初中圆题型总结

1、圆的基此题型纵观近几年全国各地中考题， 圆的有关概念以及性质等一般以填空题，挑选题的形式考查并占有肯定的分值；一般在10 分 15 分左右，圆的有关性质，如垂径定理， 圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以运算证明的形式考查；利用圆的学问与其他学问点如代数函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有特别重要的位置， 另外与圆有关的实际应用题，阅读懂得题， 探究存在性问题仍是热门考题，应引起留意. 下面究近年来圆 的有关热点题型，举例解析如下；一、圆的性质及重要定理的考查基础 学问链接：（ 1）垂径定理；（ 2）同圆或等圆中的圆心角、弦、弧之间的关系.3圆周角定理及推论（4）圆内接四边形性

2、质【例 1】（江苏镇江）如图， ab 为 o直径， cd 为弦，且 cdab ，垂足为 h （1）ocd 的平分线 ce 交 o于 e ，连结 oe 求证： e 为弧 adb的中点；（2）假如 o的半径为 1， cd3 ，求 o 到弦 ac 的距离；填空：此时圆周上存在个点到直线 ac 的距离为 1 2c【解析】（1）q ocoe ，eoce又ocedce ，edce aohboe cd ed又cdab ，aoeboe90o e 为弧 adb的中点（2）q cdab ， ab 为 o的直径， cd3 ，ch1 cd3 又 oc1 ，sin3cobch23 22oc12cob60o ，bac30

3、o 作opac 于 p ，就 op1 oa1 223.【点评】此题综合考查了利用垂径定理和勾股定理及锐角三角函数求解问题的才能. 运用垂径定理时，需添加帮助线构造与定理相关的“基本图形”.几何上把圆心到弦的距离叫做弦心距, 此题的弦心距就是指线段od的长. 在圆中解有关弦心距半径有关问题时, 经常添加的帮助线是连半径或作出弦心距, 把垂径定理和勾股定理结合起来解题. 如图, o的半径为 r , 弦心距为 d , 弦长 a 之间的关系为 r 2d 22a. 依据此公式 , 在 a 、r 、d 三个量中 , 知道任何两个量就可2以求出第三个量 . 平常在解题过程中要善于发觉并运用这个基本图形.【例

4、 2】 （安徽芜湖）如图，已知点e 是圆 o上的点，b、c分别是劣弧 ad 的三等分点，boc46o ，就aed 的度数为【解析】由 b、c 分别是劣弧 ad 的三等分点知，圆心角aob=boc=cod,又boc46o ，所以 aod=13o8.依据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；从而有aed 69o.点评此题依据同圆或等圆中的圆心角、圆周角的关系；【强化练习】【1】. 如图， o是 abc的外接圆， 且 ad， ce交于点 h，求证： ah=aobac60 ，ad，ce分别是 bc，ab上的高，1(1) 如图，在 o中，弦 acbd， oeab，垂足为e，求证： oe= cd21(2) 如

5、图， ac， bd是 o的两条弦，且acbd， o的半径为，求2ab2cd2 的值；【2】（第 25 题）如图， o 是 abc 的外接圆， 弦 bd 交 ac 于点 e，连接 cd ，且 ae=de ，bc=ce （1）求 acb 的度数；（2）过点 o 作 of ac 于点 f，延长 fo 交 be 于点 g， de=3 ， eg=2，求 ab 的长二、直线与圆的位置关系基础学问链接：1、直线与圆的位置关系有三种:假如一条直线与一个圆没有公共点, 那么就说这条直线与这个圆相离.假如一条直线与一个圆只有一个公共点, 那么就说这条直线与这个圆相切, 此时这条直线叫做圆的 切线, 这个公共点叫做

6、切点 .假如一条直线与一个圆有两个公共点, 那么就说这条直线与这个圆相交, 此时这条直线叫做圆的 割线, 这两个公共点叫做交点 .2、直线与圆的位置关系的判定；3、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；4. 和圆有关的比例线段（ 1）相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；（ 2）推论假如弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项；（ 3）切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（ 4）推论从圆外一点引圆的两条割线， 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等；5. 三角形的内切圆（ 1）有关概念

