2019秋高中数学第一章解三角形章末复习课课件新人教A版必修5

1、第一章第一章 解三角形解三角形 章末复习课章末复习课 整合整合网络构建网络构建 警示警示易错提醒易错提醒 1三角形解的个数的确定三角形解的个数的确定(易错点易错点) 已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形， 解解这类三角形问题可能出现一解、这类三角形问题可能出现一解、两解、两解、无解的情况，无解的情况，这时这时应结合应结合“三角形中大边对大角三角形中大边对大角”的知识进行求解的知识进行求解解答过解答过程中一般用正弦定理，但也可用余弦定理程中一般用正弦定理，但也可用余弦定理 (1)利用正弦定理讨论：若已知利用正弦定理讨论：若已知a、b、A，由正弦定

2、，由正弦定abbsin A理理，得，得sin B.若若sin B1，无解；若，无解；若asin Asin Bsin B1，一解；若，一解；若sin B1，当，当ba时，两解时，两解 (2)利用余弦定理讨论：利用余弦定理讨论： 已知已知a、b、A，由余弦定理，由余弦定理a cb2 cbcos A，即，即c(2 bcos A)cba0，这，这是关于是关于c的一元二次方程的一元二次方程若方程无解或无正数解，若方程无解或无正数解，则三则三角形无解；角形无解；若方程有唯一正数解，若方程有唯一正数解，则三角形有一解；则三角形有一解；若方若方程有两不同正数解，则三角形有两解程有两不同正数解，则三角形有两解

3、2三角形形状的判定方法三角形形状的判定方法 判定三角形形状通常有两种途径：判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理一是通过正弦定理和余弦定理化边为角和余弦定理化边为角(如：如：a2 Rsin A，abc2 abcos C等等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判 222222222断断 此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系系如：如：sin Asin B? AB；sin ( AB)0 ? AB；sin 2 Asin 2 B? AB或或AB 等二是利用正弦定理、等二是利用正弦定理、2

4、a余弦定理化角为边，余弦定理化角为边，如：如：sin A(R为为ABC外接圆半外接圆半2 Rb ca径径)，cos A等，等，通过代数恒等变换求出三条边通过代数恒等变换求出三条边2 bc之间的关系进行判断之间的关系进行判断 2223.解三角形应用题的基本思路解三角形应用题的基本思路 解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决基本解题思路是：首先分析此题属于哪形问题来解决基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题种类型的问题(如测量距离、高度、角度等如测量距离、高度、角度等)，然后依题意，然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意

5、图中画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发目的是发现已知量与未知量之间的关系现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答解题时还要注意近似化，哪个定理求解，并进行作答解题时还要注意近似计算的要求计算的要求 专题一专题一 利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理解三角形(自主研析自主研析) 2 5例例1 在在ABC中，中，B45，AC10，cos C. 5(1)求求BC边的长；边的长； (2)求求AB边上的中线边上的中线CD的长的长 2 55解：解：(1)由由cos C，得，得sin C， 552sin Asin(18045C)

6、sin(135C)(cos C23 10sin C). 10AC10 3 10由正弦定理，由正弦定理，得得BCsin A3 2. sin B1022AC105(2)由正弦定理，得由正弦定理，得ABsin C2. sin B5221BDAB1. 2由余弦定理，得由余弦定理，得CDBDBC2 BDBCcos B 2118213 213. 222归纳升华归纳升华 应用正、余弦定理需注意的三点应用正、余弦定理需注意的三点 1正弦定理和余弦定理提示了三角形边角之间的关正弦定理和余弦定理提示了三角形边角之间的关系，解题时要根据题目条件恰当地实现边角的统一系，解题时要根据题目条件恰当地实现边角的统一 2统一

7、为统一为“角角”后，要注意正确利用三角恒等变换后，要注意正确利用三角恒等变换及诱导公式进行变形；统一为及诱导公式进行变形；统一为 “边边”后，要注意正确利后，要注意正确利用配方、因式分解等代数变换方法进行变形用配方、因式分解等代数变换方法进行变形 3求值时注意方程思想的运用求值时注意方程思想的运用 变式训练变式训练 ABC的内角的内角A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c，asin Acsin C2 asin Cbsin B. (1)求角求角B的大小；的大小； (2)若若A75，b2，求，求a，c. 解：解：(1)由正弦定理得由正弦定理得ac2 acb . 由余弦定理得由余弦定理得bac

