初中数学专题特训第二十四讲：与圆有关的位置关系

1、中考数学专题复习其次十四讲与圆有关的位置关系【基础学问回忆】一、 点与圆的位置关系：1、点与圆的位置关系有种，如圆的半径为r 点 p 到圆心的距离为d就：点 p 在圆内< >点 p 在圆上 < >点 p 在圆外< > 2、 过三点的圆：过同始终线上三点作用，过三点，有且只有一个圆三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆的圆心叫做三角形的这个三角形叫做这个圆的三角形外心的形成：三角形的交点，外心的性质：到相等【赵老师提示：1、锐角三角形外心在三角形直角三角形的外心是锐角三角形的外心在三角形】一、 直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有种：当

2、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆直线叫圆的线，这的直线叫做圆的直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆2、设 qo 的半径为r，圆心 o 到直线 l 的距离为d，就：直线 l 与 qo 相交 <>dr,直线 l 与 qo 相切 < >dr直线 l 与 qo 相离 <>dr3、 切线的性质和判定：性质定理：圆的切线垂直于经过切点的【赵老师提示：依据这肯定理，在圆中遇到切线时，常用连接圆心和切点，即可的垂直关系】判定定理：经过半径的且这条半径的直线式圆的切线【赵老师提示：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明；当公共点未标出时，一般可证圆心到直线

3、的距离d=r 来判定相切】4、 切线长定理：切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的长叫做这点到圆的切线长；切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线，它们的相等，并且圆心和这一点的连线平分的夹角5、 三角形的内切圆：与三角形各边都的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的三角形内心的形成：是三角形的交点内心的性质：到三角形各的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分【赵老师提示：三类三角形内心都在三角形如 abc 三边为 a、b、c 面积为 s，内切圆半径为r ，就 s=二、 圆和圆的位置关系：圆和圆的位置关系有，如 abc 为直角三角形，就种，如qo1 半径为r，qo2r=

4、半径为】r，圆心距外，就qo1 与qo2 外距 < >两圆相交 <>qo1 与 qo2 外切 <>两圆内切 < >两圆内含 <>【赵老师提示：两圆相离无公共点包含和两种情形，两圆相切有唯独公共点包含和两种情形，留意题目中两种情形的考虑圆心同是两圆此时 d=三、 反证法：】假设命题的结论，由此经过推理得出由冲突判定所作的假设从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫反证法【赵老师提示：反证法正题的关键是提出即假设所证结论的反面成立，择推理论证得出的冲突可以与相冲突，也可以与相冲突，从而确定原命题成立】【典型例题解析】 考点一：切线的性质例

5、 1（ 2021.永州） 如图， ac 是 o 的直径， pa 是 o 的切线， a 为切点， 连接 pc 交 o于点 b ，连接 ab ，且 pc=10， pa=6 求：（ 1） o 的半径；（2） cos bac 的值考点： 切线的性质 ；勾股定理 ；锐角三角函数的定义分析：（ 1）由 ac 是 o 的直径， pa 是 o 的切线，依据切线的性质，即可得pac=90°，又由 pc=10， pa=6，利用勾股定理即可求得ac 的值，继而求得o 的半径；（ 2）由ac是 o的直径， pa 是 o 的切线，依据圆周角定理与切线的性质，即可得abc= pac=90° ，又由同角

6、的余角相等，可得bac= p，然后在rt pac 中，求得cosp 的值，即可得cos bac 的值解答：解：（ 1） ac 是 o 的直径， pa 是 o 的切线，ca pa， 即 pac=90°，pc=10 ， pa=6，ac=pc 2pa2=8，oa= 1 ac=4 ，2 o 的半径为 4；（2） ac 是 o 的直径， pa 是 o 的切线， abc= pac=90°， p+ c=90°， bac+ c=90°， bac= p，在 rt pac 中， cosp= papc63，1053cos bac=5点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理、 勾

