初中数学《直角三角形边角关系》讲义初稿

1、直角三角形边角关系讲义 初稿一、概念部分1、基本概念正弦：在 rtab（c 如图），锐角 a 的对边与斜边的比叫做a 的正弦，记为 sin a ，sin aa的对边a ；b斜边cc余弦：在 rtabc（如图），锐角 a 的邻边与斜边的比叫做aa的余弦，记为cos a ， cos aa的邻边b ；c斜边bac正切：在 rtab（c 如图），锐角 a 的对边与邻边的比叫做a 的正切，记为 tan a ，tan aa的对边a；a的邻边b余切：在 rtab（c 如图），锐角 a 的邻边与对边的比叫做a 的余切，记为 cot a ，cot aa的邻边b ；a的对边a2、巧记概念：按 正弦、余弦、正切、余

2、切 的次序记八个字： 对斜邻斜对邻邻对 ；3、依据正弦、余弦、正切、余切的定义，在 rtabc中， csinb=cosa，tana=cotb ，tanb=cota ；4、正弦、余弦、正切的值 与梯子倾斜程度之间的关系：sina 的值越大，梯子越陡；cosa 的值越小，梯子越陡；tana 的值越大，梯子越陡；90，有 sina=cosb ，5、在 rtabc中，c90，a、b、c 分别是a 、b 、c 的对边，那么sin aa ，ccos ab ，tan a ca ，cot a bb 可 以变 形 为 a ac si n a ， bccos a ，abtana 或 ca， csin abcos

3、a等等，在解题中可以依据条件正确选用；6、留意：、在中学， 正弦、余弦、正切、余切的定义 都是在 直角三角形 中给出的， 不能在任意三角形 中套用定义；、sina 、cosa、tana、cota分别表示正弦、余弦、正切、余切的数学表达符 号，是一个整体，不能懂得为sin与 a、cos 与 a、tan 与 a、cot与 a 的乘积； sina 、cosa、tana 、cota 是一个完整的符号， 它表示a 的正弦、余弦、正切、余切，记号里习惯省去角的符号“”，但当角用三个大写字母或数字表示时， 角的符号“”不能省略；例如： tana ，tanabc， tan1 都是正确的；、正弦、余弦、正切、余

4、切在直角三角形中它们分别表示对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、 邻边与对边的比值， 所以它是没有单位的， 当锐角 a 确定后，这些比值都是固定值；、求某个角的正弦、余弦、正切、余切函数值时，需把该角放入适当的直角三角形中，在某些非直角三角形的问题，通过作垂线转化为直角三角形来解决；、已知直角三角形一锐角的某三角函数值就知道了某两边的比值，设未知数可把 3 条边都可用一个未知数表示出来，这样就可以求出任何两条边的比值；例 1：在abc中，c90，ac=12， bc=5，（ 1）求 ab的长；（2）求 sina 、cosa、tana、cota 的值；（3）求 sin 2 a的值；（4）比较 si

5、na 与 cosb 的大小， tana 与 cotb 的大小；cos 2 a变式练习 ：1、在 rtabc中，c2、在 rtabc中，a90，a=5 ,b=2, 就 sina=；90，假如 bc=10，sinb=0.6 ，那么 ac=；例 2、如图，在abc中，c变式练习 ：90，ac=c，bab=bd，求 tand 的值；adabc1、已知abc 中，c90，a45，bd 为 ac 边上中线，求dsinabd 和 tanabd的值；例 3、 如图，在中， ad是 bc边上的高，；cb（ 1）求证： acbd（ 2）如，求 ad的长；分析： 由于 ad 是 bc边上的高，就有和，这样可以充分利

6、用锐角三角函数的概念使问题求解；解：（1）在中，有中，有tan bcosdacadad ，故 acbd bdac（2）由可设由勾股定理求得bc12bddc18x12即例 4、如图，已知中c90，求的面积（用的三角函数及m表示）分析： 要求的面积，由图只需求出bc；解： 由bcactanbacacm，bcm tanbacs abc1acbc21mm tan212mtan2练习题：一、填空题：1、在abc中，c90，a=4,b=3, 就： sina=cosa=tana=cota=sinb=cosb=tanb=cotb=；2、在 rtabc中，c90，已知 a=4,c=5 就 sinb=sina=t

