2019秋高中数学第一章集合与函数概念122函数的表示法第2课时分段函数及映射课件新人教A版必修1

1、第一章第一章 集合与函数概念集合与函数概念 第第2课时课时 分段函数及映射分段函数及映射 学习目标学习目标 1.通过具体的实例，理解分段函数的概通过具体的实例，理解分段函数的概念，能描绘出分段函数的大致图象，能正确地求出分段念，能描绘出分段函数的大致图象，能正确地求出分段函数在某点的函数值函数在某点的函数值(重点、难点重点、难点) 2.了解映射概念及了解映射概念及它与函数的区别与联系它与函数的区别与联系(难点难点) 知识提炼知识提炼梳理梳理 1分段函数分段函数 如果函数如果函数yf(x)，xA，根据自变量，根据自变量x在在A中不同中不同的取值范围，有着的取值范围，有着 不同的不同的对应关系，则

2、称这样的函数为对应关系，则称这样的函数为分段函数分段函数 温馨提示温馨提示 分段函数的定义域只有一个，只不过在分段函数的定义域只有一个，只不过在定义域的不同区间上对应关系不同，所以分段函数是一定义域的不同区间上对应关系不同，所以分段函数是一个函数个函数 2映射的概念映射的概念 设设A，B是两个是两个非空的集合非空的集合，如果按某一个确定的对如果按某一个确定的对应关系应关系f，使对于集合，使对于集合A中的中的任意一个任意一个元素元素x，在集合，在集合B中都有中都有唯一确定唯一确定的元素的元素y与之对应，那么就称对应与之对应，那么就称对应f：AB为为从集合从集合A到集合到集合B的一个映射的一个映射

3、 3函数与映射的区别与联系函数与映射的区别与联系 名称名称 映射映射 函数中的两个集函数中的两个集映射中的两个集合映射中的两个集合A和和B可可区别区别 合合A和和B必须是非必须是非 以是数集，也可以是其他集以是数集，也可以是其他集空数集空数集 合，只要非空即可合，只要非空即可 函数是一种特殊的映射；映射是函数概念的推函数是一种特殊的映射；映射是函数概念的推联系联系 广，但映射不一定是函数广，但映射不一定是函数 函数函数 思考尝试思考尝试夯基夯基 1思考判断思考判断(正确的打正确的打“”“” ，错误的打，错误的打“”) (1)函数函数? ? ?1，x0，f(x)? ?是分段函数是分段函数( ?

4、? ?1，x1，? ? ?x1213A. B3 C. D. 539? ?2? ?2213解析：解析：因为因为f(3) ，所以，所以f(f(3)? ?3? ?1. 39? ? ? ?2答案：答案：D 3设设f：AB，则下列命题中，正确的是，则下列命题中，正确的是( ) AA中每个元素在中每个元素在B中必有唯一元素与其对应中必有唯一元素与其对应 BB中每个元素在中每个元素在A中必有元素与其对应中必有元素与其对应 CB中每个元素在中每个元素在A中对应的元素唯一中对应的元素唯一 DA中不同的元素在中不同的元素在B中对应的元素必不同中对应的元素必不同 解析：解析：f：AB表示表示A中的任一元素在中的任一

5、元素在B中都有唯中都有唯一元素与之对应，而一元素与之对应，而B中的部分元素可以不参与对应中的部分元素可以不参与对应 答案：答案：A 4已知函数已知函数? ? ?3 x2，x1，f(x)? ?2若若? ? ?x ax，x1，f(f(0)4 a，则实数则实数a_ 解析：解析：因为因为? ? ?3 x2，x1，f(x)? ?2所以所以? ? ?x ax，x1，f(0)2， 所以所以f(f(0)f(2)42 a4 a，所以，所以a2. 答案：答案：2 5已知已知f(x)的图象如图所示，则的图象如图所示，则f(x)的解析式为的解析式为_ 解析：解析：当当0 x1时，时，f(x)1； 当当1x2时，设时，