7、股定理以及三角函数的定义此题难度适中，留意把握数形结合思想与转化思想的应用例 2（ 2021.珠海）已知， ab 是 o 的直径，点p 在弧 ab 上（不含点a 、b），把 aop沿 op 对折，点a 的对应点 c 恰好落在 o 上（1）当 p、c 都在 ab 上方时（如图1），判定 po 与 bc 的位置关系（只回答结果）；（2）当 p 在 ab 上方而 c 在 ab 下方时（如图2），（ 1）中结论仍成立吗？证明你的结论；（3）当 p、c 都在 ab 上方时（如图3），过 c 点作 cd 直线 ap 于 d ，且 cd 是 o 的切线，证明： ab=4pd 考点：切线的性质 ；等边三角形的

8、判定与性质； 含 30 度角的直角三角形； 圆心角、弧、弦的关系专题：； 圆周角定理 几何综合题 分析：（ 1）po 与 bc 的位置关系是平行；（2）（ 1）中的结论成立，理由为：由折叠可知三角形apo 与三角形cpo 全等，依据全等三 角 形 的 对 应 角 相 等 可 得 出 apo= cpo ， 再 由oa=op ， 利 用 等 边 对 等 角 得 到a= apo ，等量代换可得出a= cpo，又依据同弧所对的圆周角相等得到a= pcb，再等量代换可得出cop= acb ，利用内错角相等两直线平行，可得出po 与 bc 平行；（3）由 cd 为圆 o 的切线，利用切线的性质得到oc 垂

9、直于 cd ，又 ad 垂直于 cd ，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到oc 与 ad 平行，依据两直线平行内错角相等得到 apo= cop，再利用折叠的性质得到aop= cop ，等量代换可得出apo= aop ，再由 oa=op ，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形aop 三内角相等，确定出三角形aop 为等边三角形，依据等边三角形的内角为60°得到 aop 为 60°，由 op平行于 bc ，利用两直线平行同位角相等可得出obc= aop=6°0 ，再由 ob=oc ，得到三角形 obc 为等边三角形，可得出 cob 为 60&#

10、176;，利用平角的定义得到 poc 也为 60°，再加上 op=oc ，可得出三角形 poc 为等边三角形， 得到内角 ocp 为 60°，可求出 pcd 为 30°，在直角三角形 pcd 中，利用 30°所对的直角边等于斜边的一半可得出 pd 为 pc 的一半，而 pc 等于圆的半径 op 等于直径 ab 的一半，可得出 pd 为 ab 的四分之一，即 ab=4pd ， 得证解答：解：（ 1） po 与 bc 的位置关系是 po bc ；（2）（ 1）中的结论pobc 成立，理由为：由折叠可知：apo cpo， apo= cpo， 又 oa=op ，

11、 a= apo ， a= cpo，又 a 与 pcb 都为 pb 所对的圆周角， a= pcb， cpo= pcb，pobc ；（3） cd 为圆 o 的切线，oc cd ，又 ad cd ，oc ad ， apo= cop，由折叠可得：aop= cop ， apo= aop ，又 oa=op ， a= apo ， a= apo= aop ， apo 为等边三角形， aop=6°0 ，又 op bc ， obc= aop=6°0，又 oc=ob ， bco 为等边三角形， cob=6°0 poc=18°0，-（ aop+ cob ）=60°，又

12、 op=oc， poc 也为等边三角形， pco=6°0 ，pc=op=oc ，又 ocd=9°0 ， pcd=3°0 ，在 rt pcd 中， pd= 1 pc，2又 pc=op= 1 ab ，2pd=1ab ，即 ab=4pd 2点评：此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，折叠的性质，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，娴熟把握性质及判定是解此题的关键对应训练1（ 2021.玉林）如图，已知点o 为 rtabc 斜边 ac 上一点，以点o 为圆心， oa 长为半径的 o 与 bc 相切于点e，与 ac 相交于点d，连

13、接 ae （1）求证： ae 平分 cab ；（2）探求图中1 与 c 的数量关系，并求当ae=ec 时， tanc 的值考点： 切线的性质 ；特别角的三角函数值 专题： 探究型 分析：（ 1）连接 oe，就 oe bc，由于 ab bc ，故可得出ab oe，进而可得出 2= aeo ，由于 oa=oe ，故 1= aeo ，进而可得出1= 2；（2）由三角形外角的性质可知1+ aeo= eoc ，由于 1= aeo ， oec=9°0，所以2 1+ c=90°；当 ae=ce 时， 1= c，再依据 2 1+ c=90°即可得出 c 的度数，由特别角的三角函数