7、ana=3、在abc中，c90，如 tanb=2，a=1, 就 b=；4、abc中，c90，cosa=0.8746，就 sinb=；5、rtabc中，c90，tana= 255，就 sinb=；6、在abc 中，b 90， ac 边上中线bd=5， ab+bc=1，4就abc 的面积为.7 、rtabc 中 ，bc=；c 90，tana=1 ， ab=5 ， 就ac=，28、 abc中，ab=ac，abbc=21，就 sin 、 a =sinb=；29 、 等 腰 三 角 形 的 腰 长 为10cm， 底 边 为16cm， 就 它 底 角 的 正 弦 值是.10、已知，如图，在abc中，c30

8、，tanb= 1c3bc= 10 ，就 ab的长为；ab二、挑选题1、在abc中，c90，c=3,b=2 ，就 cosa 的值为（）a、2b、 1c、7d、533332、在abc中，c90，ab=13，sina= 12 ，就 bc=（）13a、1b、12c、5d、以上都不对3、在abc中，c90，a、b、c 分别是a 、b 、c 的对边，就（）a、batan ab 、bcsin ac 、accobd 、casin a4、在abc中，c90，且 cosa= 3 ，就 sinb= （）5a、 3b、 4c、4d、 343555、在abc中，c90，如 c=3b ，就 cosa 等于（）a、2b、

9、2233c、 1d、10336、在 rtabc中，假如各边的长度都扩大2 倍，那么锐角a 的四个三角函数值（）；a、没有变化b、都缩小 2 倍c、都扩大 2 倍d、不能确定如何变化三、解答题：1、已知：cos15，为锐角，求的其它三角函数；172、已知一个三角形的三边的比为7： 24：25，求最小角的正弦、正切值；3、已知：如图 43 1，在矩形 abcd中， beac于e，ab=3，bc=4， cbe= ，求 的四个三角函数值 .4、已知：如图 432，在rtabc中，c90， d是 bc中点， deab 于 e，tanb=1 ，ae=7，求 de、bc的长.2二、特别角的三角函数值1、中学

10、阶段说的特别角指的是0 ,30,45,60,90五个特别角度；2、规定sin 00 ， sin 901 ， cos 01 ， cos 900 ； tan 00 ， cot 900tan 903、， cot 0没有意义（或说不存在） ；三角函数0304560901sin02231221cos1322022tan0313不存在3cot不存在313034、从上表中明确sin、cos、tan、cot随角的变化而变化的规律：当角逐步增大时， sin、tan逐步增大， cos、cot逐步减小；练习题：一、挑选题1 、 cos 60tan 60tan 452 tan 45的值等于（）a、 232b 、 23

11、2c 、322d 、2322、abc中，如sin a123cos b 20 ，就 c 的度数是（）a、75b、 60c、 45d、 303、abc中，设cos a1 , sin b 22 ，就此三角形为（）2a、锐角三角形b 、直角三角形c 、钝角三角形 d、锐角三角形或钝角三角形4、abc中，设sin acos90b3 ，就abc为（）2a、等腰三角形b、直角三角形c、等边三角形d、等腰直角三角形5、等腰abc中， ab=ac，a120，高 ad=3，就 ab+bc+a等c 于（）a、18b、1236c、183d、12636、已知4 sin 2 a132 sin a1 ，就锐角 a 为（）a

12、、30b、90c、30或 90d、60或 90二、填空：1、已知tan 60tan1 ，且为锐角，就sincos（）；2、如 sin3 ，就锐角的补角是（）；23、在abc中，c90，如a 45，就 tan asinb =（）；4、在abc中，c90，如ab 30 , c8 ， 就面积 s =（）；5、在abc中，c三、运算：90，如 sin a2 ，就 tan2acos b =（）；01、2cos60 -sin 90 ×sin 3012cos 302 tan 452、 2 + 2sin60° 2313、2 1tan 6051 0324、12sin 2113'0ta

13、n 21sin 302 cos30232cos605、sin 30cos 60cot 45tan 60tan 306、22 cos45sin 90 4421 17、已知2 cos 2cos10 ，求锐角；8、求适合等式3 tan24 tan30 的锐角；9、在abc中，设a,abc的外形；三、规律与公式 ：1、三角函数定义：b 均为锐角，且tan b3 2 sin a3 20 ，试判定正弦：sin aa ， 余弦：ccos ab ， 正切：ctan aa ，余切：bcot ab ；a2、由锐角的三角函数 定义可知：、0sin1，0cos1；、 sin 2cos21 ；、 tancot1 ，ta

