初中数学专题特训第十三讲：反比例函数

1、2021 年中考数学专题复习第十三讲反比例函数【基础学问回忆】一、反比例函数的概念：一般地：互数y（k 是常数， k 0）叫做反比例函数【赵老师提示： 1、在反比例函数关系式中：k0、x0、y02、反比例函数的另一种表达式为y=（k 是常数， k0）3、反比例函数解析式可写成xy= k（k0）它说明反比例函数中自变量x 与其对应函数值y 之积，总等于】二、反比例函数的同象和性质：k1、反比例函数y=2、反比例函数y=（k0）的同象是它有两个分支，关于对称xk（k0）当 k>0 时它的同象位于象限，在每一个象x限内 y 随 x 的增大而当 k<0 时，它的同象位于象限，在每一个象限内

2、， y 随 x 的增大而k【赵老师提示： 1、在反比例函数y=x轴无限接近，但永不与x 轴 y 轴中，由于 x0，y0 所以双曲线与坐标2、在反比例函数y 随 x 的变化情形中肯定注明在每一个象限内】3、反比例函数中比例系数k 的几何意义：反曲线 y=k （k0）上任意一点向两坐标轴作垂线x两线与坐标轴围成的形面积， 即如图：aobp=saop=【赵老师提示： k 的几何意义平常与前边提示中所谈到的xy=k 联系起来懂得和应用】三、反比例函数解析式的确定k由于反比例函数y=（ k 0）中只有一个被定系数所以求反比例函数x关系式只需知道一组对应的x、y 值或一个点的坐标即可，步骤同一次函数解析式

3、的求法一、反比例函数的应用二、解反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式， 再利用同象找出解决问题的方案，这里要特殊留意自变量的【重点考点例析】考点一：反比例函数的同象和性质例 1（ 2021.张家界）当a 0 时，函数y=ax+1 与 函数y是（）a bcd a在同一坐标系中的图象可能x思路分析： 分 a0 和 a0 两种情形争论，分析出两函数图象所在象限，再在四个选项中找到正确图象解： 当 a 0 时， y=ax+1 过一、二、三象限，y= ya过一、三象限；x当 a 0 时， y=ax+1 过一、二、四象限，y= y故 选 ca过二、四象限；x点评： 此题考查了一次函数与二次函数的图象和

4、性质，解题的关键是明确在同一a 值的前提下图象能共存例 2（ 2021.佳木斯）在平面直角坐标系中，反比例函数a2a2yx图象的两个分支分别在（）a 第一、三象限b 其次、四象限 c第一、二象限d 第三、四象限思路分析： 把 a2-a+2 配方并依据非负数的性质判定出是恒大于0 的代数式，再依据反比例函数的性质解答解： a2 -a+2，=a21-a+41-+2 ，241=（a-2） +7 4 ，（ a- 1 ） 2 0，21（ a-2） 2+7 4 0，反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限故 选 a 点评： 此题考查了反比例函数图象的性质，先判定出a2-a+2 的正负情形是解题的关键，

5、对k于反比例函数y（ k 0）：（ 1）k 0，反比例函数图象在一、三象限；（ 2） k 0，反比x例函数图象在其次、四象限内例 3（ 2021.台州）点（ -1， yy3 的大小关系是（）1），（ 2，y2），（ 3， y3）均在函数y6的图象上，就yx1， y2，a y3 y2 y 1b y2 y3 y1c y1 y 2 y 3d y 1 y 3 y 2思路分析： 先依据反比例函数的解析式判定出此函数图象所在的象限，再依据各点的坐标判定出各点所在的象限，依据函数图象在各象限内点的坐标特点解答解： 函数 y6中 k=6 0，x此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y 随 x 的增大而减小，

6、-1 0，点（ -1， y1 ）在第三象限，y 1 0，0 2 3，（ 2， y2），（ 3， y 3）在第一象限，y 2 y3 0，y 2 y3 y1 应选 d 点评：此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，依据题意判定出函数图象所在象限是解答此题的关键对应训练1（ 2021.毕节地区）一次函数y=x+m （ m 0）与反比例函数y角坐标系中是（）m的图象在同一平面直xa b cd1 c2（ 2021.内江）函数y1xx 的图象在（）a 第一象限b第一、三象限c其次象限d其次、四象限2 a2解：x 中 x 0，故 x 0，此时 y 0， 就函数在第一象限 故 选 a 1中 x 0，x23（

