初中数学奥林匹克训练题10试卷

1、一、填空题中学数学奥林匹克训练题（10）第一试1、设 h 为锐角三角形abc 的垂心，已知a30， bc3 ，就 ah .2、有六张分别写有数字1， 2， 3， 4，5， 6 的卡片，每次从中抽取一张，登记上面的数字，然后放回 .这样取了4 次，就抽到的最大数与最小数的差等于5 的概率为 .3、已知三个正数 .a,b,c 满意abc3 a ， 3b2a ac5b2 ，就 b2c 的最小值是a4、设 xr ，就函数fxx212x1216 的最小值为.5、从前 2021 个正整数构成的集m1,2,2021中取出一个k 元子集 a ，使得 a 中任两数之和不能被这两数之差整除，就k 的最大值为6、已

2、知fxx2a 2b 21 xa 22abb2 的对称轴是y 轴，就函数图象与y 轴交点的纵坐标的最大值是7、 cos12x5 x72x5 x6 ；8、设a,b, c, d 为非负实数，满意abcd，就b cdacdabdabcabbccdda；cdadabbc9、设实系数一元二次方程2xax2b20 有两个相异实根，其中一根在区间0,1 内，另一根在区间1,2 内，就 ba4 的取值范畴是；110、考虑集合s1,2,10的全部非空子集，如一个非空子集中的偶数的数目不少于奇数的数目，称这个子集是“好子集”，就“好子集”的数目有（）个 .11、考虑 44 的正方形方格表中的25 个格点，就通过至少

3、3 个格点的不同直线的数目为.12、设x 表示不超过x 的最大整数，就20212021k的值是.k 1202113、如右图，已知l , m, n 分别为abc 的三边bc, ca, ab 的中点，d , e 分别是bc, ab 上的点，并满意ad ,ce 均平分abc 的周长，p,q 分别是d , e 关于 l, n 的对称点，pq 与 lm交于点 f ，如abac，就af一定 过abc的（）.a内心b 外心c重心d垂心14、设不定方程x2y2z2xyz100 的正整数解x, y, z 中满意x, y, z 均大于 2021的不同解的数目为k ，就 k 满意（） .a k0b 1k2021ck

4、2021 ，但 k 是有限的数dk 是无穷大二、解答题1、已知锐角abc 的三边 bc , ca, ab 的中点分别为d, e , f， 在 ef , fd , de 的 延 长 线 上 分 别 取 点p, q, r ，如 apbqcr，证明pqr 的外心为abc 的垂心 .2、有 10 个选手a1 , a2 , a10 ，他们的积分分别为9,8,7,6,5,4,3,2,1,0，名次分别为第1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.现进行单循环竞赛，即任意两个选手之间都恰进行一场竞赛，且每场竞赛都要分出胜败.如名次靠前的选手胜了名次靠后的选手，就胜者得 1分，负者得 0 分；如名次靠后的选手胜

5、了名次靠前的选手，就胜者得2 分， 负者得 0 分， 全部竞赛终止后运算 每个选手的累计积分（即这次单循环所得的分数与之前的积分相加所得的和），并依据累计 积分进行重新排名，求新的冠军累计积分的最小值（名次并列是答应的）.3、求解不等式x2ax11 ；4、设1 ,2 ,2021为 2021 个整数，且1i9 （ i1,2,2021）；假如存在某个k1,2,2021，使得 2021 位数kk 120211k 1 被 101 整除，试证明：对一切 i1,2,2021， 2021 位数ii 120211i 1 均能被 101 整除；中学数学奥林匹克训练题（10）其次试1、假如正整数n 可以写成ab

6、其中a ,bn , a2, b2 的形式，就称n 为“好数” . 在与2 的正整数次幂相邻的正整数中，试找出全部的“好数”.2、a, b 是两个不相等的正数， 且满意 a 3b3a 2b 2 ，求全部可能的整数c, 使得c 9ab .3、设有红、黑、白三种颜色的球各10 个；现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等；问共有多少种放法；4、二次函数f xpx 2qxr中，实数p、q、r满意p m2qrm1m=0, 其中 m0 求证： 1pf mm10 ； 2 方程f x0 在0 ， 1 内恒有解5、把正奇数数列 2n1 中的数按上小下大、左小右大的原就排成如下三角形数表：1357911设 aij i，jn*是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数；已知 amn2005 ，求 m， n 的值；6、如图 394，在直角 abc中， ad是斜边上的高， m， n 分别是 abd， acd的内心，直线 mn交 ab，ac于 k， l求证： s abc2s akl7、如图 395已知在正三角形ab