8、2 accos B. 2故故cos B，因此，因此B45. 2(2)sin Asin(3045)sin 30cos45cos 30sin 2645. 4222222sin A故故ab13. sin B由已知得，由已知得，C180457560， sin Csin 60cb26. sin Bsin 45专题二专题二 判断三角形的形状问题判断三角形的形状问题 例例2 已知已知ABC中，内角中，内角A，B，C所对的边分所对的边分a bc2别为别为a，b，c，c，且，且acos Bbcos A，试判，试判abc断断ABC的形状的形状 a bc2解：解：由由c， abc得得abcc (ab)c ， 所以所

9、以ababc， 222333233333331所以所以cos C 0， 2又因为又因为C(0，180)，所以，所以C60. 由由acos Bbcos A， 得得2 Rsin Acos B2 Rsin Bcos A(R为为ABC外接圆的半径外接圆的半径)， 所以所以sin(AB)0， 又因为又因为AB(120，120)， 所以所以AB0，所以，所以ABC60， 所以所以ABC为等边三角形为等边三角形 归纳升华归纳升华 利用正、余弦定理判断三角形形状的方法利用正、余弦定理判断三角形形状的方法 主要有两种方法：方法一，通过边之间的关系判断主要有两种方法：方法一，通过边之间的关系判断形状；方法二，通过

10、角之间的关系判断形状形状；方法二，通过角之间的关系判断形状 利用正、余弦定理可以将已知条件中的边、角互化，利用正、余弦定理可以将已知条件中的边、角互化，把条件转化为边的关系或转化为角的关系把条件转化为边的关系或转化为角的关系 变式训练变式训练 在在ABC中，中， 若若(a b )sin(AB)(ab )sin(AB)，请判断三角形的形状，请判断三角形的形状 解：解：因为因为(ab )sin(AB)(a b )sin( AB)， 22222222所以所以(ab )(sin Acos Bcos Asin B)(a b )(sin Acos Bcos Asin B)， 所以所以2 b sin Aco

11、s B2 a cos Asin B0， asin Acos B所以所以2， bcos Asin Basin A又由正弦定理可得又由正弦定理可得22， bsin B222222222sin Acos BsinA所以所以2， cos Asin BsinBcos Bsin A所以所以，所以，所以sin 2 Asin 2 B. cos Asin B又因为又因为A(0，)，B(0，)， 所以所以2 A2 B或或2 A2 B， 即即AB或或AB ， 2所以所以ABC为等腰三角形或直角三角形为等腰三角形或直角三角形 2专题三专题三 正、余弦定理的实际应用正、余弦定理的实际应用 例例3 已知海岛已知海岛A四周

12、四周8海里内有暗礁，有一货轮海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛由西向东航行，望见岛A在北偏东在北偏东75，航行，航行20 2海里海里后，见此岛在北偏东后，见此岛在北偏东30，若货轮不改变航向继续前进，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？有无触礁危险？ 解：解：如图所示，在如图所示，在ABC中，依题意中，依题意得得BC20 2海里，海里， ABC907515， BAC60ABC45. ACBC由正弦定理，得由正弦定理，得， sin 15 sin 4520 2sin 15所以所以AC10(62) sin 45故故A到航线的最短距离为到航线的最短距离为 3ADACsin 6010(62)

13、15 25 6(海里海里) 2因为因为15 25 68，所以货轮无触礁危险，所以货轮无触礁危险 归纳升华归纳升华 正、余弦定理与三角函数的综合应用正、余弦定理与三角函数的综合应用 1以三角形为载体，以正、余弦定理为工具，以三角以三角形为载体，以正、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段来考查三角形问题是近年高考的热点恒等变换为手段来考查三角形问题是近年高考的热点 在具在具体解题时，除了熟练使用正、余弦定理外，也要根据条件合体解题时，除了熟练使用正、余弦定理外，也要根据条件合理选用三角函数公式，达到化简问题的目的理选用三角函数公式，达到化简问题的目的 2解三角形问题的实质是将几何问题转化为代数问解

