2019高考数学理高分大二轮课件专题5第2讲综合大题部分

1、专题专题5 数列数列 第2 讲 综合大题部分 考情考向分析考情考向分析 1利用转化证明等差、等比数列利用转化证明等差、等比数列 2通过分组转化、错位相减、裂项相消求数列和，进而求与不等式相关综合问题通过分组转化、错位相减、裂项相消求数列和，进而求与不等式相关综合问题 考点一考点一 考点二考点二 考点一考点一 证明等差、等比数列证明等差、等比数列 an1? ?anan2? ?11(定义法定义法)各项均不为各项均不为0的数列的数列an满足满足an2an，且，且a32 a8 . 25 1(1)证明：数列证明：数列是等差数列，并求数列是等差数列，并求数列an的通项公式；的通项公式； anan(2)若数

2、列若数列bn的通项公式为的通项公式为bn，求数列，求数列bn的前的前n项和项和Sn. 2 n62 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 考点一考点一 考点二考点二 解析解析：(1)依题意，依题意，an1anan2an12 an2an，两边同时除以，两边同时除以anan1an2， 1121可得可得，故数列，故数列是等差数列，是等差数列， anan2anan11设数列设数列的公差为的公差为d. an1因为因为a32 a8 ， 511所以所以5，10， a3a83 精准考点突破精准考点突破 易错防范

3、突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 考点一考点一 考点二考点二 11所以所以55 d，即，即d1， a8a311故故(n3)d5(n3)1n2， ana31故故an. n2an11111(2)由由(1)可知可知bn ()， 2 n62? ?n2?n3? ?2n2 n311 1 1 111n故故Sn ( ). 23 4 4 5n2 n36? ?n3? ?4 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 考点一考点一 考点二考点二 2(

4、中项法中项法)数列数列an满足满足a11，a22，an22 an1an2. (1)设设bnan1an，证明，证明bn是等差数列；是等差数列； (2)求求an的通项公式的通项公式 解析解析：(1)证明：证明：an22 an1an2， an12 anan12( n2)， 得得an2an12 an12 an(anan1) 5 (an2an1)(anan1)2(an1an) bnan1an， bn1an2an1，bn1anan1. bn1bn12 bn(n2)， bn为等差数列为等差数列 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页

5、上页 下页下页 末页末页 考点一考点一 考点二考点二 (2)由已知得由已知得b1a2a11， 又又a32 a2a124125， b2a3a2523， 公差公差db2b1312， bn12( n1)2 n1， 即即an1an2 n1. 于是于是 (a1ak) (2 k1)， k k1k1所以所以an1a1n2， 即即an1n2a1. nn又又a11， 所以所以an的通项公式为的通项公式为ann22 n2. 6 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 考点一考点一 考点二考点二 1等差数列的证明及判

6、断等差数列的证明及判断 (1)定义法，对于数列定义法，对于数列an，若，若an1and(d为常数为常数)，则数列，则数列an是等差数列是等差数列 (2)等差中项法，对于数列等差中项法，对于数列an，若，若2 an1anan2，则数列，则数列an是等差数列是等差数列 (3)通项公式法，若数列通项公式法，若数列an的通项公式满足的通项公式满足ananb(a，b为常数为常数)，则数列，则数列an是等差数列是等差数列 (4)前前n项和法，若数列项和法，若数列an的前的前n项和项和Snan2bn(a，b为常数为常数)，则数列，则数列an是等是等差数列差数列 7 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错

7、防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 考点一考点一 考点二考点二 2等比数列的证明与判断等比数列的证明与判断 an1(1)定义法，对于数列定义法，对于数列an，若，若q(q0)，则数列，则数列an是等比数列是等比数列 an(2)等比中项法，对于非零数列等比中项法，对于非零数列an，若，若anan2a，则数列，则数列an是等比数列是等比数列 (3)若数列若数列an成等比数列，则数列成等比数列，则数列lg an(an0)成等差数列；反之，若数列成等差数列；反之，若数列an成成等差数列，则数列等差数列，则数列ban成等比数列成等比数列 8