7、 2021.佛山）如a （ x 1， y1）和 b （x 2，y 2）在反比例函数yx2，就 y1 与 y2 的大小关系是y1y2 3的图象上，且0 x1x考点二：反比例函数解析式的确定例 4（2021 .哈尔滨） 假如反比例函数yk1的图象经过点 （-1，-2），就 k 的值是（）xa 2b -2c -3d 3思路分析： 依据反比例函数图象上点的坐标特点，将（-1，-2）代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k 的方程，通过解方程即可求得k 的值解答：解：依据题意，得k-2=1 ， 即 2=k-1 ，1解 得 k=3 应选 d 点评：此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段

8、的重点解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特点”这一学问点对应训练221b4（ 2021.广元）已知关于x 的方程（ x+1 ）+（ x-b ）=2 有唯独的实数解， 且反比例函数yx的图象在每个象限内y 随 x 的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（）a y3 x4 db y1 xc y2 xd y2 x4 分析： 关于 x 的方程（ x+1 ）2+（ x-b）2=2 有唯独的实数解，就判别式等于0，据此即可求得 b 的值，然后依据反比例函数1b y的图象在每个象限内y 随 x 的增大而增大，就x比例系数1+b 0，就 b 的值可以确定，从而确定函数的解析式解： 关于 x 的方程（

9、 x+1） 2+（ x-b） 2=2 化成一般形式是：2x2+（2-2b） x+ （b2-1） =0 ，=（ 2-2b） 2-8（ b2-1） =-4 （b+3 ）（ b-1）=0，解 得 ： b=-3 或 1反比例函数y1+b 0b -1，b=-3 1 b的图象在每个象限内y 随 x 的增大而增大，x就反比例函数的解析式是：y= y应选 d 13 ，即 y2 xx考点三：反比例函数k 的几何意义例 5（ 2021.铁岭）如图，点a 在双曲线y4 上，x点 b 在双曲线yk（ k 0）上， ab x 轴，x分别过点a 、b 向 x 轴作垂线，垂足分别为d、c，如矩形abcd 的面积是8，就 k

10、 的值为（）a 12b 10c 8d 6思路分析： 先依据反比例函数的图象在第一象限判定出k 的符号，再延长线段ba ， 交 y 轴4于点 e，由于 ab x 轴，所以 ae y 轴，故四边形aeod 是矩形， 由于点 a 在双曲线yx上，所以s 矩形 aeod =4，同理可得s 矩形 ocbe =k ，由 s 矩形 abcd =s 矩形 ocbe -s 矩形 aeod 即可得出k的值解： 双曲线yk 0，k（ k 0）上在第一象限，x延长线段ba ，交 y 轴于点e，ab x 轴，ae y 轴，四边形aeod 是矩形，点 a 在双曲线y4 上，xs 矩 形 aeod =4，同理 s 矩形 o

11、cbe =k ，s 矩形 abcd =s 矩形 ocbe -s 矩形 aeod =k-4=8 ，k=12 故 选 a 点评： 此题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，即反比例函数yk 图象中任取一点，x过这一个点向x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|对应训练5（ 2021.株洲）如图，直线x=t （ t 0）与反比例函数y2 , y1的图象分别交于xxb、c 两点， a 为 y 轴上的任意一点， 就 abc 的面积为（）3a 3bt 23c25 cd不能确定21215解：把x=t 分别代入y, y，得 y xx, y，tt所以 b （t， 2 ）、c（ t，1 ）

12、，tt所 以 bc= 2 -（1 ） = 3 ttta 为 y 轴上的任意一点，点 a 到直线bc 的距离为t ， abc 的 面 积 = 13t3 故 选 c2t2考点四：反比例函数与一次函数的综合运用例 6（ 2021.岳阳）如图，一次函数y1=x+1 的图象与反比例函数y22的图象交于a 、bx两点，过点作ac x 轴于点c，过点 b 作 bd x 轴于点 d ，连接 ao 、bo，以下说法正确选项（）a 点 a 和点 b 关于原点对称b 当 x1 时 ， y1 y2 c saoc =s bodd当 x 0 时， y1、y2 都随 x 的增大而增大思路分析： 求出两函数式组成的方程组的解