7、：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形；6、圆的切线的性质与判定；【例 1】（甘肃兰州）如图，四边形 abcd 内接于 o，bd 是 o的直径，aecd ，垂足为 e ， da 平分bde ae（1）求证： ae 是 o的切线；d（2）如dbc30o， de1cm ，求 bd 的长obc【解析】（1）证明：连接 oa， q da 平分bde ，bdaeda q oaod，oa ce odaoad oadeda q aede ，aed90o，oaedea90o aeoa ae 是 o的切线ae（2）q bd是直径，bcdbad90o doqdbc30o，b

8、dc60o ，bde120o bcq da 平分bde ，bdaeda60o abdead30o 在rt aed 中，aed90o，ead30o， ad2 de 在 rt abd 中，bad90o，abd30o， bd2 ad4 de q de 的长是 1cm，bd 的长是 4cm【点评】证明圆的切线，过切点的这条半径为必作帮助线. 即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例 2】（广东茂名）如图， o是 abc的外接圆，且 ab=ac，点 d 在弧 bc上运动，过点 d作 debc， de交 ab的延长线于点 e，连结 ad、bda（ 1）求证： adb= e；（2）当点 d 运

9、动到什么位置时， de是 o的切线？请说明理由boc（3）当 ab=5， bc=6 时，求 o的半径（4 分）ed【解析】（1）在 abc中， ab=ac， abc= cadebc， abc= e， e= cboc又 adb= c，e adb= ed（2）当点 d 是弧 bc的中点时， de是 o的切线理由是：当点 d 是弧 bc的中点时，就有adbc，且 ad过圆心 o又 debc， adeda de是 o的切线（3）连结 bo、ao，并延长 ao交 bc于点 f，bo1fc就 afbc，且 bf=2bc=3又 ab=5， af=4设 o的半径为 r ，在 rtobf中， of=4 r ，o

10、b= r ， bf=3，r 2 3 2 （ 4 r ） 2解得 r 25 ， o的半径是825 8【点评】此题综合运用了等腰三角形的性质，圆的切线判定，解题最关键是抓住题中所给的已知条件，构造直角三角形，探究出不同的结论.【例 4】 已知：如图 7，点 p 是半圆 o的直径 ba延长线上的点， pc切半圆于 c点， cd ab于 d点，如 pa： pc1：2，db4，求 tan pca及 pc的长；图 7证明：连结 cbpc切半圆 o于 c点， pca b p p， pac pcbac：bcpa： pcab是半圆 o的直径， acb90°又 cd ababaddb 5【例 5】 已知

11、：如图 8，在 rt abc中， b 90°， a 的平分线交 bc于点 d， e 为 ab上的一点， de dc，以 d为圆心， db长为半径作 d；求证：（ 1）ac是 d 的切线；（2）ab ebac分析：（ 1）欲证 ac与 d相切，只要证圆心d 到 ac的距离等于 d的半径 bd；因此要作 dfac于 f（ 2）只要证 acaf fcabeb，证明的关键是证befc，这又转化为证 ebd cfd；证明：（ 1）如图 8，过 d作 df ac，f 为垂足ad是 bac的平分线， db ab， dbdf点 d 到 ac的距离等于圆 d 的半径ac是 d 的切线（2） ab bd

12、， d的半径等于 bd，ab是 d 的切线， abaf在 rt bed和 rt fcd中， edcd，bdfd bed fcd， befcabbeaf fcac小结：有关心线的判定，主要有两个类型，如要判定的直线与已知圆有公共点，可采纳“连半径证垂直”的方法；如要判定的直线与已知圆的公共点没有给出，可采纳“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法；此例题属于后一类【例 6】 已知：如图 9， ab为 o的弦， p 为 ba延长线上一点， pe与 o相切于点 e，c 为中点，连 ce交 ab于点 f；求证：分析：由已知可得pe2 pa· pb，因此要证 pf2 pa·pb，只要