8、精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 考点一考点一 考点二考点二 考点二考点二 数列求和数列求和 1(分组求和分组求和)(2018河南信阳模拟河南信阳模拟)已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为Sn，且，且a12,2 Sn(n1)2ann2an1，数列，数列bn满足满足b1a1，nbn1anbn. (1)求数列求数列an和和bn的通项公式；的通项公式； (2)若数列若数列cn满足满足cnanbn(nN*)，求数列，求数列cn的前的前n项和项和Tn. 可得可得2 Sn1(n2)2an1(n1

9、)2an2， 两式相减可得：两式相减可得： 解析解析：(1)由由2 Sn(n1)2ann2an1， 9 2 an1(n2)2an1(n1)2an2(n1)2ann2an1， 2 an1an2an， 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 考点一考点一 考点二考点二 数列数列an是等差数列，是等差数列， 又由又由2 S122a1a2，a12，解得，解得a24. d422. an22( n1)2 n. 由由nbn1anbn，得，得bn12 bn，又，又b1a12， 数列数列bn是等比数列，首项与公比

10、都为是等比数列，首项与公比都为2. bn2n. (2) cnanbn2 n2n， n? ?22 n? ?2? ?21? ?n12数列数列cn的前的前n项和项和Tn2nn2. 221n10 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 考点一考点一 考点二考点二 2(裂项相消裂项相消)(2018东北三省三校第二次联考东北三省三校第二次联考)已知数列已知数列an满足满足a13，an12 ann1，数列，数列bn满足满足b12，bn1bnann，nN*. (1)证明：证明：ann为等比数列；为等比数列； a

11、nn(2)数列数列cn满足满足cn，求数列，求数列cn的前的前n项和项和Tn. ? ?bn1?bn11? ?解析解析：(1)因为因为an12 ann1， 11 所以所以an1(n1)2( ann) 又又a13，所以，所以a112， 所以数列所以数列ann是以是以2为首项，为首项，2为公比的等比数列为公比的等比数列 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 考点一考点一 考点二考点二 (2)由由(1)知，知，ann22n12n. 所以所以bn1bnannbn2n， 即即bn1bn2n. b2b121

12、，b3b222，b4b323，bnbn12n1. 2? ?12? ? n以上式子相加，得以上式子相加，得bn22(n2) 12当当n1时，时，b12，满足，满足bn2， 所以所以bn2. ann211所以所以cnnnn1. n1? ?bn1?bn11? ? ?21?21? ?21 2111111111所以所以Tn223nn1 n1. 21 21 21 2121 21 32112 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 nnnn1首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 考点一考点一 考点二考点二 3(错位相减错位相减)(2018河南、河

13、北两省联考河南、河北两省联考)已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为Sn，a15， nSn1(n1) Snn2n. Sn(1)求证：数列求证：数列为等差数列；为等差数列； n(2)令令bn2nan，求数列，求数列bn的前的前n项和项和Tn. Sn1SnS1Sn解析：解析：(1)证明：证明：由由nSn1(n1) Snnn得得1，又又5，所以数列所以数列1nn1n2是首项为是首项为5，公差为，公差为1的等差数列的等差数列 Sn2(2)由由(1)可知可知5(n1)n4，所以，所以Snn4 n. n13 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强

14、化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 考点一考点一 考点二考点二 当当n2时，时，anSnSn1n24 n(n1)24( n1)2 n3. 又又a15也符合上式，所以也符合上式，所以an2 n3( nN*)， 所以所以bn(2 n3)2n， 所以所以Tn52722923(2 n3)2n， 所以得所以得 2 Tn522723924(2 n1)2n(2 n3)2n1， Tn(2 n3)2n110(23242n1) 3n12? ?12? ?n1(2 n3)210 12(2 n3)2n110(2n28) (2 n1)2n12. 14 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 精准考点突破精准考点