14、值得出tanc 即可解答：（ 1）证明：连接oe， o 与 bc 相切于点e，oe bc ，ab bc ，ab oe， 2= aeo ，oa=oe ， 1= aeo ， 1= 2，即 ae 平分 cab ；（2）解： 2 1+ c=90°， tanc=3 3 eoc 是 aoe 的外角， 1+ aeo= eoc， 1= aeo ， oec=9°0 ，2 1+ c=90°，当 ae=ce 时， 1= c，2 1+ c=90°3 c=90°， c=30°3tanc=tan30 °=3点评： 此题考查的是切线的性质、三角形外角的性

15、质及等腰三角形的性质，在解答此类题目时要熟知 “如显现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系”2（ 2021.泰州）如图，已知直线l 与 o 相离， oa l 于点 a ， oa=5 oa 与 o 相交于点 p， ab 与 o 相切于点 b， bp 的延长线交直线l 于点 c（1）试判定线段ab 与 ac 的数量关系，并说明理由；（2）如 pc=25 ，求 o 的半径和线段pb 的长；（3）如在 o 上存在点q，使 qac 是以 ac 为底边的等腰三角形，求o 的半径 r 的取值范畴考点： 切线的性质 ；等腰三角形的性质；勾股定理 ；直线与圆的位置关系；相像三角形的判定与性质 专

16、题： 运算题 ； 几何综合题 分 析 ：（ 1 ） 连 接ob ， 根 据 切 线 的 性 质 和 垂 直 得 出 oba= oac=9°0， 推 出obp+ abp=90° ， acp+ cpa=90° ，求出 acp= abc ，依据等腰三角形的判定推出即可；（2）延长 ap 交 o 于 d，连接 bd ，设圆半径为r，就 op=ob=r ，pa=5-r ，依据 ab=ac推出 52-r 2=25 2-（ 5-r）2，求出 r ，证 dpb cpa，得出cpap ，代入求出即可；pdbp（3）依据已知得出q 在 ac 的垂直平分线上， 作出线段ac 的垂直平分

17、线mn ，作 oe mn ，求出 oe r，求出 r 范畴，再依据相离得出r 5，即可得出答案解答：解：（ 1） ab=ac ，理由如下：连接 obab 切 o 于 b， oa ac ， oba= oac=9°0， obp+ abp=90° ， acp+ apc=90° ，op=ob ， obp= opb， opb= apc ， acp= abc ，ab=ac ；（2）延长 ap 交 o 于 d，连接 bd，设圆半径为r，就 op=ob=r ，pa=5-r ，22ac =pc2-pa=25 22，-（ 5-r） ab 2=oa 2-ob 2=5 2-r2，52-r

18、2=25 2 -（ 5-r ） 2，解得： r=3，ab=ac=4 ，pd 是直径， pbd=90° =pac， dpb= cpa， dpb cpa，cpap，pdbp2553 ，33bp65解得： pb=565 o 的半径为 3，线段 pb 的长为；5（ 3 ） 作 出 线 段ac的 垂 直 平 分 线mn， 作oe mn， 就 可 以 推 出oe=1ac=211ab=2252r 2 ；又圆 o 要与直线mn 交点，oe= 1522r 5 ，r 2 r，又圆 o 与直线 l 相离，r 5，即5 r 5点评： 此题考查了等腰三角形的性质和判定，相像三角形的性质和判定，切线的性质，勾股

19、定理，直线与圆的位置关系等学问点的应用，主要培育同学运用性质进行推理和运算的能力此题综合性比较强，有肯定的难度考点二：切线的判定例 2 （2021.铁岭）如图， o 的直径 ab 的长为 10，直线 ef 经过点 b 且 cbf= cdb 连接 ad （1）求证：直线ef 是 o 的切线；（2）如点 c 是弧 ab 的中点， sindab=3 ，求 cbd 的面积5考点： 切线的判定 ；圆周角定理 ； 解直角三角形 专题： 探究型 分析：（1）先由 ab 是 o 的直径可得出adb=90° ，再依据 adc= abc ， cbf= cdb即可得出 abf=90° ，故 ef