13、，即可得出a 、b 的坐标，即可判定a ；依据图象的特点即可判定b ；依据 a 、b 的坐标和三角形的面积公式求出另三角形的面积，即可判断 c；依据图形的特点即可判定dyx1 解： a 、2，yx2把代入得：x+1=，x解得： x1=-2， x 2=1 ，代入得： y1=-1 ， y2=2，b （ -2，-1）， a （1， 2），a 、b 不关于原点对称，故本选项错误；b、当 -2x 0 或 x 1 时， y1 y 2，故本选项错误；c、 s aoc =1 ×1× 2=1 ，sbod =21 × |-2|× |-1|=1 ，2s bod =s aoc

14、，故本选项正确；d、当 x 0 时， y1 随 x 的增大而增大，y 2 随 x 的增大而减小，故本选项错误；故 选 c点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题的应用， 主要考查同学观看图象的才能， 能把图象的特点和语言有机结合起来是解此题的关键，题目比较典型， 是一道具有肯定代表性的题目对应训练6（ 2021.达州）一次函数y 1=kx+b （k 0）与反比例函数y 2=系中的图象如下列图，如y1 y2，就 x 的取值范畴是（）a -2 x 0 或 x 1b x -2 或 0 x 1c x 1d -2 x 16 am6解：由函数图象可知一次函数y1=kx+b 与反比例函数y2=x（-2

15、， -2），由函数图象可知，当-2x 0 或 x 1 时， y1 在 y2 的上方，当 y1 y 2 时 x 的取值范畴是-2 x 0 或 x 1故 选 a mm 0 ，在同始终角坐标xm 0的交点坐标为 （ 1，4），【聚焦山东中考】1（ 2021.青岛）点a（ x1， y1）， b（ x 2， y 2）， c（ x 3， y3）都是反比例函数y上，如 x 1 x 2 0x 3，就 y1， y2， y3 的大小关系是（）3的图象xa y 3 y 1 y 2b y1 y2 y 3c y3 y2 y 1d y2 y 1 y 31 a1解：反比例函数y=-3 x中， k=-3 0，此函数图象在二四

16、象限，且在每一象限内y 随 x 的增大而增大，x1 x20 x3，y3 0， y3 0 y1 y2，y3 y1 y2 故 选 a 2（ 2021.菏泽）反比例函数y成立的是（）2的两个点（ x1x， y1）、（ x2， y2），且x1 x2，就下式关系a y 1 y 2b y1 y 2c y1 =y2d 不能确定2 d53（ 2021.滨州）以下函数：y=2x-1 ； y=； y=x 2+8x-2 ； y=2xx2ay=中， y 是 x 的反比例函数的有（填序号）；x3； y=1；2x4（ 2021.济宁）如图，是反比例函数常数 k 的取值范畴是k 2；另一个分支在第三象限；k2 y的图象的一

17、个分支，对于给出的以下说法：x在函数图象上取点a （ a1 ，b1 ）和点 b（ a2， b2），当 a1 a2 时，就b1 b2 ；在函数图象的某一个分支上取点a （ a1， b1）和点 b （ a2， b2），当 a1 a2 时，就 b1 b2；其中正确选项（在横线上填出正确的序号）44解：依据函数图象在第一象限可得k-2 0，故 k 2，故正确；依据反比例函数的性质可得，另一个分支在第三象限，故正确；依据反比例函数的性质，图象在第一、 三象限时， 在图象的每一支上y 随 x 的增大而减小，a 、b 不肯定在图象的同一支上，故错误；依据反比例函数的性质， 图象在第一、 三象限时， 在图象的