15、突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 考点一考点一 考点二考点二 4(并项求和并项求和)(2018湖南长沙模拟湖南长沙模拟)设设Sn是数列是数列an的前的前n项和，已知项和，已知a11，Sn22 an1. (1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式； 1(2)设设bn(1)log an，求数列，求数列bn的前的前n项和项和Tn. 2解析解析：(1)Sn22 an1，a11， n当当n1时，时，S122 a2， S1a11得得a211 ； 222当当n2时，时，Sn122 an， 当当n2时，时，an2 an2 an1， 15 精准考点突破精准考点突破

16、 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 考点一考点一 考点二考点二 1即即an1 an， 211又又a2 a1，an是以是以1为首项，为首项， 为公比的等比数列为公比的等比数列 22数列数列an的通项公式为的通项公式为ann1. 2116 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 考点一考点一 考点二考点二 (2)由由(1)知知bn(1)n(n1)， Tn0123(1)n(n1)， 当当n为偶数时，为偶数时， n Tn(0

17、1)(23)(n2)n1 ； 2n11n当当n为奇数时，为奇数时，TnTn1bn1n， 22? ?1n? ?2，n为奇数，为奇数，Tn? ? ?n，n为偶数为偶数.? ?2 17 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 考点一考点一 考点二考点二 1分组求和分组求和 一是观察数列的通项公式的特征，若其是由若干个可求其和的数列的通项公式组一是观察数列的通项公式的特征，若其是由若干个可求其和的数列的通项公式组成，则求和时可用分组求和法求解；二是会用公式法求和，即对分成的各组数列成，则求和时可用分组求

18、和法求解；二是会用公式法求和，即对分成的各组数列进行求和进行求和 2裂项相消求和裂项相消求和 ba11a b适用条件，若数列的通项为分式形式，则往往可根据适用条件，若数列的通项为分式形式，则往往可根据 ，abababab等，将数列的通项拆成两项之差的形式等，将数列的通项拆成两项之差的形式 2218 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 考点一考点一 考点二考点二 抵消规律，正、负项相互抵消时，要注意准确分析最后所剩项的规律、特点是什抵消规律，正、负项相互抵消时，要注意准确分析最后所剩项的规律、

19、特点是什么么(通过具体分析求前通过具体分析求前2项和、前项和、前3项和、前项和、前4项和时，正、负项抵消后所剩项的特项和时，正、负项抵消后所剩项的特点，可归纳得出一般的规律点，可归纳得出一般的规律)；否则，极易出错；否则，极易出错 1111 常常见的裂项见的裂项 方法有方法有 ：111， ()，n? ?n1? ?nn1? ?3 n1?3 n2? ?3 3 n13 n21n1n等等 n1n19 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 考点一考点一 考点二考点二 3错位相减法错位相减法 适用条件，若

20、数列适用条件，若数列an是等差数列是等差数列(公差为公差为d，且，且d0)，数列，数列bn是等比数列是等比数列(公公比为比为q，且，且q1)，则求等差乘等比型数列，则求等差乘等比型数列anbn的前的前n项和项和Sn时，可利用错位相减时，可利用错位相减法法 错位相减，先写出错位相减，先写出Sn的基本表达式的基本表达式Sna1b1a2b2a3b3anbn；然后两边；然后两边同乘以公比同乘以公比q得得Snqa1b2a2b3a3b4an1bnanbn1；再由以上两式作差；再由以上两式作差得得Sn(1q)a1b1d(b2b3bn)anbn1，进一步化简即可求得，进一步化简即可求得Sn. 4并项求和法并项

21、求和法 将一个数列分成若干段，然后各段分别利用等差将一个数列分成若干段，然后各段分别利用等差(比比)数列的前数列的前n项和的公式及错项和的公式及错位相减法等进行求和利用并项求和法求解问题的常见类型：一是数列的通项公位相减法等进行求和利用并项求和法求解问题的常见类型：一是数列的通项公式中含有绝对值符号；二是数列的通项公式中含有符号因子式中含有绝对值符号；二是数列的通项公式中含有符号因子“(1)n” 20 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 考点一考点一 考点二考点二 1用裂项相消法求和时漏项或