13、证 pepf；即证 pfe pef；证明一：如图 9，作直径 cd，交 ab于点 g，连结 ed， ced90°点 c 为的中点， cdab， cfg dpe为 o切线， e 为切点 pef d， pef cfg cfg pfe， pfe pef， pepfpe2 pa·pb， pf2pa·pb证明二：如图 9 1，连结 ac、ae图 9 1点 c 是的中点， cab aecpe切 o于点 e， pea c pfe cab c， pef pea aec pfe pef， pepfpe2 pa·pb， pf2pa·pb【例 7】 （1）如图 10

14、，已知直线 ab过圆心 o，交 o于 a、b，直线 af 交 o 于 f（不与 b 重合），直线 l 交 o于 c、d，交 ba延长线于 e，且与 af 垂直， 垂足为 g，连结 ac、ad图 10图 101求证： bad cag；ac·adae· af（ 2）在问题（ 1）中，当直线 l 向上平行移动，与 o相切时，其它条件不变；请你在图 101 中画出变化后的图形，并对比图10 标记字母；问题（ 1）中的两个结论是否成立？假如成立，请给出证明；假如不成立，请说明理由；证明：（ 1）连结 bdab是 o的直径， adb90° agc adb90° 又

15、acdb是 o内接四边形 acg b， bad cag连结 cf bad cag， eag fab dae fac又 adc f， ade afc， ac· adae·af（2）见图 10 1两个结论都成立，证明如下：连结 bc，ab是直径， acb 90° acb agc90°gc切 o于 c， gca abc bac cag（即 bad cag）连结 cf cag bac， gcf gac， gcf cae， acf acg gfc， e acg cae acf e， acf aec，ac2 ae·af（即 ac·adae

16、3; af）说明：此题通过变化图形的位置，考查了同学动手画图的才能，并通过探究式的提问加强了对同学证明题的考查，这是当前热点的考题，期望引起大家的关注；【强化练习】【1】（第 22 题）如图， o 的直径 ab 为 10cm，弦 bc 为 5cm，d 、e 分别是 acb 的平分线与 o， ab 的交点， p 为 ab 延长线上一点，且pc=pe（1）求 ac、ad 的长；（ 2）试判定直线pc 与 o 的位置关系，并说明理由【2】（第 23 题）如图，在abc 中， c=90°， abc 的平分线交ac 于点 e，过点 e 作be 的垂线交ab 于点 f ， o 是 bef 的外接

17、圆（1）求证： ac 是 o 的切线（2）过点 e 作 eh ab 于点 h，求证： cd =hf 【3】（第 25 题）如图，在 o 中， ab ，cd 是直径， be 是切线， b 为切点，连接ad ，bc，bd （1）求证： abd cdb ；（2）如 dbe=37 °，求 adc 的度数【4】（第 24 题）如图， ab 为 o 的直径， pd 切 o 于点 c，交 ab 的延长线于点d ，且d=2 cad （1）求 d 的度数；（2）如 cd=2，求 bd 的长【5】（第 27 题）如图， rt abc 中， abc =90°，以 ab 为直径作半圆o 交 ac

18、与点 d，点 e 为 bc 的中点，连接de （1）求证： de 是半圆 o 的切线（ 2）如 bac=30°， de=2 ，求 ad 的长三、圆与圆的位置关系的考查基础学问链接：假如两个圆没有公共点 , 那么就说这两个圆相离, 如图1 、2 、(3) 所示其中 1 又叫做外离 ,2、3 又叫做内含 3 中两圆的圆心相同 , 这两个圆仍可以叫做同心圆假如两个圆只有一个公共点 , 那么就说这两个圆相切 , 如图4 、5 所示其中4 又叫做外切 ,5 又叫做内切假如两个圆只有两个公共点 , 那么就说这两个圆相交, 如图6 所示【 例 1】（甘肃兰州）如图是北京奥运会自行车竞赛项目标志，就