20、 是 o 的切线；（2）作 bg cd ，垂足是g，在 rt abd 中， ab=10 ， sin dab=3 可求出 bd 的长，5再由 c 是弧 ab 的中点， 可知 adc= cdb=4°5，依据 bg=dg=bdsin4°5可求出 bg 的长，由 dab= dcb 可得出 cg 的长，进而得出cd 的长，利用三角形的面积公式即可得出结论解答：（ 1）证明： ab 是 o 的直径， adb=90° 即 adc+ cdb=9°0 ， adc= abc ， cbf= cdb ， abc+ cbf=90° 即 abf=90° ，ab

21、efef 是 o 的切线；（2）解：作bg cd ，垂足是g， 在 rt abd 中ab=10 ， sin dab= 3 ，5又 sindab=bd ，abbd=6c 是弧 ab 的中点， adc= cdb=4°5 ，bg=dg=bdsin4°5 dab= dcbbg=6×223=32 ，tandcb=，cg4cg=42 ，cd=cg+dg=42 +32 =72 ，s cbd = 12cd.bg=7232221 点评： 此题考查的是切线的判定定理，涉及到圆周角定理、解直角三角形及三角形的面积公式，依据题意作出帮助线，构造出直角三角形是解答此题的关键对应训练考点三：

22、三角形的外接圆和内切圆例 4（ 2021.阜新）如图，在abc 中， bc=3cm ， bac=60° ，那么 abc 能被半径至少为cm 的圆形纸片所掩盖考点： 三角形的外接圆与外心；圆周角定理 ； 锐角三角函数的定义专题： 运算题 分析：作圆o 的直径 cd ，连接bd，依据圆周角定理求出d=60°，依据锐角三角函数的定义得出sin d=bc ，代入求出cd 即可cd解答：解：作圆o 的直径 cd ，连接 bd ，弧 bc 对的圆周角有a 、 d ， d= a=60°，直径 cd ， dbc=9°0 ，sin d= bc ，cd3即 sin60 &#

23、176;=，cd解得： cd=23 ，圆 o 的半径是3 ，故答案为：3 点评： 此题考查了圆周角定理，三角形的外接圆与外心，锐角三角函数的定义的应用，关键bc是得出 sin d=，题目比较典型，是一道比较好的题目cd例 5（ 2021.玉林）如图， rt abc 的内切圆 o 与两直角边ab ， bc 分别相切于点d ，e，过劣弧 de （不包括端点d， e）上任一点p 作 o 的切线 mn 与 ab ， bc 分别交于点m ，n ，如 o 的半径为r，就 rt mbn 的周长为（）a rb 3 rc 2rd5 r22考点： 三角形的内切圆与内心；矩形的判定 ； 正方形的判定 ； 切线长定理

24、 专题： 运算题 分析：连接od 、oe，求出 odb= dbe= oeb=9°0 ，推出四边形odbe 是正方形，得出 bd=be=od=oe=r，依据切线长定理得出mp=dm ， np=ne ，代入mb+nb+mn得出bd+be ，求出即可解答：解：连接od 、oe， o 是 rt abc 的内切圆，od ab ， oebc， abc=90° ， odb= dbe= oeb=9°0 ，四边形 odbe 是矩形，od=oe ，矩形 odbe 是正方形，bd=be=od=oe=r， o 切 ab 于 d ，切 bc 于 e，切 mn 于 p，mp=dm ， np=

25、ne ，rt mbn 的周长为： mb+nb+mn=mb+bn+ne+dm=bd+be=r+r=2r，应选 c点评： 此题考查的学问点是矩形的判定、正方形的判定、 三角形的内切圆和内心、切线长定理等，主要考查运用这些性质进行推理和运算的才能，题目比较好，难度也适中对应训练4（ 2021.台州）已知，如图1， abc 中， ba=bc ， d 是平面内不与a 、b、c 重合的任意一点， abc= dbe ， bd=be （1）求证： abd cbe ；（2）如图 2，当点 d 是 abc 的外接圆圆心时，请判定四边形bdce 的外形，并证明你的结论考点： 三角形的外接圆与外心；全等三角形的判定与

