初中数学压轴题试题及解答

1、学习必备欢迎下载中学数学压轴题试题及解答1（ 10 贵州遵义）如图，已知抛物线yax 2bxca0 的顶点坐标为 q 2,1 ，且与 y 轴交于点c0,3，与 x 轴交于 a、b 两点（点 a 在点 b 的右侧），点 p 是该抛物线上一动点，从点c沿抛物线向点a 运动（点 p 与 a 不重合），过点 p 作 pd y 轴，交 ac于点 d(1) 求该抛物线的函数关系式；(2) 当 adp是直角三角形时，求点p 的坐标；(3) 在问题 2 的结论下，如点e 在 x 轴上，点f 在抛物线上，问是否存在以a、p、e、f 为顶点的平行四边形？如存在，求点 f 的坐标；如不存在，请说明理由答案：解：（

2、1）抛物线的顶点为q（ 2，-1 ）设 ya x2 21将 c（0， 3）代入上式，得3a 02 21a1 yx2 21， 即 yx 24 x32 ）分两种情形：当点 p1 为直角顶点时 , 点 p1 与点 b 重合 如图 令 y =0,得 x 24x30解之得 x11,x23点 a 在点 b 的右边 , b1,0, a3,0 p11,0解 : 当点 a 为 apd2 的直角顶点是 如图 oa=oc, aoc=90 , oad2= 45当 d2ap2 =90时, oap2=45 , ao平分 d2ap2又 p2d2 y 轴 , p2d2ao,p2、d2 关于 x 轴对称 .设直线 ac的函数关

3、系式为y将 a3,0, c0,3代入上式得kxb03kbk1,3bb3 yx3 d2 在 yx3 上, p 2 在 yx 24x3 上,设 d2 x ,x3 , p2 x , x24 x3 x3 +x24 x3 =0x25x60 , x12 ,x23 舍学习必备欢迎下载当 x=2 时,yx2= 2 24 x3423 =-1 p2 的坐标为p22,-1即为抛物线顶点 p 点坐标为p11,0, p22,-13解:由题 2 知, 当点 p 的坐标为p11,0时, 不能构成平行四边形当点 p的坐标为p22,-1即顶点 q时,平移直线ap如图 交 x 轴于点 e, 交抛物线于点f.当 ap=fe时, 四

4、边形 pafe是平行四边形 p2,-1,可令 f x ,1 x 24 x31解之得 :x122 ,x222 f 点有两点 , 即 f1 22 ,1, f2 22 ,12（ 10 湖北黄冈）已知抛物线yax2bxca0 顶点为 c（ 1，1）且过原点o.过抛物线上一点 p（ x ， y）向直线y1）求字母a，b， c 的值；35作垂线，垂足为m ，连 fm （如图） .42）在直线x 1 上有一点f 1, ，求以 pm 为底边的等腰三角形pfm 的 p 点的坐标，并4证明此时 pfm 为正三角形；3）对抛物线上任意一点p，是否总存在一点n （ 1， t），使 pm pn 恒成立，如存在恳求出 t

5、 值，如不存在请说明理由.答案：（ 1）a 1， b 2， c 012）过 p 作直线x=1 的垂线，可求p 的纵坐标为4，横坐标为 1123 .此时， mp mf pf 1，故 mpf 为正三角形 .学习必备欢迎下载53）不存在 .由于当 t4pm 与 pn 不行能相等 .，x 1 时， pm 与 pn 不行能相等，同理，当t5，x 1 时，43（ 10 辽宁丹东）如图，平面直角坐标系中有始终角梯形omn，h点 h的坐标为（8， 0），点 n的坐标为（6， 4）1 ）画出直角梯形omnh绕点 o旋转 180°的图形oab，c 并写出顶点a，b，c 的坐标（点 m的对应点为a， 点