19、图中两轮所在圆的位置关系是（）a内含b相交c相切d外离【解析】图中的两圆没有公共点，且一个圆上的全部点都在另一个圆的外部，故两圆外离，选d.【点评】圆与圆的位置关系有五种 : 外离、外切、相交、内切、内含其关系可以用圆与圆公共点的个数及点与圆的位置关系来判定 , 也可以用数量关系来表示圆与圆的位置关系：假如设两圆的半径为r1 、r2 , 两圆的圆心距为d, 就圆与圆的位置关系与数量关系如下表【例 2】（赤峰市）如图（ 1），两半径为 r 的等圆 o1 和 o2 相交于 m ， n两点，且 o2 过点o1 过 m 点作直线 ab 垂直于 mn ，分别交 o1 和 o2 于 a，b 两点，连结 n

20、a，nb （1）猜想点o2 与 o1 有什么位 置关系，并给出证明；（2）猜想 nab 的外形，并给出证明；（3）如图（ 2），如过 m 的点所在的直线 ab 不垂直于 mn ，且点 a，b 在点 m 的两侧，那么（ 2）中的结论是否成立，如成立请给出证明nno1o2ambo1o2bam图（ 1）【解析】解：（1） o2 在 e o1 上图（ 2）no1o2证明： o2 过点 o1 ，o1o2r 又 o1 的半径也是 r ，点o2 在o1 上amb图（ 1）（2） nab 是等边三角形证明： q mnab ，nmbnma90o bn 是 o2 的直径， an 是 o1 的直径，n即 bnan2

21、r ， o2 在 bn 上， o1 在 an 上o1o2连结 o1o2 ，就 o1o2 是 nab 的中位线bam图（ 2）ab2o1o22r abbnan ，就 nab 是等边三角形（3）仍旧成立证明：由（ 2）得在 o1 中弧 mn所对的 圆周角为 60o 在 o2 中弧 mn所对的圆周角为 60o 当点 a，b 在点 m 的两侧时，在 o1 中弧 mn所对的圆周角man60o ，在 o2 中弧mn所对的圆周角mbn60o ， nab 是等边三角形注：（2），（ 3）是中同学猜想为等腰三角形证明正确给一半分【点评】相交两圆的连心线垂直平分公共弦，又且o2 过点 o1 ，构建对称性知， o1

22、 过 o2，再证 nab是等腰 三角形；（2）1 是的基础上发散探究，具有肯定的开放性四、圆与多边形的运算考查基础学问链接：1、圆与正多边形的关系的运算；2、弧长、扇形面积、圆锥侧面积全面积的运算.【例 1】（赣州）小芳随机地向如下列图的圆形簸箕内撒了几把豆子，就豆子落到圆内接正方形（阴影部分）区域的概率是【解析】设圆的半径为1，就圆的面积为，易算得正方形的边长为2 ，正方形面积为 2，就豆子落到圆内接正方形（阴影部分）区域的概率是2 .【点评】此题考查的是几何概率， 解题的关键是圆与圆内接正方形的面积，依据古典概型，可转化为面积之比.【例 2】两同心圆，大圆半径为，小圆半径为，就阴影部分面积

23、为【解析】依据大、小圆的半径，可求得圆环的面积为8，图中的阴影面积为圆环面积的一半 4.【点评】有关面积运算问题， 不难发觉， 一些不规章的图形可转化为规章的图形运算，此题就较好的表达了转化方法和整体思想.五、圆的综合性问题的考查基础学问链接：圆的有关学问与三角函数、一次函数、二次函数等综合应用；【例 1】如图，在平面直角坐标系中，圆m经过原点 o，且与 x 轴、 y 轴分别相交于 a8，0 、b0， 6两点（1）求出直线 ab的函数解析式；（ 2）如有一抛物线的对称轴平行于y 轴且经过点 m，顶点 c 在 m上，开口向下，且经过点 b，求此抛物线的函数解析式；（ 3）设（ 2）中的抛物线交

24、x 轴于 d、e 两点，在抛物线上是否存在点p，使得s pde1s abc10？如存在，恳求出点p的坐标；如不存在，请说明理由【解析】（1）设 ab的函数表达式为ykxb. a8,0 , b 0,6 , 08k6b.3b, k4 ,b6.直线 ab的函数表达式为 y3 x6 4（ 2）设抛物线的对称轴与m 相交于一点，依题意知这一点就是抛物线的顶点c；又 设 对 称 轴 与 x轴 相 交 于 点n ， 在 直 角 三 角 形aob 中 ，abao 2ob 2826210.由于m经过 o、a、b 三点，且aob90 ,ab为 m的直径，半径ma=5，n为 ao的中点 an=no=，4mn=3 c