14、三角形问题的实质是将几何问题转化为代数问题题在高考中，在高考中，出题者有时会利用平面向量等知识给出某些出题者有时会利用平面向量等知识给出某些已知条件，这些知识一般只起到已知条件，这些知识一般只起到 “点缀点缀”作用，难度较小作用，难度较小 变式训练变式训练 如图，如图，在海岛在海岛A上有一上有一座海拔座海拔1千米的山，千米的山， 山顶设有一个观察站山顶设有一个观察站P，上午，上午11时，测得一轮船在岛北偏东时，测得一轮船在岛北偏东30，俯角为，俯角为30的的B处，到处，到11时时10分又测得该船在岛分又测得该船在岛北偏西北偏西60，俯角为，俯角为60的的C处处 (1)求船的航行速度是每小时多少

15、千米？求船的航行速度是每小时多少千米？ (2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛处，问此时船距岛A有多远？有多远？ 解：解：(1)在在RtPAB中，中，APB60，PA1，所以，所以AB3. 在在RtPAC中，中，APC30， 3所以所以AC.在在ACB中，中， CAB306090， 3所以所以BCACAB22? ? ? ? ?303? ? ?22（3） . ? ?33? ?301则船的航行速度为则船的航行速度为2 30(千米千米/时时) 36(2)在在ACD中，中，DAC906030， ABsinDCAsin(180ACB)si

16、nACBBC3310， 30 103sinCDAsin(ACB30) sinACBcos 30cosACBsin 30 ? ?3? ?233110 1? ?1010? ? 1022? ? ?（3 31）10. 20ADAC由正弦定理得由正弦定理得， sinDCAsinCDA33 10ACsinDCA93310所以所以AD. 13sinCDA（3 31）102093故此时船距岛故此时船距岛A有有千米千米 13专题四：三角函数的综合应用专题四：三角函数的综合应用 例例4 (2018全国卷全国卷)在平面四边形在平面四边形ABCD中，中，ADC90，A45，AB2，BD5. (1)求求cosADB；

17、(2)若若DC2 2，求，求BC. BD解解：(1)在在ABD中中，由由正正弦弦定定理理得得sin AAB. sin ADB52即即， sin 45 sin ADB2所以所以sin ADB. 5由题设知，由题设知，ADB90， 所以所以cos ADB(2)由题设及由题设及(1)知，知， 2cos BDCsin ADB. 52231. 255在在BCD中，由余弦定理得：中，由余弦定理得： BC BDDC2 BDDCcos BDC2582252 225. 5所以所以BC5. 222归纳升华归纳升华 与函数思想相联系的就是方程思想所谓方程思想，与函数思想相联系的就是方程思想所谓方程思想，就是在解决问

18、题时，用事先设定的未知数沟通问题所涉就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题所涉及的各量间的制约关系，列出方程及的各量间的制约关系，列出方程(组组)，从而求出未知数，从而求出未知数及各量的值，使问题得以解决方程可以看作未知量与及各量的值，使问题得以解决方程可以看作未知量与已知量相互制约的条件，它建设了由已知探索未知的桥已知量相互制约的条件，它建设了由已知探索未知的桥梁在利用正弦、余弦定理求角或边长时，往往渗透着梁在利用正弦、余弦定理求角或边长时，往往渗透着函数与方程思想函数与方程思想 变式训练变式训练 在在ABC中，设角中，设角A，B，C的对边分的对边分别为别为a，b，c，已知，已知cos AsinBcosCsin Asin B. (1)求角求角C的大小；的大小； (2)若若c3，求，求ABC周长的取值范围周长的取值范围 解：解：(1)由题意知由题意知1sin AsinB1sin Csin Asin B， 即即sin Asin Bsin Csin Asin B， 由正弦定理得由正弦定理得abcab， 222222222222a bcab1由余弦定理得由余弦定理得cos C ， 2