(中心反射、点反射),旋转中心0称为 对称中心。中心对称变换记为c (0),即c (0) = r (0, 180&#

22、176; )中心对称变 换除具有旋转的性质外，还具有一些特殊的性质(1) 中心对称变换是对合变换c2(o) = i c(o) = c"(o)；(2) 中心对称变换有无穷多条二重线，即所有过对称中心的直线；(3) 对应点连线过对称中心且被它平分，对应线段相等口反向平行或共线；(4) 不过对称屮心的直线与其对应直线平行，反z ,若两直线平行，则它们 是某个屮心对称变换下的两条对称直线。5. 旋转变换的应用：(1)2180°的旋转的应用:当具有两点到某定点等距，又需将线段或角集中时可考虑用旋转变换(如图形中有正方形、 等边三角形、等边三角形)例 1. a abc 屮，ab 二 a

23、c, p 是 aabc 内的一点，且 zapb> 乙4pc 求证：pbpc例 2. （p81例4）(2)中心对称变换的应用：当具冇图形屮心(如圆、平行四边形、线段屮点等)可用屮心对称变换使条件集屮。 例1.在aaec中m为ec的中点,p、r分别在ae、ac上，q为am与pr的交点。证明:q为pr的屮点，则pr/bc四轴反射：1. 定义一个平面到口身的变换如果存在平面上的一条直线/,对于平血上任意一点m 及其对应点w连线段被/所垂直平分那么这个变换就称为平而上的轴反 射变换(或轴对称变换)简称反射记为s(z)2. 反射由反射轴或-对对应点所确定；3. 反射的性质:(1) 反射是第二类合同变

24、换(2) 反射是对合变换即52(/) = 7,5-,(z) = s(z),关于不同反射轴的两个反射 的乘积是一个运动，不是反射，因此反射不构成群；(3) 反射有无穷多个二重点，它们是反射轴上的点，反射有无穷多条二重线，即 反射轴及与反射轴垂直的直线(4) 设p为反射轴/上任一点，力4是一对对应点，则za/w被/所平分。例:在 abc中，己知二90° ad是zbac的平分线，求证：ab2 : ad2 = bc : 2cd第四章轨迹第-一节轨迹的基本知识一.轨迹的意义：给定了蒙件c(或性质c),则满足条件c的一切点所构成的图形f称为由条 件c所规定的轨迹。必须特别注意轨迹命题的两而证明。

25、(1) 任取合乎条件c的一点，证明它在图f上；(2) 在图形f上任取一点，证明它合乎条件c o也可分别改证它们的等效命题：(1')不在图f上的任一点，必不合乎条件c;(2，)不合乎条件c的任一点，必不在图形f上.二轨迹命题的三种类型：第一类型轨迹命题：明白说出轨迹的形状和位置，如有大小可言，也一并 指出证明第一类型轨迹分为三步。(1)证完备性，即证明合乎条件的点都在 指示的图形上.(2)证纯粹性，即证所示图形上的点都合乎条件(3)下结 论，即判断命题成立例：求证：距两定点等远的点的轨迹，是该两点连线段的中垂线第二类型轨迹命题：明白说出轨迹的形状，至于位置和大小，或叙述不 全，或干脆不说

26、。解题步骤(1)探求，即预测轨迹的大小和位置；(2)证明 (证完备性，证纯粹性，下结论；(3)讨论，即研究给定的条件对轨迹的影 响例：求证：距两定点等远的点的轨迹是一条直线第三类型轨迹命题：只给出条件，形状、大小、位置则不提。解题步骤与第二类 型类似，探求麻烦一些，先探求出形状。例：求距两定点等远的点的轨迹。三基本轨迹命题：基本轨迹在屮学介绍过，在此不加证明，耍求熟练掌握。1. 距两定点等远的点的轨迹，是该两点连线段的屮垂线。2. 距两相交直线等远的点的轨迹，是两互垂的直线，它们平分两定线所成的角；3. 距两平行的定直线等远的点的轨迹，是平行它们的一条直线，即两平行 线的公垂线段的中垂线；4.