25、n=m-cmn=5-3=2，c点的坐标为（ -4 ，2）设所求的抛物线为yax2bxc2a2就216a4bc,b4,b4,a1 ,6c.c6.所求抛物线为y1 x224x6（ 3）令de=41 x 224x6.0，得 d、e 两点的坐标为d（ -6 ，0）、e（-2 ，0），所以又 ac=25, bc45,直角三角形的面积s abc1 . 225 . 4520.假设抛物线上存在p x, y使得spde1s abc10，即 1 . de . y21 . 20,y110当 y1时， x42 ;当y1时， x46 .故满意条件的存在它们是p142,1 , p242,1 , p346,1 , p446

26、,1【点评】此题是一次函数、二次函数与圆的综合性问题，解题的关键是抓住图形中的点的坐标，运用待定系数数的方法求出解析式；【例 2】（第 27 题）如图，在o 的内接 abc中， acb=9°0 ， ac=2bc，过 c作 ab的垂线 l交o于另一点 d，垂足为 e设 p 是上异于 a，c 的一个动点，射线 ap交 l于点 f，连接 pc与 pd，pd交 ab于点 g（ 1）求证： pac pdf；（ 2）如 ab=5，=，求 pd的长；（ 3）在点 p 运动过程中，设=x，tan afd=y，求 y 与 x 之间的函数关系式 （不要求写出 x 的取值范畴）圆的综合题（ 1）证明相像，

27、思路很常规，就是两个角相等或边长成比例由于题中因圆周角易知一对相等的角，那么另一对角相等就是我们需要努力的方向， 由于涉及圆，倾向于找接近圆的角dpf，利用补角在圆内作等量代换，等弧对等角等学问易得 dpf=apc，就结论易证（ 2）求 pd的长，且此线段在上问已证相像的pdf中，很明显用相像得成比例，再将其他边代入是应有的思路利用已知条件易得其他边长，就pd可求（ 3）由于题目涉及 afd与也在第一问所得相像的pdf中，进而考虑转化， afd=pca，连接 pb得 afd=pca=pbg，过 g点作 ab的垂线，如此线过 pb与 ac的交点那么结论易求，由于依据三角函数或三角形与三角形 ab

28、c相像可用 ag表示 pbg所对的这条高线但是“此线是否过pb 与 ac的交点”？此时第一需要做的是多画几个动点p，观看我们的猜想验证得我们的猜想应是正确的，可是证明不能靠画图， 如何求证此线过pb与 ac的交点是我们解题的关键常规作法不易得此结论，我们可以换另外的帮助线作法，先做垂线，得交点h，然后连接交点与b，再证明hbg= pca=afd由于 c、d关于 ab对称，可以延长cg考虑 p 点的对称点依据等弧对等角，可得hbg=（ 1）证明：，pca，进而得解题思路 dpf=180° apd=18°0 所对的圆周角 =180°所对的圆周角=所对的圆周角 =apc

29、在 pac和 pdf中， pac pdf（ 2）解：如图 1，连接 po，就由，有 poab，且 pab=45°，apo、aef都为等腰直角三角形在 rtabc中，ac=2b，c2222ab=bc+ac=5bc，ab=5，bc=，ac=2，ce=ac.sinbac=ac. =2.=2，ae=ac.cos bac=ac. =2.=4， aef为等腰直角三角形，ef=ae=，4fd=fc+cd（=efce）+2ce=ef+ce=4+2=6 apo为等腰直角三角形， ao=.ab，=ap= pdf pac，pd=（ 3）解：如图 2，过点 g作 ghab，交 ac于 h，连接 hb，以 h