26、性质；菱形的判定 专题： 几何综合题 ；探究型 分析：（ 1）由 abc= dbe可知 abc+ cbd= dbe+ cbd ，即 abd= cbe，依据 sas 定理可知 abd cbe；（ 2）由（ 1）可知， abd cbe ，故ce=ad ，依据点d是 abc外接圆圆心可知da=db=dc ，再由 bd=be 可判定出bd=be=ce=cd ，故可得出四边形bdce 是菱形解答：（ 1）证明： abc= dbe ， abc+ cbd= dbe+ cbd ， abd= cbe ，在 abd 与 cbe 中，babcabdcbe ，bdbe abd cbe4 分（2）解：四边形bdef 是

27、菱形证明如下：同（ 1）可证 abd cbe ，ce=ad ，点 d 是 abc 外接圆圆心，da=db=dc，又 bd=be ，bd=be=ce=cd，四边形 bdce 是菱形点评：此题考查的是三角形的外接圆与外心、全等三角形的判定与性质及菱形的判定定理，先依据题意判定出abd cbe 是解答此题的关键45（ 2021.武汉）在锐角三角形abc 中， bc=5 ， sina=，5（1）如图 1，求三角形abc 外接圆的直径；（2）如图 2，点 i 为三角形 abc 的内心， ba=bc ，求 ai 的长考点： 三角形的内切圆与内心；三角形的面积； 勾股定理 ；圆周角定理 ； 解直角三角形专题

28、： 运算题 分析：（ 1）作直径 cd ，连接 bd，求出 dbc=9°0 ， a= d，依据 sin a 的值求出即可；（2）连接 ic、bi ，且延长 bi 交 ac 于 f，过 i 作 ie ab 于 e，求出 bf ac ， af=cf ， 依据 sina 求出 bfaf ，求出 ac ，依据三角形的面积公式得出 5×r+5×r+6×r=6×4，求出r，在 aif 中，由勾股定理求出 ai 即可解答：（ 1）解：作直径 cd ，连接 bd ，cd 是直径， dbc=9°0 ， a= d，bc=5 ， sin a= 4 ，5si

29、n d=bc4=，cd5cd= 25 ，4答：三角形abc 外接圆的直径是25 4（2）解：连接ic 、bi ，且延长bi 交 ac 于 f，过 i 作 ie ab 于 e，ab=bc=5 ， i 为 abc 内心，bf ac ， af=cf ，sin a= 4 = bf ，5abbf=4 ，在 rt abf 中，由勾股定理得：af=cf=3 ，ac=2af=6 ，i 是 abc 内心， ie ab ， if ac， ig bc，ie=if=ig ， 设 ie=if=ig=r ， abi 、 aci 、 bci 的面积之和等于abc 的面积，1ab×r+21bc×r+21a

30、c×r=21ac×bf，2即 5×r+5×r+6×r=6×4，r= 3 ，2在 aif 中， af=3 ， if=答： ai 的长是 35 233，由勾股定理得：ai=5 22点评： 此题考查了三角形的面积公式，三角形的内切圆和内心，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理等学问点的应用，主要考查同学运用性质进行推理和运算的才能，题目综合性比较强，有肯定的难度考点三：圆与圆的位置关系例 6（ 2021.毕节地区）第三十奥运会将于2021 年 7 月 27 日在英国伦敦开幕，奥运会旗图案有五个圆环组成， 如图也是一幅五环图案，在这个五个圆