18、每一支上 y 随 x 的增大而减小， 故在函数图象的某一个分支上取点 a （ a1， b1）和点 b（ a2， b2），当 a1 a2 时，就 b1 b2 正确；故答案为：5（ 2021.潍坊）点p 在反比例函数yk（ k 0）的图象上，点q（ 2， 4）与点 p 关于 yx轴对称，就反比例函数的解析式为85 yx5解：点q（2， 4）和点 p 关于 y 轴对称，p 点坐标为（ -2， 4），将（ -2， 4）解析式yk 得 ，xk=xy=-2 × 4=-8 ，8函数解析式为yx故答案为y8 x6（ 2021.聊城）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点o，且正方形的一组对边与kx

19、 轴平行，点p（ 3a，a）是反比例函数y（ k 0）的图象上与正方形的一个交点如图x中阴影部分的面积等于9，就这个反比例函数的解析式为6 y3 x6解：反比例函数的图象关于原点对称，阴影部分的面积和正好为正方形面积的1 ，设正方形的边长为b，就 1 b2=9，解得b=6，44正方形的中心在原点o，直线 ab 的解析式为：x=3 ，点 p（ 3a， a）在直线ab 上 ，3a=3，解得 a=1，p（ 3， 1），点 p 在反比例函数yk=3 ，k（k 0）的图象上，x此反比例函数的解析式为：y3 x3故答案为：yx7（ 2021.泰安）如图，一次函数y=kx+b 的图象与坐标轴分别交于a， b

20、 两点，与反比例函m数 y的图象在其次象限的交点为c，cd x 轴，垂足为d， 如 ob=2 ，od=4 ， aobx的面积为1（1）求一次函数与反比例的解析式；（2）直接写出当x 0 时， kx+b- m 0 的解集x7解：（ 1） ob=2 ， aob 的面积为1b （ -2，0）， oa=1 ，a （ 0， -1）b1，2kb0k12 ，b1y=1x-12又 od=4 ， od x 轴，c（ -4， y），将 x=-4 代 入 y=1 x-1 得 y=1 ，2c（ -4，1）1=m ，4m=-4 ，xy=；4（2）当 x 0 时， kx+b- m 0 的解集是x -4x【备考真题过关】一

21、、挑选题1（ 2021.南充）矩形的长为x，宽为 y，面积为9，就 y 与 x 之间的函数关系式用图象表示大致为（）a b cd 1 c2（ 2021.孝感）如正比例函数y=-2x 与反比例函数y就另一个交点的坐标为（）k图象的一个交点坐标为（-1，2），xa （ 2， -1）b（ 1， -2）c（ -2，-1）d（ -2， 1）2 b3（ 2021.恩施州）已知直线y=kx （ k 0）与双曲线y两点，就x 1y2+x 2y1 的值为（）a -6b -9c 0d 93 a3思路分析： 先依据点a（ x1，y1），b（ x2，y 2）是双曲线y3交于点 a （ x 1， y1），b（ x 2，

22、 y2）x3上的点可得出x 1.y1=x 2.y2=3，x再依据直线y=kx（ k 0）与双曲线y3 交于点a（ x 1，y1），b（ x 2，y2）两点可得出x 1=-x 2，xy1=-y 2，再把此关系代入所求代数式进行运算即可3解： 点 a （ x 1， y1），b （ x2， y2）是双曲线yx 1.y 1=x 2.y 2=3，上的点x直线 y=kx （ k 0）与双曲线y=3 x交于点 a （ x1， y1 ）， b（ x 2， y2 ）两点，x 1=-x 2， y1=-y 2，原式 =-x 1y1-x 2y2=-3-3=-6 故 选 a 4（ 2021.常德）对于函数y6，以下说法

23、错误选项（）xa 它的图象分布在一、三象限b 它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 c当 x 0 时， y 的值随 x 的增大而增大d 当 x 0 时， y 的值随 x 的增大而减小4 c5（ 2021.淮安）已知反比例函数ym1的图象如下列图， 就实数 m 的取值范畴是 （）xa m 1b m 0c m 1dm 05 a6（ 2021.南平）已知反比例函数的大小关系为（）1y的图象上有两点a （1， m）、b （2， n）就 m 与 nxa m nb m nc m=nd不能确定6 a7（ 2021.内江）已知反比例函数y1k的图象经过点（1，-2），就 k 的值为（）xa 2b27 dc