30、b为直径作圆，连接 cg并延长交o 于 q，hccb，ghgb，c、g都在以 hb为直径的圆上， hbg= acq，c、d关于 ab对称， g在 ab上，q、p 关于 ab对称， pca=acq， hbg= pca pac pdf， pca=pfd=afd，y=tan afd=tanpca=tanhbg=hg=tanhag.ag=tan bac.ag=，y=x此题考查了圆周角、相像三角形、三角函数等性质，前两问思路仍算简洁， 但最终一问需要娴熟的解题技巧需要长期的磨练总结总体来讲此题偏难，同学练习时加强懂得，重点懂得分析过程，自己如何找到思路【例 3】（第 24 题）如图，已知：在矩形abcd

31、的边 ad上有一点 o，oa=， 以 o为圆心，oa长为半径作圆，交 ad于 m，恰好与 bd相切于 h，过 h作弦 hpab，弦 hp=3如点 e 是 cd边上一动点（点e 与 c，d不重合），过 e 作直线 efbd交 bc于 f，再把 cef沿着动直线 ef 对折，点 c的对应点为 g设 ce=x， efg 与矩形 abcd重叠部分的面积为s（ 1）求证：四边形abhp是菱形；（ 2）问 efg的直角顶点 g能落在o 上吗？如能，求出此时x 的值；如不能，请说明理由；（ 3）求 s 与 x 之间的函数关系式，并直接写出fg与o相切时， s 的值第 3 题图考点：圆的综合题；含 30 度角

32、的直角三角形；菱形的判定；矩形的性质；垂径定理；切线的性质；切线长定理；轴对称的性质；特别角的三角函数值全部专题：压轴题分析：（1）连接 oh，可以求出 hod=6°0 ， hdo=3°0 ，从而可以求出 ab=3，由 hpab， hp=3可证到四边形 abhp是平行四边形，再依据切线长定理可得ba=bh，即可证到四边形abhp是菱形（ 2）当点 g落到 ad上时，可以证到点g与点 m重合，可求出 x=2（ 3）当 0x 2 时，如图， s=segf，只需求出 fg，就可得到 s 与 x 之间的函数关系式；当 2x3时，如图， s=sgefssgr，只需求出 sg、rg，就

33、可得到s 与 x 之间的函数关系式当fg与o相切时，如图，易得fk=ab=，3 ak=2 2+x再由 fk=kq即可求出 x，从而求出 s解答：解：（1）证明：连接 oh，如图所示四边形 abcd是矩形，kq=aq adc=bad=9°0hpab， bc=ad，ab=cd anh+bad=18°0 anh=9°0 hn=pn=hp=oh=oa= ，sin hon= hon=6°0bd与o相切于点 h，ohbd hdo=3°0 od=2ad=3bc=3 bad=9°0 ， bda=3°0 tan bda=ab=3hp=3，ab

34、=hpabhp，四边形 abhp是平行四边形 bad=9°0 ， am是o的直径，ba与o相切于点 abd与o相切于点 h，ba=bh平行四边形 abhp是菱形（ 2）efg的直角顶点 g能落在o 上 如图所示，点g落到 ad上efbd， fec=cdb cdb=9°0 30°=60°， cef=60°由折叠可得： gef=cef=60° ged=6°0 ce=x，ge=ce=xed=dcce=3xcosged=x=2ge=2， ed=1gd=og=ad aogd=3=og=om点 g与点 m重合此时 efg的直角顶点 g落

35、在o上，对应的 x 的值为 2当 efg的直角顶点 g落在o上时，对应的 x 的值为 2（ 3）如图，在 rtegf中，tan feg=fg=xs=ge.fg=x. x=x2如图，ed=3x，re=2ed=6 2x，gr=ge er=x（ 62x） =3x6tan srg=，sg=（ x2）ssgr=sg.rg=. （x2）.（ 3x 6）=（ x 2） 2gefs=x2，s=sgef ssgr22=x （ x 2） 2=x +6x 622综上所述：当 0x2时， s=x ；当 2x3时， s=x +6x 6当 fg与o相切于点 t 时，延长 fg交 ad于点 q，过点 f 作 fkad，垂足