27、 至定直线的距离为定长的点的轨迹,是平行于定宜线的两条宜线，各在 定直线的一侧且距离定线等于所设定长；5. 至定点的距离为定长的点的轨迹为一圃，以定点为其屮心而以定长为半 径：6. 对定线段的视角为定角a （0< a < 180° ）的点的轨迹，是对称于定线段 （所在直线）的两个圆弧，以定线段为弦而其内接角等于a .特别，当a二90。时，轨迹为以定线段为宜径的圆.第二节轨迹题的解法一 第一类型轨迹题：例1.连接一定直线上的点与直线外一定点的线段，其屮点的轨迹是定点至定 直线所引垂线的中垂线例2.给定直角zxoy, 一条定长（记为a）的线段ab两端在角的两边滑动, 则ab中

28、点p的轨迹是以0做中心，以a/2做半径的弧qr例3.平行四边形abcd的底边bc固定，且一边ab为定长a ,则其对角线 交点的轨迹为一圆,圆心是bc的小点,半径是a/2第二类型轨迹题：第二类型轨迹题中轨迹的形状知道，但位置、人小或叙述不 全，或完全不讲，需探求出來。例1.和两定点距离z比等于定比（不等于1）的点的轨迹是一个圆，称为阿 氏（apollonius ）圆。例2.到两定点距离的平方和为常量的点的轨迹（倘若存在为一鬪（可能退 缩为一点）,（称为定和幕圆）例3.到两定点距离的平方差为常量的点的轨迹，是垂直于这两点连线的一条 直线，（称为定差幕线）。以上三个轨迹为常用轨迹。第三类型轨迹题：第

29、三类型轨迹题，轨迹的形状、大小、位置都不知道，需 先探求出来。探求方法：1.描迹（描点法）按照所设条件作出轨迹上若干点，可发现 大概形状2. 预测轨迹性质（1）对称性（2）范围：若轨迹上的点可到达 无穷远，无端点为直线，有端点为射线；若轨迹上的点不能到达无穷远， 轨迹为圆，圆弧，线段，三点共线为线段，否则为圆或圆弧，此时需求岀 一点对两端点的视角。3. 确定轨迹上的特殊点。4. 考察任意点与特殊点的关系。例1.从已知半圆直径ab延长线上任一点c作切线ct及zact的平分线, 从圆心作这角平分线的垂线，求垂足m的轨迹例2.设bc是定半圆的直径，从半圆上的动点a作ad丄bc,在半径0a上 截0p二

30、ad.当点a描画半圆时，点p的轨迹为何？例3.等边aaec的点a固定，点b为定直线m上的动点，求点c的轨 迹.第五章作图题第一节作图基本知识.儿何作图及其意义：1. 作图问题：备合条件、要求作出合乎这些条件的图形。2. 意义：（1）建立学生具体几何观念的重要手段；（2）可把所学知识用來解 决具体问题，学以致用；（3）为制图学提供理论基础（4）培养逻辑思维能 力。二.尺规作图：1. 尺规作图：仅用直尺（无刻度）和圜规经有限手续的作图称为尺规作图 或初等几何作图。2. 利用直尺和圆规可以完成卜列作图（作图公法）（1）过两点作一直线；（2）已知圆心和半径可作一圈；（3）求直线与直线，直线与圆，圆与圆的交点。三定位作图与不定位作图如果求作的图形必须作在指定的位置，便叫做定位作图。例如给定三角形 求作它的外接圆如果求作的图形只要满足一定的条件，至于画在什么位置可以不计，便叫 做不定位作图（活位作图）。例如”已知三边长，求作三角形“ “求作定 圆的内接正方形”。按一定步骤作出一个合乎所设条件的图形，便说得到这个问题的一个解。 定位作图