【最新】高考考点完全题数学（文） 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 35

1、考点测试35基本不等式一、基础小题1“a>0且b>0”是“”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析a>0且b>0，但a>0且b>0，只能推出a0且b0.2函数f(x)x(x<0)的值域为()A(，0)B(，2C若直线1(a>0，b>0)过点(1,1)，则ab的最小值等于()A2B3C4D5答案C解析因为直线1(a>0，b>0)过点(1,1)，所以1.所以ab(ab)·222 4，当且仅当ab2时取“”，故选C.14若实数a，b满足，则ab的最小值为()AB2C2D4答案C解

2、析依题意知a>0，b>0，则2，当且仅当，即b2a时，“”成立因为，所以，即ab2，所以ab的最小值为2，故选C.15若log4(3a4b)log2，则ab的最小值是()A62B72C64D74答案D解析由log4(3a4b)log2，得3a4bab，且a>0，b>0，a，由a>0，得b>3.abbb(b3)72747，即ab的最小值为74.16要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_(单位：元)答案160解析设底面的边长分别为x m，y m，总造价为T元，则

3、Vxy·14xy4.T4×20(2x2y)×1×108020(xy)8020×28020×4160.(当且仅当xy时取等号)故该容器的最低总造价是160元17设a，b>0，ab5，则的最大值为_答案3解析令t，则t2()2a1b32·9a1b318，当且仅当a1b3时，即a，b时，等号成立即t的最大值为3.18定义运算“”：xy(x，yR，xy0)当x>0，y>0时，xy(2y)x的最小值为_答案解析由xy，得xy(2y)x.因为x>0，y>0，所以，当且仅当xy时，等号成立三、模拟小题19在下

4、列各函数中，最小值等于2的函数是()AyxBycosxCyDyex2答案D解析当x<0时，yx2，故A错误；因为0<x<，所以0<cosx<1，所以ycosx>2，故B错误；因为，所以y2中等号取不到，故C错误；因为ex>0，所以yex22 22，当且仅当ex，即ex2时等号成立，故选D.20设正实数a，b满足ab1，则()A有最大值4B有最小值C有最大值Da2b2有最小值答案C解析由于a>0，b>0，由基本不等式得1ab2，当且仅当ab时，等号成立，ab，4，因此的最小值为4，a2b2(ab)22ab12ab1，()2ab212112，所

5、以有最大值，故选C.21若函数f(x)(a<2)在区间(1，)上的最小值为6，则实数a的值为()A0BC1D答案B解析由题意得f(x)2(x1)42424，当且仅当2(x1)，即x1时，等号成立，所以246，即a，故选B.22设a，bp，cxy，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是()A(1,3)B(1,2CD答案A解析对任意的正实数x，y，由于a，当且仅当xy时等号成立，bp，cxy2，当且仅当xy时等号成立，且三角形的任意两边之和大于第三边，所以2>p，且p>2，且p2>，解得1<p<3，故实数p的取值范围是(

6、1,3)，故选A.23已知a>b>1，且2logab3logba7，则a的最小值为_答案3解析令logabt，由a>b>1，得0<t<1,2logab3logba2t7，得t，即logab，ab2，所以aa112 13，当且仅当a2时取等号24设x>0，y>0，且2，则当x取最小值时，x2_.答案12解析x>0，y>0，当x取最小值时，2取得最小值，2x2，2，x2，2216，x4，当且仅当，即x2y时取等号，当x取最小值时，x2y，x216，即x216，x216412.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题1已知l

7、g (3x)lg ylg (xy1)(1)求xy的最小值；(2)求xy的最小值解由lg (3x)lg ylg (xy1)，得(1)x>0，y>0，3xyxy121.3xy210，即3()2210.(31)(1)0.1，xy1.当且仅当xy1时，等号成立xy的最小值为1.(2)x>0，y>0，xy13xy3·2.3(xy)24(xy)40.0.xy2.当且仅当xy1时取等号，xy的最小值为2.2某地需要修建一条大型输油管道通过240 km宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)

8、经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x2x万元设余下工程的总费用为y万元(1)试将y表示成x的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？解(1)设需要修建k个增压站，则(k1)x240，即k1.所以y400k(k1)(x2x)400240x160.因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0<x<240.故y与x的函数关系是y240x160(0<x<240)(2)y240x16021602×48001609440，当且仅当240x，即x20时等号成立，此时k1111.故需要修建11个增压

9、站才能使y最小，其最小值为9440万元3某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室问该商人会选择哪种方案？解(1)设第n年获取利润为y万元n年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n年付出的装修费之和为n×1×2n2，又投资81万元，n年共收入租金30n万元，利润y30nn281(nN*)令y>

10、;0，即30nn281>0，n230n81<0，解得3<n<27(nN*)，从第4年开始获取纯利润(2)方案：年平均利润t30n3030212(当且仅当n，即n9时取等号)，年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×946154(万元)方案：纯利润总和y30nn281(n15)2144(nN*)，当n15时，纯利润总和最大，为144万元，纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润14410154(万元)，两种方案盈利相同，但方案时间比较短，所以选择方案.4为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的

11、浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1a4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据：取1.4)解(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度f(x)4y则当0x4时，由44，解得x0，所以此时0x4.当4<x10时，由202x4，解得