初中圆的定理和公式汇总

1、优秀教案欢迎下载中学圆的定理和公式汇总1 不在同始终线上的三点确定一个圆； 圆：由定点到定长点的集合叫做圆；符号0ab 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；弦：经过圆心的弦叫直径 半径不同，圆心相同的两个圆叫做同心圆同圆、等圆或半径相同的叫做等圆两个完全重合的弧叫等弧 经过平面上一点可画很多个圆；经平面上二点可画很多个圆； 在三角形外画一个圆的圆心叫做此三角形的外心，此圆为三角形的外接圆； 外心：三角形三条中垂线的交点； 三角形三个顶点在圆上，这个三角形叫圆的内接三角形；2 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧推论 1平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

2、弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论 2圆的两条平行弦所夹的弧相等3 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形优秀教案欢迎下载4 圆是定点的距离等于定长的点的集合5 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合6 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合7 同圆或等圆的半径相等8 到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆9 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等10 推论 在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么

3、它们所对应的其余各组量都相等11 定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角12 直线 l 和 o 相交 d r 直线 l 和 o 相切 d=r 直线 l 和 o 相离 dr13 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线14 切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径15 推论 1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点16 推论 2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心17 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线 平分两条切线的夹角优秀教案欢迎下载18 圆的外切四边形的两组对边的和相等19 弦切角定理弦切角等于它所夹的

4、弧对的圆周角20 推论 假如两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等30 相交弦定理圆内的两条相交弦， 被交点分成的两条线段长的积相等31 推论 假如弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项32 切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项33 推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等34 假如两个圆相切，那么切点肯定在连心线上35 两圆外离dr+r 两圆外切d=r+r 两圆相交r-rd r+rr r 两圆内切d=r-rr r 两圆内含 dr-rr r36 定理 相交两圆的连心线垂直平

5、分两圆的公共弦37 定理 把圆分成 nn 3: 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形 经过各分点作圆的切线， 以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形38 定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆优秀教案欢迎下载39 正 n 边形的每个内角都等于（n-2）×180°n40 定理 正 n 边形的半径和边心距把正n 边形分成 2n 个全等的直角三角形41 正 n 边形的面积 sn=pnrn 2 p 表示正 n 边形的周长42 正三角形面积 3a 4 a 表示边长43 假如在一个顶点四周有k 个正 n 边形的角，由于这些角的和应

6、为360°，因此 k×n-2180° n=360°化为（ n-2 ）k-2=444 弧长运算公式： l=n 兀 r 18045 扇形面积公式： s 扇形=n 兀 r2 360=lr 246 内公切线长 = d-r-r外公切线长 = d-r+r47 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半48 推论 1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等49 推论 2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径优秀教案欢迎下载切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段1.切线长概

7、念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长 ”是切线上一条线段的长，具有数量的特点，而“切线 ”是一条直线，它不行以度量长度；2.切线长定理如图 1对于切线长定理，应明确（1）如已知圆的两条切线相交，就切线长相等；（ 2）如已知两条切线平行，就圆上两个切点的连线为直径；（ 3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（ 4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补； （ 5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角；3.弦切角（如图2）：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角；图 1图 2直线

8、 ab 切 o于 p，pc、pd 为弦，图中几个弦切角呢？（四个）apc,apd,bpd,bpc4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角；即如上图中apc=cdp 等证明：如图2，连接 cd 、oc 、op，由于cpo=pco,所以cop=180 -2cpo 而cpo=90 -apc, 故cop=2apc,即cdp=apc ；5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角；6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角， “线”切线的性质定理及切线长定理；7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法 o 中，ab 、cd相交为弦，交弦定于 p.pa·pb pc·p

9、d理连结 ac 、bd ，c=b,a=d,所以 apc dpb o 中，相交ab 为直弦定径，理的cd ab推论于 p.pc2pa·pb用相交弦定理. o 中，pt 切 o切割于 t ，割线定pt2 pa·pb连结 ta 、tb ，就 pta= b（弦切角等于同弧圆周角）所以 pta pbt ，所以2线 pb 交理 o 于 apt pa·pb优秀教案欢迎下载pb、 pd为 o 的切割两条割线定线，交理推 o 于论a 、cpa·pb pc·pd过 p 作 pt 切 o 于 t ，用两次切割线定理 o 中， 割 线 pb 交 o 于圆幂a ，cd