31、中， 不存在的位置关系是 （）a 外离b内切c外切d相交考点： 圆与圆的位置关系分析：依据两圆的位置关系易得到它们的位置关系有外切、外离、相交解答：解：观看图形，五个等圆不行能内切，也不行能内含，并且有的两个圆只有一个公共点，即外切；有的两个圆没有公共点，即外离；有的两个圆有两个公共点，即相交应选 b 点评：此题考查了圆与圆的位置关系：如两圆的半径分别为r，r，圆心距为d，如 d r+r ，两圆外离；如d=r+r ，两圆外切；如r-rd r+r （ rr），两圆相交；如d=r-r（ r r），两圆内切；如0dr-r （ r r），两圆内含对应训练6（ 2021.德阳）在平面直角坐标系xoy 中

32、，已知点a （ 0， 2）， a 的半径是2， p 的半径是 1，满意与 a 及 x 轴都相切的 p 有个6 4考点： 圆与圆的位置关系； 坐标与图形性质； 直线与圆的位置关系分析：分两圆内切和两圆外切两种情形争论即可得到p 的个数解答：解：如图，满意条件的p 有 4 个，故答案为4点评： 此题考查了圆与圆的位置关系、坐标与图形的性质及直线与圆的学问，能充分考虑到分内切和外切是解决此题的关键【聚焦山东中考】1（ 2021.济南）已知 o1 和 o2 的半径是一元二次方程x2 -5x+6=0 的两根，如圆心距 o1o2=5，就 o1 和 o2 的位置关系是（）a 外离b外切c相交d内切考点： 圆

33、与圆的位置关系分析：先依据一元二次方程根与系数的关系，可知圆心距=两圆半径之和，再依据圆与圆的位置关系即可判定解答：解：o1 和 o2 的半径是一元二次方程x 2-5x+6=0 的两根，两根之和 =5= 两圆半径之和，又圆心距o1o2=5，两圆外切应选 b 点评：此题综合考查一元二次方程根与系数的关系及两圆的位置关系的判定圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：两圆外离 . d r+r ；两圆外切 . d=r+r ；两圆相交 . r-r d r+r（ rr）；两圆内切 . d=r-r （ r r）；两圆内含 . d r-r（ r r）2（ 2021.青岛）已知，o1 与 o2 的半径

34、分别是4 和 6，o1o2=2 ，就 o1 与 o2 的位置关系是（）a 内切b相交c外切d外离考点： 圆与圆的位置关系分析：由 o1 与 o2 的半径分别是4 和 6， o1o2=2，依据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径 r，r 的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系解答：解：o1 与 o2 的半径分别是4 和 6， o1o2=2，o1o2 =6-4=2 ， o1 与 o2 的位置关系是内切 应选 a 点评：此题考查了圆与圆的位置关系此题比较简洁，留意把握两圆位置关系与圆心距d， 两圆半径 r， r 的数量关系间的联系是解此题的关键3（ 2021.泰安）如图，ab 与 o 相切于点b， ao

35、 的延长线交 o 于点 c，连接 bc，如abc=12°0， oc=3 ，就 bc 的长为（）a b 2c 3d 5 考点：切线的性质；弧长的运算分析：连接ob ，由于 ab 是切线，那么abo=9°0，而abc=12°0，易求 obc ，而 ob=oc ，那么 obc= ocb ，进而求出 boc的度数，在利用弧长公式即可求出bc的长解答：解：连接ob，ab 与 o 相切于点b， abo=9°0， abc=12°0， obc=3°0 ，ob=oc ， ocb=3°0 ， boc=12°0 ， bc的长为 nr 1

36、80 =120 ×× 3 180，=2 应选 b 点评：此题考查了切线的性质、弧长公式，解题的关键是连接ob，构造直角三角形4（ 2021.潍坊）已知两圆半径r1、r2 分别是方程x 2-7x+10=0 的两根，两圆的圆心距为7，就两圆的位置关系是（）a 相交b内切c外切d外离考点： 圆与圆的位置关系； 解一元二次方程-因式分解法 分析：第一解方程x2-7x+10=0 ，求得两圆半径r1、r2 的值，又由两圆的圆心距为7，依据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径r，r 的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系解答：解： x2-7x+10=0 ，（ x-2）（ x-5）=0 ，x

