初中数学竞赛精品标准教程及练习35：两种对称

1、中考数学复习资料，细心整编吐血举荐, 如如有用请打赏支持，感谢不尽！初 中数学竞赛精品标准教程及练习（35） 两种对称一、内容提要1. 轴对称和中心对称定义把一个图形沿着某一条直线折叠，假如它能够和另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称；这条直线叫做对称轴把一个图形围着某一点旋转180，假如它能够和另一个图形重合， 那么这两个图形关于这点对称，这点叫做对称中心2. 轴对称图形和中心对称图形的定义：假如一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形中叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴一个图形围着某一点旋转180，假如旋转后的图形能够和原先的图形相互重合，那么这个

2、图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心；3. 性质：成轴对称或中心对称的两个图形是全等形对称轴是对称点连线的中垂线；对称中心是对称点连线的中点两个图形关于某条直线对称，假如它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上4. 常见的轴对称图形有：线段，角，等腰三角形，等腰梯形，矩形，菱形，正多边形，圆等；中心对称图形有：线段，平行四边形，边数为偶数的正多边形，圆等二、例题例1.求证：如等腰梯形的两条对角线相互垂直，就它的中位线与高相等证明：等腰梯形是轴对称图形，底边的中垂线mn是它的对称轴，对应线段ac和 bd的交点 o，在对称轴 mn上acbddnc aob和 cod都是等腰直角三角形，

3、om和 on是它们的斜边中线oom1 ab，on 1 cd22mn1 （ab cd）amb2梯形中位线与高相等例2.已知矩形 abcd的边 ab6，bc8，将矩形折叠，使点c和点 a 重合，求折痕 ef的长解：折痕 ef 是对称点连线 ac的中垂线连 结 ae， aece， 设 aex, 就 be 8 x在 r abe中， x2=8-x2+62a fdob ec解得 x= 25 ，即 ae4在 rtaoe中， oe254 25 25 24 154ef 2oe7.5,例3.已知： abc中， abac,过点 a 的直线 mnbc，点 p 是 mn上的任意点求证： pbpc 2ab证明：当点 p

4、在 mn上与点 a 重合时， pbpc abac，即 pbpc 2ab当 p 不与 a 重合时，作点 c 关于直线 mn的对称点 ccmapn，就 pc pc，ac acabbc， pac pac acb， pac pac bac180， b， a， c三点在同始终线上， pbpc bc，即 pbpc2ab pbpc2ab例4.已知：平行四边形abcd外一点 p0，点 p0 关于点 a 的对称点 p1，p1 关于点 b 的对称点 p2， p2 关于点 c 的对称点 p3 ，p3 关于点 d的对称点 p4求证： p4 与 p0 重合证明：（用同一法）顺次连结p0， p1，p2，p3， p4，依据

5、中心对称图形性质，点a，b，c，d 分别为 p0 p1，p1p2， p2p3 ，p3p4 的中点abp0p2cd，p 3d , dcp 4连结 p0p3，取 p0p3 的中点 d，p 0p 2，连结 d，c，就 dab，c p0p2p 1cd 和 cd重合，p4 和 p0 重合正方形 abcd的边长为 a求内接正三角形aef的边长解：正方形 abcd和等边三角形 aef都是轴对称图形，直线ac是它的公共对称轴，可知 abe adfbedf， cecf设等边三角形 aef边长为 x，依据勾股定理得ce2cf2x2,ce=2 x ,be=a2 x22在 rt abe中， x2= a 2 x 2+a

6、22dfcx2+22 ax4a2=0由根公式舍去负根，得x=6 -2 axe2 x a-aab2答：等边 aef的边长是 6 -2 a三、练习 351. 以下图形属轴对称而不是中心对称图形的有属中心对称而不是轴对称图形的有既是轴对称又是中心对称的图形有线段角等腰三角形等腰梯形矩形菱形平行四边形正三角形正方形圆2. 坐标平面内，点a 的坐标是（ xa，yb）那么点 a 关于横轴的对称点b 的坐标是（）点 a 关于纵轴的对称点c 的坐标是（）点 a 关于原点的对称点d 的坐标是（）3. 坐标平面内，点m（a, b）与点 n（ a,b ）是关于的对称点点 p（ m 3,n ）与点 q（3m,n）是关

7、于的对称点4. 已知：直线 m的同一侧有两个点a 和 bmb求作：在 m上一点 p，使 pa pb为最小a5. 已知：等边 abca求作：点 p，使 pab， pbc， pac都是等腰三角形bc（此题有 10 个解，至少作出 4 个点 p）6. 求证：等腰梯形两腰的延长线的交点，对角线的交点， 两底中点，这四点在同始终线上（用轴对称性质）7. 已知： abc中， bc ac，从点 a 作 c 平分线的垂线段 ad，点 e是 ab的中点求证： de1 （bc ac）28. 已知： abc中， ab ac，bd是角平分线， bcabad求： c的度数（90 年泉州市双基赛题）9. 已知：正方形 a

8、bcd中， ab12，p 在 bc上，且 bp5，把正方形折叠使点a 和点 p 重合，求：折痕 ef 的长10. 平行四边形 abcd的周长是 18cm, a 和 b 的平分线相交于m，点 o是对称中心， om1cm，求各边长11. abc中， b2c，ad是角平分线， e 是 bc的中点， efad和 ab的延长线交于点f求证bd2bf（创建轴对称图形，过点c 作 cgbc交 ab延长线于 g）12. 正方形 abcd的边长为 a, 形内一点 p，p 到 ab两端及边 bc的距离都相等，求这个距离；13. 求证一组对角相等且这组对角顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形（ 1

9、988 年全国中学联赛题）提示：用反证法，作 abd关于点 o（对角线交点）的对称三角形14 矩形 abcd中，边 ab3 ，对角线 ac=2，在矩形内 o1 和 bc、ac分别切于点 e，f， o2 与 ad，ac分别切于 m，n 求： acb与 o2an的度数 假如折叠矩形后 折痕为 ac，点 o2 落在 ab边上的点 k 处：在图上画出点k 准确位置，并说明理由；设 o1， o2 的半径都等于r，试求折叠矩形后，两圆外离时的圆心距与r 的取值范畴；15. 已知： ad是 abc的外角平分线，点这p 在射线 ad上求证： pb+pcab+ac16. 已知：坐标平面内，点a 关于横轴的对称点

10、为b，点 a 关于原点的对称点为c求证： 点 b 和点c是关于纵轴的对称点17. 已知： ad是等腰直角三角形abc斜边上的高， bm， bn三等分 abc并和 ad顺次交于 m，n，连结并延长 cn交 ab于 e，求证： embn练习 35 参考答案：1.；2.（ x+a,-y+b ）（ -x-a,y-b）（ -x-a,-y+b）3. 原点；纵轴；4. 作点 a 关于直线 m 的对称点5. 作 ab和 bc的中垂线，其交点p1；以 a 为圆心， ac为半径作弧交 bc的中垂线于 p2， p3 ；以 c 为圆心， ca为半径作弧交 bc的中垂线于 p4，其余的 6 个点可用类似方法作出6. 等腰梯形的对称轴是底边的中垂线，对应线段的交点在对称轴上7. 延长 ad交 bc于 f，de是 abf的中位线8. 延长 ba到 e 使 aead，就 ebd和 cbd关于 bd对称9. ef是 ap中垂线，作 egcd于 g，可证明 efg apb10. 延长 am和 bc相交于 n，就 bnab11. 以 ad为轴作 adc的对称 adg12. 5 a8，