6、n 的对应点为b， 点 h的对应点为c）；2 ）求出过a，b， c 三点的抛物线的表达式；3 ）截取 ce=of=ag=m，且 e，f，g分别在线段co，oa，ab上，求四边形 befg的面积 s与 m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范畴； 面积 s 是否存在最小值.如存在，恳求出这个最小值；如不存在，请说明理由；4）在（ 3）的情形下，四边形befg是否存在邻边相等的情形，如存在，请直接 写出此时 m的值，并指出相等的邻边；如不存在，说明理由yh（-8 ，0）oxmn（-6 ，-4 ）答案：（ 1） 利用中心对称性质，画出梯形oabc学习必备欢迎下载 a， b， c 三点与 m， n，

7、h 分别关于点o中心对称， a（ 0， 4）， b（ 6， 4），c（ 8， 0） 写错一个点的坐标扣1 分）yadbfh 8oecxmn 6， 42 ）设过 a， b， c 三点的抛物线关系式为yax2bxc ，抛物线过点a（ 0， 4）， c4 就抛物线关系式为yax 2bx4 将 b（ 6， 4）， c（ 8， 0）两点坐标代入关系式，得36a 64a解得6b44，8b40a 1 ， 4b 3 2所求抛物线关系式为：y1 x23x4 423 ） oa=4， oc=8， af=4 m，oe=8 m s四边形 efgbs梯形abcos agfs eofs bec1oa（ ab+oc）21af

8、· ag21oe· of21ce· oa214 （628） 1 m 42m1 m8m214m2m28m28 0 m 4） s m4 212 当 m4 时， s 的取最小值学习必备欢迎下载又 0 m 4，不存在m值，使 s 的取得最小值4 ）当 m226 时， gb=gf，当 m2 时， be=bg4已知：函数y=ax2+x+1 的图象与x 轴只有一个公共点1）求这个函数关系式；2）如下列图，设二次函数 y=ax2+x+1 图象的顶点为b，与 y 轴的交点为a，p 为图象上的一点，如以线段pb 为直径的圆与直线ab 相切于点 b，求 p 点的坐标；3）在 2 中，如

9、圆与x 轴另一交点关于直线pb 的对称点为m ，摸索究点m 是否在抛物线 y=ax2+x+1 上，如在抛物线上，求出m 点的坐标；如不在，请说明理由yabox答案：解 ：（1）当 a= 0时，y= x+1，图象与x 轴只有一个公共点当a0 时，=1- 4a=0，a = 1 ，此时，图象与x 轴只有一个公共点4函数的解析式为：y=x+1 或y=14x2+x+12）设 p 为二次函数图象上的一点，过点 p 作 pcx轴于点 c y=ax2+x+1 是二次函数，由（1）知该函数关系式为：12y=4 x+x+1，就顶点为b（ -2，0），图象与y 轴的交点坐标为 a（ 0，1）以 pb 为直径的圆与直

10、线ab 相切于点b pb ab就 pbc= bao rtpcb rt boa pcobbc ，故 pc=2 bc，设 p 点的坐标为 x，y， abo 是锐角， pba 是直角，ao pbo 是钝角， x<-2 bc=-2- x， pc=-4-2 x，即 y=-4-2 x， p 点的坐标为 x， -4-2x点 p 在二次函数y=14x2+x+1 的图象上，-4-2x=14x2 +x+1 解之得： x1=-2， x2 =-10 x<-2 x=-10， p 点的坐标为： -10，163 ）点 m 不在抛物线 y=ax2+x+1 上由（ 2）知： c 为圆与 x 轴的另一交点，连接cm

11、，cm 与直线 pb 的交点为q，过点 m 作 x 轴的垂线，垂足为d ，取 cd 的中点 e，连接 qe，就 cm pb，且 cq=mq学习必备欢迎下载 qemd ，qe=12md ，qe ce cm pb，qe cepc x 轴 qce = eqb = cpb tanqce = tan eqb= tancpb =12ce=2qe =2× 2be=4be，又 cb=8，故 be=85， qe 16=5 q 点的坐标为 -18516， 5可求得 m 点的坐标为 14532， 551 14 42+145+1 =1443225 5 c 点关于直线pb 的对称点m 不在抛物线 y=ax2+