6、设f(x)kxb(k0)， ? ? ? ?kb1，? ?k1，则则? ?解得解得? ? ? ? ? ?2 kb0，? ?b2，此时此时f(x)x2. ? ? ?1，0 x1，综上，综上，f(x)? ? ? ? ?x2，1x2.? ? ?1，0 x1，答案：答案：f(x)? ? ? ? ?x2，1x2类型类型1 分段函数的求值分段函数的求值(自主研析自主研析) ? ?x1，x2，? ?2典例典例1 已知函数已知函数f(x)? ?x 2 x，2x2， ? ?2 x1，x2.? ? ? ? ?5? ? ?(1)求求f(5)，f(3)，f ? ?f? ?2? ? ?的值；的值； ? ? ? ? ? ?

7、(2)若若f(a)3，求实数，求实数a的值的值 解：解：(1)由由5(，2，3(2，2)， 5 (，2，知，知f(5)514， 2f(3)(3)2(3)32 3. 2因为因为f 所以所以f ? ?5? ?533? ? ? 1 ，且，且2 2，不合题意，不合题意，舍去舍去 当当2 a1，x? ?变式训练变式训练 已知函数已知函数f(x)? ?x21，1x1， ? ? ? ?2 x3，x1.(1)求求 f ? ? ? ?1? ?1? ? ?，f(f(f(2)的值；的值； ? ?21? ?(2)求求f(3x1)； 3(3)若若f(a) ，求，求a. 21解：解：(1)因为因为11( 21)21，即，

8、即x ， 313 xf(3 x1)1； 3 x13x12若若13 x11，即，即0 x ， 3f(3 x1)(3 x1)19 x6 x2； 22若若3 x11，即，即x3，? ?2 所以所以f(3 x1)? ?2? ?9 x 6 x2，0 x3，? ? ?6 x1，x1时，有时，有1a ，所以，所以a2； 232当当1a1时，时，a1 ，所以，所以a . 22233当当a1时，时，2 a3 ，所以，所以a (舍去舍去) 242综上所述，综上所述，a2或或a . 2类型类型2 分段函数的图象及应用分段函数的图象及应用 |x|x典例典例2 已知函数已知函数f(x)1(2x2) 2(1)用分段函数的

9、形式表示函数用分段函数的形式表示函数f(x)； (2)画出函数画出函数f(x)的图象；的图象； (3)写出函数写出函数f(x)的值域的值域 xx解：解：(1)当当0 x2时，时，f(x)11， 2xx当当2x0时，时，f(x)11x. 2所以所以? ? ?1，0 x2，f(x)? ? ? ? ?1x，2x0.(2)函数函数f(x)的图象如图所示的图象如图所示 (3)由由(2)知，知，f(x)在在(2，2上的值域为上的值域为1，3) 归纳升华归纳升华 1由分段函数的图象确定函数解析式的步骤由分段函数的图象确定函数解析式的步骤 (1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，定类型：根据自变量在不

10、同范围内图象的特点，先确定函数的类型先确定函数的类型 (2)设函数式：设出函数的解析式设函数式：设出函数的解析式 (3)列方程列方程(组组)：根据图象中的已知点，根据图象中的已知点，列出方程或方列出方程或方程组，求出该段内的解析式程组，求出该段内的解析式 (4)下结论：最后用下结论：最后用 “” 表示出各段解析式，注意自变表示出各段解析式，注意自变量的取值范围量的取值范围 2作分段函数图象的注意点作分段函数图象的注意点 作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特

11、别注意端点是实心点还是空心点点是实心点还是空心点 变式训练变式训练 如图，如图， 函数函数f(x)的图象是的图象是由两条射线由两条射线y1k1xb1(x1)，y2k2xb2(x3)及抛物线及抛物线y3a(x2)2(1 x3)的一部分组成，求函数的一部分组成，求函数f(x)的解析式的解析式 ? ? ? ?k1b11，? ?k11，解：解：由图知由图知? ?解得解得? ? ? ? ? ?b12，? ?b12，2所以左侧射线的解析式为所以左侧射线的解析式为y1x2( x1)， 同理，当同理，当x3时，右侧射线的解析式为时，右侧射线的解析式为y2x2( x3) 因为抛物线对应的二次函数的解析式为因为抛