14、n1cot， cot1；tan、 tansincos， cotcos；sin利用上面的结论运算：（ 1）、sin 2 15cos 2 15（），sin 2 36cos2 36（）；（ 2）、如 sincos2 ，求 sincos的值；（ 3）、如tan2 ，求4 cos2 cossin sin的值；（ 4）、已知：cos1 ，就33 sin4 sintan2 tan的值；（ 5）、12 sin 60cos60=；（ 6）、已知sin 2 30cos21 ，且为锐角，就=（）；、诱导公式：sin acos90a ； cos asin90a) ；tan acot90a例、 已知为锐角，以下结论：；

15、<2>假如，那么； <3> 假如 cos12，那么； <4>正确的有（）a. 1个b. 2 个c. 3个d. 4 个分析： 利用三角函数的增减性和有界性即可求解；解： 由于为锐角知 <1>不成立；当时，有，即 <2>正确当时，即<3>成立；又，即正确；即 <4>成立，故应选 c；练习题：1、假如 tan= 3 ,4那么 cossin的值是（）a 1b32c31d2532、已知 sincos=m,就 sin .cos=a m2 1b m123cm 212d2m 213、设 cos 36a ，就 cos 54（）a

16、、ab、1ac 、1ad 、1a 24、已知a 为锐角，且cos a1，那么（）2a、0a60b 、60a 90c 、 0a30d 、30a 905、已知sin 1562 ，就 cos 75；46、已知a + b = 90 0 ，如cos a0.8888 ，就sin b；7、如tan 64cot b1 ，就 b =；8、已知是锐角，3 cot20 3 ，就=度；9、不查表， 比较大小， 如 sin0.3276,sin0.3274 ，就 ,如 tan7.41，cot5.41，就；10、在abc中c90， a b ， 且t a na 和tan b的 值 是 方 程x2433 x10 的两个根，就a

17、 11、在 rtabc 中，sin a1 , a41,就cos a， b =.12、rtabc 中，c90，a8,b15 ，就 nsia nsib nsic；13、已知 sincos3 , 就sin2cos= .14、已知： sin cos=2 ，求以下各三角函数式的值：、 sincos；、 sin 3cos3；44、 sincos；四、三角函数的应用概念：四角一度1、仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；2、俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；3、方向角 ：目标方向线与指南或指北的方向所成的锐角城为方向角；4、坡角：坡面与水平方向所成的锐

18、角，称为坡角；5、坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比）；即为坡角的正切；三角函数应用题解题主要步骤：1、 审题标角2、 酌情擦图3、 当心分角4、 认真标注5、 巧列方程6、 破解方程7、 检验作答例 1、 如图，沿 ac方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工；从 ac上的一点 b，取米，；要使 a、c、e 成始终线，那么开挖点e 离点 d的距离是（）a. 米b.米c.米d.米分析： 在中可用三角函数求得de长；解： a、c、e 成始终线abd145 ，d55 ，bed90在 rtbed 中，cos dde ， de bdbdcos d米，de500 cos

19、55米，故应选 b；例 2、 人民海关缉私巡逻艇在东海海疆执行巡逻任务时，发觉在其所处位置o 点的正北方向10 海里处的 a 点有一涉嫌走私船只正以 24 海里/ 小时的速度向正东方向航行； 为快速试验检查，巡逻艇调整好航向，以 26 海里/ 小时的速度追逐，在涉嫌船只不转变航向和航速的前提下，问（ 1）需要几小时才能追上？（点 b 为追上时的位置）（2）确定巡逻艇的追逐方向（精确到） （如图）参考数据：sin 66.80.9191，cos66.80.3939sin 67.40.9231，cos67.40.3846sin 68.40.9298，cos68.40.3681sin 70.60.94

20、32，cos70.60.3322分析：（ 1）由图可知是直角三角形，于是由勾股定理可求；（ 2）利用三角函数的概念即求；解： 设需要 t 小时才能追上，就（ 1）在中，ob 2oa 2ab 2 ，26t 210224t 2 ，就（负值舍去）故需要 1 小时才能追上；（ 2）在中即巡逻艇沿北偏东方向追逐；例 3、 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物abcd，且建筑物四周没有平整地带，该建筑物顶端宽度ad和高度 dc都可直接测得，从a、d、c三点可看到塔顶端 h，可供使用的测量工具有皮尺，测倾器；（ 1）请你依据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度 hg的方案，详细要

21、求如下： <1>测量数据尽可能少； <2>在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（假如测a、d间距离，用m 表示；假如测d、c 间距离，用n表示；假如测角，用等表示，测倾器高度不计）；（ 2）依据你测量的数据，运算塔顶端到地面的高度 hg（用字母表示）；分析： 此题实际是一道图形设计和数据的测量运算，依题意可有几种方案； 如测三个数据、测四个数据、测五个数据等；但又要使测得的数据尽可能少，于是以三个数据为例；解： 如图所标（ 1）测三个数据；（2）设在中，在中， dm xn cotx cot xn cot，即课堂练习： 1、（2004 贵阳）某居