22、添项用裂项相消法求和时漏项或添项 典例典例 1 (2018山东师大附中模拟山东师大附中模拟)已知数列已知数列an是等比数列，是等比数列， 首项首项a11， 公比公比q0，1其前其前n项和为项和为Sn，且，且S1a1，S3a3，S2a2成等差数列，成等差数列，bn2logan1. 2 (1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式； 1(2)求数列求数列的前的前n项和项和Tn. bnbn121 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 考点一考点一 考点二考点二 解析解析 (1)由题意知由题意知2(

23、S3a3)S1a1S2a2， 所以所以2( a1a2a3)2 a3a1a1(a1a2)a2， 所以所以a4 a4 a q2，解得，解得q1. 13121n11n1所以所以an1(2)(2). (2) bn 12 n1， 11111所以所以2()，(注意系数的调整注意系数的调整) bnbn1? ?2 n1?2 n1? ?2 n12 n1111111111所以数列所以数列的前的前n项和为项和为Tn2(1335)2(1bnbn12 n12 n11n). 2 n12 n122 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下

24、页 末页末页 考点一考点一 考点二考点二 易错防范易错防范 应用裂项相消法求和时，将通项裂项后需要调整前面的系数，使得裂开应用裂项相消法求和时，将通项裂项后需要调整前面的系数，使得裂开的两项之差与裂项之前的通项恒等，同时注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后的两项之差与裂项之前的通项恒等，同时注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项一项 23 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 考点一考点一 考点二考点二 2用错位相减法求和处理不当致误用错位相减法求和处理不当致误 典例典例 2 已知函数已知函

25、数f(x)4x， 在数列在数列an中，中，2 an12 anan1an0，a11， 且且an0，数列数列bn中，中，b12，bnf()(n2，nN ) an1 1(1)证明：数列证明：数列是等差数列，并求数列是等差数列，并求数列an的通项公式；的通项公式； anbn(2)求数列求数列的前的前n项和项和Sn. an1*24 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 考点一考点一 考点二考点二 解析解析 (1)由由an0,2an12 anan1an0， 111得得 ， an1an2111所以数列所以数

26、列是首项为是首项为1，公差为，公差为 的等差数列，的等差数列， ana12n1112所以所以1 (n1)，an. an22n125 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 考点一考点一 考点二考点二 nn(2)当当n2时，时，bnf()f( )2， 2an1当当n1时，时，b12也符合上式，也符合上式， bnn1所以所以bn2(nN )，(n1)2， ann*1Sn220321422(n1)2n1， 2 Sn221322423n2n1(n1)2n， (注意将两式注意将两式“ 错项对齐错项对齐”

27、，以便写出，以便写出SnqSn的表达式的表达式) 由得由得Sn221222n1(n1)2n22n2(n1)2n n2n， 故故Snn2n. 26 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 考点一考点一 考点二考点二 易错防范易错防范 (1)两式相减时，用两式的公比的两式相减时，用两式的公比的“ 同次同次” 项，相减而错位项，相减而错位(不是不是“ 同位同位” 项项 相减相减)，相减也只是，相减也只是“ 等差部分等差部分” 相减相减 (2)相减后所得结果最后一项一般为相减后所得结果最后一项一般为“

28、” (3)相减后，所得表达式一般从第相减后，所得表达式一般从第2项开始直到项开始直到“ 倒数第二项倒数第二项” 成等比数列成等比数列 27 精准考点突破精准考点突破 易错防范突破易错防范突破 真题押题精练真题押题精练 增分强化练增分强化练 首页首页 上页上页 下页下页 末页末页 考点一考点一 考点二考点二 3 忽视项数忽视项数n的奇偶性讨论的奇偶性讨论 典例典例 3 直线直线ln：yx2 n与圆与圆Cn：x2y22 ann交于不同的两点交于不同的两点An，Bn，n12N .数列数列an满足：满足：a11，an1 |AnBn| . 4* (1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式； (2)若若? ? ?2 n1? ?n为