12、物线对应的二次函数的解析式为y3a(x2)2(1 x3)，所以，所以a21，解得，解得a1. 所以抛物线的解析式为所以抛物线的解析式为y3x4 x2(1 x3) 综综上上所所述述，函函数数解解析析式式为为? ?x2，x1，? ?2? ?x4 x2，1x3， ? ?x2，x3.? ?22y类型类型3 映射的概念映射的概念 典例典例3 下列从集合下列从集合A到集合到集合B的对应中为映射的的对应中为映射的是是( ) AABN，对应关系，对应关系f：xy|x3| BAR，B0，1， 对应关系对应关系? ? ?0，x0，f：xy? ? ? ? ?1，x0，By|yR， 对应关系对应关系f：xyx 1DA

13、Z，BQ，对应关系，对应关系f：xyx 解析：解析：在在A选项中，选项中，x3时，时，y|x3|0? ?B，于，于是是A中中3在在B中没有对应元素，故不是映射；在中没有对应元素，故不是映射；在C选项选项中，中，任一个任一个x值都有两个值都有两个y值和它对应，值和它对应，故不是映射；故不是映射；在在D选项中，集合选项中，集合A中的元素中的元素0在在B中没有元素对应，故中没有元素对应，故也不是映射；只有也不是映射；只有B项符合定义项符合定义 答案：答案：B 归纳升华归纳升华 1 判断一个对应是不是映射，判断一个对应是不是映射，应从两个方面去分析：应从两个方面去分析：(1)集合集合A中的每一个元素是

14、否都有象；中的每一个元素是否都有象；(2)在在B中是否有中是否有唯一的元素与之对应唯一的元素与之对应 2A中的不同元素允许对应中的不同元素允许对应B中的相同元素，即映中的相同元素，即映射允许射允许“多对一多对一” “一对一一对一” ，但不允许，但不允许“一对多一对多” 3对应关系有对应关系有“方向性方向性” ，即强调从集合即强调从集合A到集合到集合B的对应它与从的对应它与从B到到A的对应一般是不同的的对应一般是不同的 变式训练变式训练 如图所示，如图所示， 箭头标明箭头标明A中元素与中元素与B中元中元素的对应关系，它们中为映射的有素的对应关系，它们中为映射的有_(填序号，下填序号，下同同)，为

15、函数关系的有，为函数关系的有_ 解析：解析：根据映射的定义判断根据映射的定义判断AB的对应关系是映的对应关系是映射，射， 满足满足A中任意一个元素在中任意一个元素在B中有唯一元素与之对应，中有唯一元素与之对应，即即A中元素都有唯一的象，中元素都有唯一的象，具体地说，具体地说，即即AB是是“一对一对一或多对一一或多对一” 在映射条件下，当在映射条件下，当A，B为非空数集时，为非空数集时，则对应关系为函数只有满足映射和函数的条件则对应关系为函数只有满足映射和函数的条件 答案：答案： 1对分段函数的理解对分段函数的理解 (1)分段函数是一个函数而非几个函数分段函数的分段函数是一个函数而非几个函数分段函数的定义域是各段上定义域是各段上“定义域定义域”的并集，的并集，其值域是各段上其值域是各段上“值值域域”的并集的并集 (2)分段函数的图象应分段来作，应特别注意各段的分段函数的图象应分段来作，应特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况的虚实情况 2对映射认识的拓展对映射认识的拓展 对于映射对于映射f：AB： (1) A中每个元素在中每个元素在B中必有唯一的元素与之对应；中必有唯一的元素与之对应； (2)对对A中不同的元素，在中不同的元素，在B中可以有相同的元素与中可以有相同的元素与之对应；之对应；