36、为 k， 如图所示四边形 abcd是矩形，bcad， abc=bad=9°0 aqf=cfg=6°0 ot=，oq=2aq=+2 fka=abc=bad=9°0 ，四边形 abfk是矩形fk=ab=，3 ak=bf=3xkq=aq ak=（+2）（ 3x） =22+x在 rtfkq中， tan fqk=fk=qk3=（22+x）解得： x=3032，22s=x =×（ 3）=6fg与o相切时， s 的值为6点评：此题考查了矩形的性质、菱形的性质、切线的性质、切线长定理、垂径 定理、轴对称性质、特别角的三角函数值、 30°角所对的直角边等于斜边的

37、一半、等腰三角形的性质等学问，综合性特别强【例 4】（第 23 题）如图 1，在o中，e 是弧 ab的中点， c 为o上的一动点 （c与 e 在 ab异侧），连接 ec交 ab于点 f， eb=（ r 是o的半径）（ 1） d为 ab延长线上一点，如dc=d，f（ 2）求 ef.ec的值；证明：直线 dc与o相切；（ 3）如图 2，当 f 是 ab的四等分点时，求ec的值圆的综合题 .（ 1）连结 oc、oe，oe交 ab于 h，如图 1，由 e是弧 ab的中点，依据垂径定理的推论得到 oeab，就 hef+hfe=90°，由对顶相等得 hfe=cfd，就 hef+cfd=9

38、6;0，再由 dc=df得 cfd=dcf，加上 oce=oec，所以 oce+o相切；dce=hef+cfd=9°0，于是依据切线的判定定理得直线dc与（ 2）由弧 ae=弧 be，依据圆周角定理得到 abe=bce，加上 feb=bec，于是可判定 ebf ecb，利用相像比得到ef.ec=b2e=（r ）2=r 2；（ 3）如图 2，连结 oa，由弧 ae=弧 be得 ae=be=，r设 oh=x，就 he=rx，依据勾股定理，在rtoah中有 ah2 +x2=r 2；在 rteah中由 ah2+（r x）222222=（ r ） ，利用等式的性质得x （r x） =r （ r

39、 ） ，即得 x=r ，就 he=r r=r ，在 rtoah中，依据勾股定理运算出ah=，由 oeab得 ah=bh，而 f 是 ab的四等分点，所以hf=ah=，于是在 rtefh中可运算出 ef=r ，然后利用（ 2）中的结论可运算出ec（ 1）证明：连结 oc、oe， oe交 ab于 h，如图 1，e是弧 ab的中点，oeab， ehf=90°， hef+hfe=90°，而 hfe=cfd， hef+cfd=9°0 ，dc=d，f cfd=dcf，而 oc=o，e oce= oce+oec， dce=hef+cfd=9°0 ，occd，直线 dc

40、与o相切；（ 2）解：连结 bc，e是弧 ab的中点，弧 ae=弧 be， abe=bce，而 feb=bec， ebf ecb，ef： be=be：ec，ef.ec=b2e=（r ）2=r 2；（ 3）解：如图 2，连结 oa，弧 ae=弧 be，ae=be=，r设 oh=x，就 he=rx，在 rtoah中， ah2+oh2=oa2，即 ah2+x2=r 2，22在 rteah中， ah2+eh2=ea2，即 ah2+（r x）2 =（ r ）2，22x（ r x） =rhe=r r=r ，（ r ），即得 x=r ，在 rtoah中， ah=，oeab，ah=bh，而 f 是 ab的四等分点，hf=ah=，在 rtefh中， ef=r ，2ef.ec=r，r.ec=r2，ec=r 此题考查了圆的综合题：娴熟把握垂径定理及其推论、切线的判定定理和圆周角定理；会利用勾股定理进行几何运算，利用相像三角形的学问解决有关线段等积的问题【例 5】（第 26 题 12 分）如图， o1与 o2外切与点 d，直线 l 与两圆分别相切于点 a、b，与直线 o1o2相交于点 m，且 tan am01= ，md=4 （ 1）求 o2的半径；（ 2）求 adb内切圆的面积；（ 3