12、x+1 上5（ 10 重庆潼南）如图,已知抛物线y1 x22bxc 与 y 轴相交于c，与 x 轴相交于a 、b，点 a 的坐标为（ 2， 0），点 c 的坐标为（ 0， -1 ） . 1 ）求抛物线的解析式；2 ）点 e 是线段 ac 上一动点， 过点 e 作 de x 轴于点 d ，连结 dc ，当 dce 的面积最大时，求点d 的坐标；3）在直线bc 上是否存在一点p，使 acp 为等腰三角形，如存在，求点p 的坐标，如不存在，说明理由.y答案：解：（ 1）二次函数y1 x2bx2bc 的图像经过点a（ 2， 0）occ0,daxe122bc0c 1126题图解得：b=2c= 1二次函数

13、的解析式为y1 x 221 x122 ）设点 d 的坐标为（ m，0） 0 m 2） od =m ad =2- m由 ad e aoc 得， addeaooc 2mde21学习必备欢迎下载2mde =2 cde 的面积 =1 × 2m × mm2m=221 m1214244当 m=1 时， cde 的面积最大点 d 的坐标为（ 1， 0）3）存在由1 知：二次函数的解析式为y1 x221 x12设 y=0 就 01 x 221 x12解得： x1=2x2= 1点 b 的坐标为（ 1， 0）c（ 0， 1）设直线 bc的解析式为： y=kx bkb0b1解得： k=-1b=-

14、1直线 bc的解析式为 :y= x 10在 rt aoc 中， aoc=90 oa=2 oc=1由勾股定理得：ac=5点 b 1,0点 c（ 0， 1） ob=oc bco=450当以点c 为顶点且pc=ac= 5 时，设 pk, k 1过点 p 作 ph y 轴于 h hcp= bco=450ch=ph= k在 rt pch中k2+k2=5 2k =10 ， k =10解得1222 p1（10 ，101 ） p2（ 2210 ，101 ）22以 a 为顶点，即ac=ap= 5设 pk, k 1过点 p 作 pg x 轴于 g ag= 2 k gp= k 1在 rt apg 中ag 2 pg2

15、=ap22 k 2+ k1 2=5解得： k1=1, k2=0 舍学习必备欢迎下载 p31,2以 p 为顶点， pc=ap设 p k,k 1过点 p 作 pq y 轴于点 qpl x 轴于点 l l k,0 qpc 为等腰直角三角形pq=cq=k由勾股定理知cp=pa=2 k al= k-2 , pl= k 1 在 rt pla 中2 k 2=k 2 2 k 1 24解得： k= 5 p 257,22综上所述：存在四个点： p1（10 ，101 ）22p2（ -10 ，101 ）p31, 2p42257,226 10 山东临沂）如图，二次函数y=x2ax b 的图像与 x 轴交于 a1 ，y0

16、、b2， 0两点，且与 y 轴交于点 c；(1) 求该拋物线的解析式，并判定abc 的外形；(2) 在 x 轴上方的拋物线上有一点d，且以 a、c、d、b 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出d 点的坐标；(3) 在此拋物线上是否存在点p，使得以 a、c、b、p 四点2cxaob为顶点的四边形是直角梯形？如存在，求出p 点的坐标；如不存在，说明理由；答案： 解 1依据题意，将a1 ， 0， b2， 0代入y=x2ax b中，得211ab4242ab0，解这个0时， y=1，方程，得 a= 3 ，b=1，该拋物线的解析式为y=x223 x1， 当 x=0222点c的坐标为0，1；在aoc中，

17、ac=oaoc= 1 2212 =5 ；2在 boc 中， bc=ob 2oc 2 =2212=5 ；ab=oa ob= 12= 5 ， ac 2bc 2= 55= 25 =ab 2， abc2244学习必备欢迎下载是直角三角形；(2) 点 d 的坐标为 3 ，1；2(3) 存在；由 1 知， acbc；如以 bc 为底边，就 bc/ap，如图 1 所示，可求得直线ybc 的解析式为 y=1 x 1，直线 ap 可以看作是由直线2cabxbc 平移得到的，所以设直线ap 的解析式为 y=1 xb，o2把点 a1 ，0代入直线 ap 的解析式，求得b=1 ，p24直线 ap 上，直线 ap 的解