24、1d -22k18（ 2021.荆门）已知：多项式x式为（）-kx+1 是一个完全平方式，就反比例函数y的解析xa y1 x8 cb y3 xc y1 或 y3xxd y2 或 y2xx8解：多项式x2-kx+1 是一个完全平方式，k= ± 2，把 k= ± 2 分别代入反比例函数y=k-1 x的解析式得：y=1 x或 y=-3 x，应选： c9（ 2021.铜仁地区）如图，正方形aboc 的边长为2，反比例函数y就 k 的值是（）a 2b -2c 4d -4k的图象过点a ，x9 d10（ 2021.黔东南州）如图，点a 是反比例函数y6（x 0）的图象上的一点，过点ax

25、作abcd ，使点 b、c 在 x 轴上，点d 在 y 轴上，就abcd 的面积为（）a 1b 3c6d 1210 c10解：过点a 作 ae ob 于 点 e，由于矩形adoc 的面积等于ad × ae ，平行四边形的面积等于：ad × ae ，所以 .abcd的面积等于矩形adoe 的面积，依据反比例函数的k 的几何意义可得：矩形adoc 的面积为6，即可得平行四边形abcd的面积为6 故 选 c11（ 2021.无锡）如双曲线yk与直线 y=2x+1 的一个交点的横坐标为-1，就 k 的值为（）xa -1b 1c -2d 2 11 b12（ 2021.梅州） 在同始终

26、角坐标系下，直线 y=x+1 与双曲线ya 0 个b 1 个c 2 个d不能确定 12 c1的交点的个数为 （）x13（ 2021.阜新）如图，反比例函数yk11x的图象与正比例函数y 2=k 2x 的图象交于点（2， 1）， 就使 y1 y2 的 x 的取值范畴是（）a 0 x 2b x 2c x 2 或-2x 0d x -2 或 0x 2 13 d13解： 反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，a 、b 两点关于原点对称，a （ 2， 1），b （ -1，-2），由函数图象可知，当0 x2 或 x -2 时函数 y1 的图象在y2 的上方，使 y1 y 2 的 x 的取值范畴是x-2

27、 或 0 x2应选 d 14（ 2021.南京）如反比例函数是（）yk 与一次函数y=x+2 的图象没有交点，就k 的值可以xa -2b -1c 1d 214 a14解：反比例函数yk与一次函数y=x+2 的图象没有交点，xykx无解，即k =x+2 无解，整理得x 2+2x-k=0 ，yx2a x =4+4k 0，解得 k -1，四个选项中只有-2 -1，所以只有a 符合条件故 选 a 二、填空题16（ 2021.连云港）已知反比例函数16 2y2 的图象经过点a（ m，1），就 m 的值为x17（ 2021.盐城） 如反比例函数的图象经过点p（ -1，4），就它的函数关系式是417 yx1

28、8（ 2021.衡阳）如图，反比例函数yk 的图象经过点p，就 k=x18 -619（ 2021.宿迁）在平面直角坐标系中，如一条平行于x 轴的直线l 分别交双曲线y6 和x2y于 a ， b 两点， p 是 x 轴上的任意一点，就abp 的面积等于x19 419解：如下列图：分别过点a 、 b 作 ac x 轴， bd x 轴，点 a 、b 分别在双曲线y6 和 y2 上，xxs 矩形 acoe =6， s 矩形 beod =2 ，s 矩形 acbd =s 矩形 acoe +s 矩形 beod =6+2=8 ，即 ab .ac=8 ，s abp=1ab .ac=21× 8=42故答案为： 420（ 2021.毕节地区） 如图， 双曲线 ykk 0上有一点a ，过点 a 作 ab x 轴于点 b ，xaob 的面积为2，就该双曲线的表达式为20 y4 x21（ 2021.益阳） 反比例函数yk的图象与一次函数y=2x+1 的图象的一个交点是（1，k ），x就反比例函数的解析式是21 y3 x三、解答题24（ 2021.湖州）如图，已知反比例函数（1）求这个反比例函数的解析式；yk （ k 0）的图象经过点（-2， 8）x（2）如（ 2， y 1），（ 4，y 2）是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y1、 y2 的大小，并说明理