22、民小区有一朝向为正南方向的居民楼（如图） ，该居民楼的一楼是高 6 米的小区超市，超市以上是居民住房 . 在该楼的前面 15 米处要盖一栋高 20 米的新楼. 当冬季正午的阳光与水平线的夹角为 32°时.（1）问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）如要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？（结果保留整数，参考数据：sin32 o 53，cos32o106太阳 d 32° a居，tan32o新民58 ）100125楼楼2、（2004 海口）雄壮壮丽的“千年塔”矗立在海口市西bc海岸带状公园的 “热带海洋世界” . 在一次数学实践活动中，为了测量这座 “千年塔” 的

23、高度， 雯雯在离塔底 139 米的 c 处 c 与塔底 b 在同一水平线上），用高 1.4 米的测角仪 cd测得塔顶 a 的仰角 =43°（如图），求这座“千年塔”的高度 ab（结果精确到0.1 米）.（参考数据： tan43 ° 0.9325 ，cot43 ° 1.0724 ）3、（ 2004 重庆）如图，点 a 是一个半径为 300 米的圆形森林公园的中心， 在森林公园邻近有 b、c两个村庄， 现要在 b、c 两村庄之间修一条长为 1000 米的笔直大路将两村连通 . 经测得 abc=45°，acb=30°，问此大路是否会穿过该森林公园？请

24、通过运算进行说明.练习题：1（2004 深圳）如图，一棵大树在一次强台风中于离 地面 5 米处折断倒下，倒下部分与地面成30o 夹角，这棵大树在折断前的高度为a10 米b 15 米c25 米d 30 米2（2005 徐州） a 类 如图 1，在与旗杆 ab相距 20 米的 c 处，用高 1.20 米的测角仪测得旗杆顶端b 的仰角=30° . 求旗杆 ab的高 精确到 0.1 米.30°bdeb 类 如图 2，在 c 处用高 1.20 米的测角仪测得塔ab顶端 b 的仰角 =30o，向塔的方向前进 20 米到 e 处，又测得塔顶端 b 的仰角 =45°. 求塔 ab

25、的高 精确到 0.1 米.我选做 类题，解答如下：3、（2007 浙江杭州）如图，在高楼前d 点测得楼顶的仰角为 30，向高楼前进60 米到 c点，又测得仰角为 45 ，就该高楼的高度 大 约 为 （ ）aa.82 米b.163 米c.52 米d.70 米cd fce图 1abga图 2a3045dcb图 14、（ 2004 大连）如图，某校自行车棚的人字架棚c顶为等腰三角形，d是 ab的中点，中柱 cd=1米， a=27°，中柱求跨度 ab的长 精确到 0.01 米 ；adb跨度5、（2005 深圳）大楼 ad的高为 10 米，远处有一塔bc，某b人在楼底 a 处测得踏顶 b 处的

26、仰角为 60o，爬到楼顶 d点测得塔顶 b 点的仰角为 30o，求塔 bc的高度；dac6、（2005 连云港）如下列图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽视不计）距地面0.5m秋千向两边摇摆时，如最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为53，就秋千踏板与地面的最大距离约为多少？ 参考数据：sin 530.8,cos 530.63m530.5m7、（2007 山东青岛）一艘轮船自西向东航行，在 a 处测得东偏北 21. 3°方向有一座小岛 c，连续向东航行 60 海里到达 b 处，测得小岛 c 此时在轮船的东偏北 63. 5°方向上之后，轮船连续向东航行多少

27、海里，距离小岛 c 最近？（ 参 考 数 据 ： sin21. 3 ° 9，25北2tan21. 3 °5，sin63. 5° 9 ，c10东tan63. 5° 2）ab8、昆明市 如图，ab和 cd是同一地面上的两座相距36 米的楼房，在楼 ab的楼顶 a 点测得楼 cd 的楼顶 c 的仰角为 45°， 楼底 d 的俯角为 30°求楼 cd 的高结果保留根号 ca45°30°36bd第 20 题图 9、（ 云南省）已知：如图，在 abc 中， b = 45 ，° c = 60 °，ab = 6求 bc 的长结果保留根号 .a10、（2005 盐城）我边防战士在海拔高度（即cd的长）为 5