18、析式为 y=1 x1 ；点 p 既在拋物线上，又在24点 p 的纵坐标相等，即x23 x 1=1 x1 ，解得 x1= 5 ，x2 =2242y1 舍去；当 x= 5 时，y=3 ，点 p 5 ，322222c；ab x o如以 ac 为底边，就 bp/ac，如图 2 所示；可求得直线 ac 的解析式为 y=2x 1；直线 bp 可以看作是由直线ac 平移得到的，所以设直线 bp 的解析式为 y=2xb，把点 b2，0代入直线 bp 的解析式，求得 b=4，直线 bp 的解析式为 y=2x 4；点 p 既在拋物线上，又在直线 bp 上，点 p 的纵坐标相等，即 x23 x 1=2x 4，解得

19、x1=25 ， x2 =2舍去；2当 x=5 时， y=9，点 p 的坐标为 25 ， 9；p2综上所述，满意题目条件的点p 为 5 ，23 或25 ， 9 ；27（ 10 山东潍坊）如下列图，抛物线与x 轴交于点a1，0 、b3，0两点，与y 轴交于点c0， 3 . 以 ab 为直径作m ，过抛物线上一点p 作 m的切线 pd，切点为 d，并与m 的切线 ae 相交于点e，连结 dm 并延长交 m于点 n，连结an、ad.1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标； 2 ）如四边形eamd 的面积为 43，求直线 pd的函数关系式；3）抛物线上是否存在点p ，使得四边形eamd的面积等

20、于dan的面积？如存在，求出点p 的坐标；如不存在，说明理由.学习必备欢迎下载答案：解：（ 1）由于抛物线与x 轴交于点a1，0、b 3，0两点，设抛物线的函数关系式为： ya x1x3 ，抛物线与y 轴交于点 c0， 3 ，3a0103 ， a1.所以，抛物线的函数关系式为：yx22 x3，2又 yx14，因此，抛物线的顶点坐标为1， 4 2）连结 em ， ea、ed 是m ，的两条切线， eaed， eaam ，edmn， eam edm又四边形 eamd 的面积为 43，s eam23， 1 am·ae223，又 am2， ae23.因此，点 e 的坐标为e11，23或 e2

21、1，23 .当 e 点在其次象限时，切点d 在第一象限 .在直角三角形eam 中，tanemaea233，am2ema60°，dmb60°过切点 d 作 dfab，垂足为点 f， mf1， df3因此，切点d 的坐标为2， 3 学习必备欢迎下载设直线 pd 的函数关系式为ykxb， 将 e1，23 、d2， 3的坐标代入得32kb23kbk3解之，得3b533所以，直线pd 的函数关系式为y3 x53 .33当 e 点在第三象限时，切点d 在第四象限 .同理可求：切点d 的坐标为2， -3 ，直线 pd 的函数关系式为y3 x53 .33因此，直线pd 的函数关系式为y3

22、x53 或 y3 x53 .33333）如四边形eamd 的面积等于dan的面积又 s四边形 eamd2 s eam ， s dan2s amd s amds eam e、d 两点到 x 轴的距离相等， pd 与 m相切，点d 与点 e 在 x 轴同侧，切线 pd 与 x 轴平行，此时切线 pd 的函数关系式为y2 或 y2.当 y2 时，由yx22x3 得， x16；当 y2 时，由yx22 x3 得， x12.故满意条件的点p 的位置有4 个，分别是p1 16，2、p216，2、 p312， 2 、p4 12， 2 .说明 ： 本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考标准给出相应分

23、数.810 山东省淄博 已知直角坐标系中有一点a（ 4，3），点 b 在 x 轴上， aob 是等腰三角形1）求满意条件的全部点b 的坐标；2）求过 o、a、b 三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满意条件的一条学习必备欢迎下载即可）；3）在（ 2）中求出的抛物线上存在点p，使得以o， a， b， p 四点为顶点的四边形是梯形，求满意条件的全部点p 的坐标及相应梯形的面积【答案】解：作ac x 轴，由已知得oc 4，ac3， oaoc 2ac2 51）当 oa ob 5 时，假如点 b 在 x 轴的负半轴上，如图（1），点 b 的坐标为（5，0）假如点 b 在 x 轴的正半轴上，如图（