10、为定理弦22op'p'c ·p'd rpa·pb op2 r2r 为 o 的半径延长 p'o 交 o 于 m ，延长 op' 交 o 于 n，用相交弦定理证； 过 p 作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理： 过肯定点p 向 o 作任始终线，交o 于两点，就自定点p 到两交点的两条线段之积为常数 |（r 为圆半径），由于叫做点对于 o 的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理；例1.如图 1，正方形 abcd的边长为 1，以 bc 为直径；在正方形内作半圆o，过 a 作半圆切线，切点为f，交 cd 于 e，求 de ： ae 的值；图 1

11、例2. o 中的两条弦ab 与 cd 相交于 e，如 ae 6cm， be 2cm， cd 7cm，求 ce；例3.已知 pa 是圆的切线， pcb 是圆的割线，就ab 2: ac 2图2pb : ；优秀教案欢迎下载例4.如图 3，p 是 o 外一点， pc 切 o 于点 c，pab 是 o 的割线，交 o 于 a 、b 两点， 假如 pa：pb 1：4，pc 12cm， o 的半径为 10cm，就圆心 o 到 ab 的距离是 cm ；图 3例5.如图 4，ab 为 o 的直径，过b 点作 o 的切线 bc， oc 交 o 于点 e， ae 的延长线交 bc 于点 d，求证：（ 1） ce 2

12、cdcb ；（ 2）如 ab bc 2厘米，求ce、cd 的长；图4例6.如图 5，ab 为 o 的直径，弦cd ab ，ae 切 o 于 a ，交 cd 的延长线于e；求证：bc 2abde图5例7.如图 6，pa、pc 切 o 于 a 、c， pdb 为割线；求证：ad·bc cd·ab图 6优秀教案欢迎下载例8.如图 7，在直角三角形abc 中， a 90°，以 ab 边为直径作o，交斜边 bc 于点 d ，过 d 点作 o 的切线交ac 于 e；求证： bc 2oe；图 7例9.如图 8，在正方形abcd中， ab 1， ac 是以点 b 为圆心， ab

13、长为半径的圆的一段弧；点 e 是边 ad 上的任意一点（点e 与点 a 、d 不重合），过 e 作 ac 所在圆的切线，交边 dc 于点 f， g 为切点；当 def 45°时，求证 :点 g 为线段 ef 的中点；图8优秀教案欢迎下载一、挑选题【模拟试题】 （答题时间： 40分钟）1.已知：pa、pb 切 o 于点 a 、b ，连结 ab ，如 ab 8，弦 ab 的弦心距 3，就 pa（）a.20/3b.25/3c. 5d. 82.以下图形肯定有内切圆的是（）a. 平行四边形c.菱形b.矩形d. 梯形3.已知：如图 1直线 mn 与 o 相切于 c，ab为直径， cab 40&#

14、176;，就 mca的度数（）图1a. 50 °b. 40 °c. 60 °d. 55 °4.圆内两弦相交， 一弦长 8cm 且被交点平分， 另一弦被交点分为1：4，就另一弦长为 （）a. 8cmb. 10cmc. 12cmd. 16cm5.在 abc 中， d 是 bc 边上的点， ad= 22 cm， bd 3cm， dc 4cm，假如 e 是 ad的延长线与 abc 的外接圆的交点，那么de 长等于（）a.233 cm3 cmb.32 cmc.22 cmd.6. pt 切 o 于 t，ct 为直径， d 为 oc 上一点，直线pd 交 o 于 b

15、和 a ，b 在线段 pd上，如 cd 2， ad 3，bd 4，就 pb 等于（）a. 20b. 10c. 5d.二、填空题7. ab 、cd 是 o 切线， ab cd ，ef 是 o 的切线，它和ab 、cd 分别交于e、f，就eof 度；8.已知： o 和不在 o 上的一点p，过 p 的直线交 o 于 a 、b 两点，如pa·pb 24， op 5，就 o 的半径长为 ；9.如 pa 为 o 的切线， a 为切点， pbc 割线交 o 于 b、 c，如 bc 20， pa=103 ，就 pc 的长为 ；10.正 abc 内接于 o，m 、n 分别为 ab 、ac 中点， 延长 mn 交 o 于点 d，连结 bd交 ac 于 p，就三、解答题pc= ；pa11.如图 2， abc