37、1=2， x2=5，即两圆半径r 1、r2 分别是 2，5，2+5=7 ，两圆的圆心距为7，两圆的位置关系是外切应选 c点评： 此题考查了圆与圆的位置关系与一元二次方程的解法此题比较简洁， 留意把握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径r， r 的数量关系间的联系是解此题的关键5（ 2021.济南）如图，在rt abc中， b=90°， ab=6 ， bc=8 ，以其三边为直径向三角 形外作三个半圆，矩形efgh 的各边分别与半圆相切且平行于ab 或 bc，就矩形 efgh 的周长是5 4848 考点：切线的性质；勾股定理；矩形的性质分析：第一取 ac 的中点 o，过点 o 作 mn ef

38、，pq eh，由题意可得pq ef，pq gh ， mn eh ，mn fg， pl ， kn ， om ，oq 分别是各半圆的半径，ol ， ok 是 abc的中位线，又由在rt abc 中， b=90°，ab=6 ， bc=8 ，即可求得个线段长，继而求得答案解答：解：取ac 的中点 o，过点 o 作 mn ef， pq eh ，四边形 efgh 是矩形，eh pq fg， ef mn gh ， e= h=90°，pqef， pqgh ， mn eh， mn fg，ab ef， bc fg，ab mn gh ， bc pqfg，al=bl ， bk=ck ，ol= 1

39、bc= 1 ×8=4 ，ok= 1 ab= 1 ×6=3，2222矩形 efgh 的各边分别与半圆相切，pl=1ab=21×6=3 ， kn=21bc=21×8=4，2在 rt abc 中， ac=om=oq=1 ac=5 ，2ab 2 +bc2=10 ，eh=fg=pq=pl+ol+oq=3+4+5=12， ef=gh=mn=om+ok+nk=5+3+4=12，矩形 efgh 的周长是： ef+fg+gh+eh=12+12+12+12=48故答案为： 48点评： 此题考查了切线的性质、矩形的性质， 三角形中位线的性质以及勾股定理等学问此题难度较大，解题

40、的关键是把握帮助线的作法，留意数形结合思想的应用6（ 2021.菏泽） 如图， pa，pb 是 o 是切线， a ，b 为切点， ac 是 o 的直径， 如 p=46°，就 bac=度6 23考点：切线的性质专题：运算题分析：由 pa、pb 是圆 o 的切线，依据切线长定理得到pa=pb，即三角形apb 为等腰三角形，由顶角的度数，利用三角形的内角和定理求出底角的度数，再由ap 为圆 o 的切线， 得到 oa 与 ap 垂直，依据垂直的定义得到oap 为直角，再由 oap- pab 即可求出 bac的度数解答：解： pa，pb 是 o 是切线，pa=pb ，又 p=46°，

41、 pab= pba= 180 -462=67 °，又 pa 是 o 是切线， ao 为半径，oa ap ， oap=9°0 ， bac= oap- pab=90° -67 °=23°故答案为： 23；点评：此题考查了切线的性质，切线长定理， 等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理，娴熟把握定理及性质是解此题的关键7（ 2021.烟台）如图， ab 为 o 的直径，弦cd ab ，垂足为点e，cf af ，且 cf=ce （1）求证： cf 是 o 的切线；（2）如 sin bac=25，求s cbd 的值s abc考点： 切线的判定 ；圆周角

42、定理 ； 相像三角形的判定与性质分析：（ 1）第一连接 oc ，由 cd ab ， cf af ， cf=ce ，即可判定 ac 平分 baf ，由圆周角定理即可得 boc=2 bac ，就可证得 boc= baf ，即可判定 oc af ，即可证得 cf 是 o 的切线；（2）由垂径定理可得 ce=de ，即可得 s cbd =2s ceb，由 abc cbe ，依据相像三角形的面积比等于相像比的平方， 易求得 cbe 与 abc 的面积比， 继而可求得 s cbd 的值s abc解答：（ 1）证明：连接oc ce ab ， cf af ， ce=cf ，ac 平分 baf ，即 baf=2