24、2），点 b 的坐标为（ 5， 0）yyaabcoxcobx12当 oa ab 时，点 b 在 x 轴的负半轴上， 如图（3），bc oc，就 ob 8，点 b 的坐标为 （8， 0）当 abob 时，点 b 在 x 轴的负半轴上，如图（4），在 x 轴上取点d ，使 ad oa，可知obod 8由 aob oab oda ，可知 aob oda ，就oa25oa，解得 obod25 ，8点 b 的坐标为（，8yyaa0）bcoxd34box2）当 ab oa 时，抛物线过o（ 0， 0）， a（ 4， 3），b（ 8， 0）三点，设抛物线的函数表达式为yax 2bx ，可得方程组64a8b1

25、6a4b0，解得 a333， b，162y3 x 2163 x 23215当 oaob 时，同理得yxx 44学习必备欢迎下载3）当 oa ab 时，如 bp oa，如图（ 5），作 pe x 轴，就 aoc pbe， aco peb90°， aoc pbe， pebeac3 设 be 4m，pe 3m，就点 p 的坐标为（ 4moc48， 3m），代入 y3 x 2163 x ，解得 m 32就点 p 的坐标为（ 4， 9）， s 梯形 abpo s abo s bpo 48如 op ab（图略），依据抛物线的对称性可得点p 的坐标为（ 12， 9），s 梯形 aopb s abo

26、 s bpo 48yabecox5pyafbcoxp6当 oaob 时，如 bp oa，如图（ 6），作 pf x 轴，就 aoc pbf ， aco pfbpf90°， aoc pbf ，bfac3oc4设 bf 4m，pf 3m，就点 p 的坐标为（ 4m5， 3m），代入 y3 x 2415 x ，解得 m 3 42学习必备欢迎下载9就点 p 的坐标为（ 1，），275s 梯形 abpo s abo s bpo4如 op ab（图略），作 pf x 轴，就 abc pof ， acb pfo 90°， abc pof ，pfacofbc3 设点 p 的坐标为（n， 3

27、n），代入 y3 x2415 x ，解得 n 9就4点 p 的坐标为（9， 27）， s 梯形 aopb s abo s bpo 759 10 广西河池）如图 11，在直角梯形oabc 中， cb oa ，oab90 ，点 o 为坐标原点， 点 a 在x 轴的正半轴上，对角线ob ， ac 相交于点 m ， oaab4 ， oa2cb 1 ）线段 ob 的长为，点 c 的坐标为；2 ）求 ocm 的面积；y3 ）求过 o ， a ， c 三点的抛物线的解析式；4 ）如点 e 在（ 3）的抛物线的对称轴上，点f 为该cb抛物线上的点，且以a ， o ， f ， e 四点为顶点的四边形为平行四边形

28、，求点f 的坐标m答案：解：（ 1） 42；2,4. 2）在直角梯形oabc 中， oa=ab=4，cb oa oam bcm又 oa=2bcoab90oax图 111 am 2cm ， cm ac3所以 s1socmoac114483323 注：另有其它解法同样可得结果，正确得本小题满分. ）3 ）设抛物线的解析式为yax2bxc a0由抛物线的图象经过点o0,0, a 4,0, c2,4. 所以学习必备欢迎下载c016a4bc0 4a2bc4解这个方程组，得a1 ， b4 ， c0所以抛物线的解析式为yx24 x4）抛物线yx24 x 的对称轴是cd ， x2 当点 e 在 x 轴的下方时

29、，ce 和 oa 相互平分就可知四边形oeac 为平行四边形，此时点 f 和点 c 重合，点f 的坐标即为点c2,4； 当点 e 在 x 轴的下方， 点 f 在对称轴x2 的右侧，存在平行四边形aoef ，oa ef ，且 oaef，此时点 f 的横坐标为6，将 x6 代入yx24 x ，可得 y12 .所以 f6,12 .同理，点 f 在对称轴 x2 的左侧， 存在平行四边形oaef ，oa fe ，且 oafe，此时点 f 的横坐标为2，将 x2 代入 y2x4 x ，可得 y12 . 所以 f2,12 .综上所述，点f 的坐标为2,4， 6,12,2,12 .10（ 10 广西桂林） 如