43、 bac boc=2 bac ， boc= baf oc af cf oc cf 是 o 的切线（2）解： ab 是 o 的直径， cd ab ，ce=ed ， acb= bec=90° s cbd =2s ceb， bac= bce， abc cbe s cbebc=2=（ sin bac ）2= 2 2=4 s abcab525s cbd8=s abc25点评：此题考查了切线的判定、垂径定理、相像三角形的判定与性质以及圆周角定理等学问此题难度适中，留意把握帮助线的作法，留意数形结合思想的应用【备考真题过关】一、挑选题1（ 2021.恩施州）如图，两个同心圆的半径分别为4cm 和

44、5cm，大圆的一条弦ab 与小圆相切，就弦ab 的长为（）a 3cm b 4cm c 6cm d 8cm考点：切线的性质；勾股定理；垂径定理分析：第一连接oc， ao ，由切线的性质，可 得 oc ab ，由垂径定理可得ab=2ac ，然后由勾股定理求得ac 的长，继而可求得ab 的长解答：解：如图，连接oc， ao ，大圆的一条弦ab 与小圆相切，oc ab ，ac=bc=1 ab ，2oa=5cm ， oc=4cm ，在 rt aoc 中， ac=ab=2ac=6 （cm ）应选 coa 2 -oc2=3cm ，点评： 此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理此题难度不大，留意数形结合思

45、想的应用，留意把握帮助线的作法2（ 2021.河南）如图，已知ab 是 o 的直径， ad 切 o 于点 a ， ecbc 就以下结论中不肯定正确选项（）a ba dab oc aec coe=2 caed od ac考点：切线的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理分析：分别依据切线的性质、平行线的判定定理及圆周角定理对各选项进行逐一判定即可解答：解： ab 是 o 的直径， ad 切 o 于点 a ，ba da ，故 a 正确； ecbc ， eac= cab ，oa=oc ， cab= aco ， eac= aco ，oc ae ，故 b 正确； coe 是 ce 所对的圆心角，cae

46、是 ce 所对的圆周角， coe=2 cae ，故 c 正确；只有当 ae = ce 时 od ac ，故本选项错误 应选 d 点评：此题考查的是切线的性质，圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解答此题的关键3（ 2021.黄石）如下列图，直线 cd 与以线段 ab 为直径的圆相切于点 d 并交 ba 的延长线于点 c，且 ab=2 ， ad=1 ， p 点在切线 cd 上移动当 apb 的度数最大时，就 abp 的 度 数 为 （ ）a 15°b 30°c 60°d 90°考点：切线的性质；三角形的外角性质；圆周角定理分

47、析：连接bd ，由题意可知当p 和 d 重合时， apb 的度数最大，利用圆周角定理和直角三角形的性质即可求出abp 的度数解答：解：连接bd ，直线 cd 与以线段ab 为直径的圆相切于点d， adb=90° ，当 apb 的度数最大时，就 p 和 d 重合， apb=90° ，ab=2 ， ad=1 ，sin dbp= ad= 1 ，ab2 abp=30° ，当 apb 的度数最大时，abp 的度数为30°应选 b 点评： 此题考查了切线的性质，圆周角定理以及解直角三角形的有关学问，解题的关键是由题意可知当p 和 d 重合时， apb 的度数最大为9

48、0°4（ 2021.乐山）o1 的半径为3 厘米， o2 的半径为2 厘米，圆心距o1o2=5 厘米，这两圆的位置关系是（）a 内含b内切c相交d外切考点： 圆与圆的位置关系分析：由 o1 的半径为3 厘米， o2 的半径为2 厘米，圆心距o1o2=5 厘米，依据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径r， r 的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系解答：解：o1 的半径 r=3 ， o2 的半径 r=2 ，3+2=5 ，两圆的圆心距为o1o2=5，两圆的位置关系是外切应选 d 点评：此题考查了圆与圆的位置关系解题的关键是熟记两圆位置关系与圆心距d，两圆半径 r， r 的数量关系间的联系6（ 2021.上海）假如两圆的半径长分别为6 和 2，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（）a 外离b相切c相交d内含考点： 圆与圆的位置关系分析：由两个圆的半径分别为6 和 2，圆心距为3，依据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径 r， r 的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系解答：解：两个圆的半径分别为6 和 2，