30、图， 过 a（ 8，0）、b（ 0，83 ）两点的直线与直线y3x 交于点 c平行于 y 轴的直线 l 从原点 o 动身，以每秒1 个单位长度的速度沿x 轴向右平移，到c 点时停止； l 分别交线段bc、oc 于点 d、e，以 de 为边向左侧作等边def ，设 def与 bco 重叠部分的面积为s（平方单位） ，直线 l 的运动时间为t （秒） 1）直接写出c 点坐标和t 的取值范畴；2）求 s 与 t 的函数关系式；3）设直线 l 与 x 轴交于点 p，是否存在这样的点p，使得以p、o、f 为顶点的三角形为等腰三角形，如存在，请直接写出点p 的坐标；如不存在，请说明理由yy83bldy3x

31、83by3xfcceaop8xao8x学习必备欢迎下载答案：解（ 1） c（4， 43 ）t 的取值范畴是：0 t 42） d 点的坐标是（t ，3t83 ）， e 的坐标是（t ，3t ）de =3t83 -3t =8323t等边 def 的 de 边上的高为：123t当点 f 在 bo 边上时： 123t = t ， t =3当 0 t <3 时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：8323t - 23 t3s= t 8323t8323t23 ty23= t 16 3143t83b23l=73t 2383tdy3x当 3 t 4 时，重叠部分为等边三角形1fcs=8323t123t2

32、= 33t 2243t483e3 ）存在， p（ 24 ，0）a7op8x说 明： fo 43 ， fp 43 ， op 4以 p，o， f 以顶点的等腰三角形，腰只有可能是fo ， fp,如 fo=fp 时， t =2（ 12-3 t ）， t = 24 ， p（ 24 ， 0）7711（ 10 广东深圳） 如图，抛物线y ax2 c（ a0）经过梯形abcd 的四个顶点，梯形的底 ad 在 x 轴上，其中a（ 2,0）， b（ 1, 3）1）求抛物线的解析式；2）点 m 为 y 轴上任意一点，当点m 到 a、b 两点的距离之和为最小时，求此时点m 的坐标；3）在第（ 2）问的结论下，抛物线

33、上的点p 使 s pad 4sabm 成立，求点p 的坐标yadox学习必备欢迎下载ya_d_oxbc答案：（ 1）、由于点a、b 均在抛物线上，故点a、b 的坐标适合抛物线方程4ac0ac3解之得：a12；故 yxc44 为所求2）如图 2， 连接 bd ，交 y 轴于点 m ，就点 m 就是所求作的点设 bd 的解析式为ykxb ，就有2kbkb0k1，3b2故 bd 的解析式为yx2 ；令 x0, 就 y2 ，故m 0,23 、如图 3，连接 am ， bc 交 y 轴于点 n ，由（ 2）知， om=oa=od= 2，amb90易知 bn=mn= 1， 易求 am22, bm2yp2p

34、1s abm12222 ；设2p x, x24 ，依题意有：1 adx22442 ，即：14 x22442adox解之得： x22 ， x0 ，故符合条件的p 点有三个：mp22,4, p 22,4, p 0,4bnc123m125m2p312 10 北京）在平面直角坐标系xoy 中，抛物线y =x4x m 图3m3 2y4与 x 轴的交点分别为原点o 和点 a，点 b2， n在这条抛物线上；(1) 求点 b 的坐标；(2) 点 p 在线段 oa 上，从 o 点动身向点运动，过p 点作 x 轴的垂线，与直线ob 交于点 e；延长 pe 到点 d；使得 ed=pe；以 pd 为斜边在pd 右侧作等腰直角三角形pcd 当 p 点运动时， c 点、 d 点也随之运动 1x当等腰直角三角形pcd 的顶点 c 落在此抛物线上时，求o1op 的长；如 p 点从 o 点动身向a