在高等数学中开展探究性教学的实验研究

1、在高等数学中开展探究性教学的实验研究摘 要：从“高等数学中的概念、定理性质、数学问题证明过程”的探究性教学 研究到“利用多媒体和对数学知识与规律的应用”探究性教学研究，并对探究性 教学与学习的效果进行了分析.关键词：创造性；思维能力；探究性教学；定理性质；数学问题建构主义观点认为，数学知识不是简单地通过教师灌输到学生头脑中，必 须基于个人对经验的操作、交流，通过反省来主动建构而数学探究性教学方式能 充分展示数学知识的形成过程，让学生在体验屮建构，学生利用非“知识”作为 知识的生长点，使学生从原有的知识中自然“生长”出新知识这种教学方式， 要求在教学过程中，学生在教师指导下，通过以洎主、探究、合

2、作”为特征的学 习方式对当前教学内容中的主耍知识点进行自主学习、深入探究并进行小组合作 交流，从而较好地实现三位一体的教学目标.探究性教学的核心在于“要让学生 感受、理解知识产生的发展过程”，培养学生创造性思维能力，提升数学素质。 本文结合高等数学教学实际，探索在髙等数学教学屮如何进行探究性教学.1. 高等数学中概念的探究性教学高等数学中的诸多概念具有极强的“实践性”特征，这些概念都是来源于生 产生活实践，从生产生活实践中抽象概括而形成的数学结构，以模式的形式存在, 并以符号语言的形式来表述.这些概念给人予抽象、枯燥、乏味之感所以教学屮 要从概念产生的本原问题入手，充分展示概念形成的来龙，通过

3、学生主动建构来 理解认识概念，从而有效培养学生的抽象、概括思维能力.例如导数概念，是通过研究变速运动的瞬时速度、曲线的切线斜率而抽象概 扌舌为增量比的极限，最后归纳概括出导数定义的.积分概念是通过研究曲边梯形的面积、变速运动所走的路程等，采用分割、 求和、取极限的方法得到的，而后经抽彖概况得出了积分的概念，并形成了一个 重要数学思想方法微元法.二阶导数概念也要尽尽量展示其实际意义，对运动而言，路程对时间的二阶导数就是加速度，对曲线而言，y对x的二阶导数就是研究曲线的弯曲程度的.2. 高等数学中定理性质的探究性教学高等数学屮的诸多定理、性质都是以演绎的方式星现的，体现的是数学的学 术形态教学中要

4、把这种学术形态转化为教育形态，有血有肉地展现给学生，使 学生通过观察、归纳、类比、一般化、特殊化等科学方法，自主探究、合作交流、 反思回顾等学习方式探究岀命题的结论，以培养学生的创新思维和发现问题的能 力.2.1利用实际问题猜测定理性质“数学现实、数学化、再创造”是数学教育家弗赖登塔尔提出的数学教学原 则，高等数学中的诸多定理性质都可利用其本原问题通过数学化而猜测出结论（或粗糙的结论）.例1 （1） lagrange中值泄理可以利用导数的物理意义速度猜想得出.（2）重要极限公式“ lim（l+l）=£”有实际意义吗？数学家是如何想到研 "toon究这个公式的？对这个问题，可

5、让学生研究复利问题：一元钱，存入银行，年利 率为1。如i果按月计算,到期连本带利共多少? （2）如果按天计算,连本带 利有多少？ （3）若按小时计算，连本带利又有多少？通过层层计算，使学生体会到数学公式不是空穴來风，都是有其实际意义的.2.2利用类比探究新的定理性质类比是从特殊到特殊的推理，是根据两个不同的对象，在某些方面（如特征, 属性，关系等）的类同之处，猜测这两个对象在其它方面也可能有类同之处，并 作岀某种判断的推理方法类比是提出数学新问题和猜想的一个重要途径高等 数学中的许多定理公式都可以利用类比方法探究得到.例2 （1）数学中的诸多运算都具有线性性质、满足交换律与结合律.因此对 教材

6、中出现的每一种运算，都可让学生口主去探究是否具有这些规律与性质.（2）通过对lagrange屮值定理的反思探究，联想参数函数的导数公式，易 类比岀cauchy屮值定理.（3）线积分、面积分的概念、性质与定积分的概念、性质有许多类似之处, 也可鼓励学生去进行类比探究学习，使这些看似复杂、抽象的东西显得简单直观.等式（工分）（工厅） （为哦尸的推广变形,那么屮学其它常用不等式有其积分形式吗？可让学生利用定积分概念进行类比探究.这样经探究得到：均值积分不等式:b-adx7m均方值积分不等式：一!一 f fkx)dx > (- f f(x)dx)kb-ab-a 4z琴森积分不等式：一!一 f(p

7、(x)dx < f! (p(x)dx (于(x)上凸)(或 b-ab-a占彷“皿"占“如(/下凸)b-ab-a 41通过对这些不等式的探究学习，学生一方面对定积分概念有了深刻认识，同 时体验了数学发现的圧趣，增强了对数学的热爱.2.3利用反思探究新的定理性质对教材中的每个问题(包括概念与定理)，都要认真反思，反复反思，看能 否推广、变形，逆命题是否成立。这也是发现定理、性质的有效反复。例3(1)通过对闭区间上连续函数的概念认真反思，并借助曲线模型和实验观察，易得最值定理、零点定理和介值定理.(2) 通过探究反思柯西中值定理的作用，可发现求极限的重要公式一一洛 必达法则；通过反思

8、导数概念及其儿何意义，容易得到函数单调性的判别方法.(3) 通过反思导数的运算及性质，并结合具体案例观察、归纳，易得不定 积分概念与性质.3. 对数学问题证明过程的探究数学证明，一方面能促进学生对知识的理解，另一方面能有效培养学生的逻 辑思维能力但是，数学证明不能像是帽子里跑出一只兔子那样，使学生雾里看 花，不知所以然教学屮耍充分利用数学方法论思想，展示问题证明的脚手架， 升本立意，授之于渔.31利用特殊化探究问题证明的思路人们考虑问题的第一感觉不是如何证明，而是能不能化简！这是一个重要的 数学思想方法化简一个问题，常用的思维模式是“将一般性问题特殊化” 即当 一个一般问题不易解决时，可以附加

9、一些条件，将它转化为特殊问题，通过特殊问题的解决，回头再探讨i般问题的解决.例4 (1)当给出lagrange中值定理后，让学生探究其特殊形式，令右边二0, 即得rolle定理，通过对rolle定理的证明，再采用化归的方法把lagrange中值定 理化归为rolle定理，从而得到证明.(2)对柯西积分不等式£/2(%)jx- (g2(x)dxnp(x)g(x)dx2，也可先探究 其特殊情形：fxdx=gxdx = 的证明：f/(x)g wx2 < f 7 (x)g2(xw = (f/2 wx + fg2 wx)2 = 1再令/!(%) =/(x)4gl(兀)=go)j (g&q

10、uot;qdx化归为特殊情形即可.3. 2利用化归探究问题证明的思路数学的另一个重要思想方法是化归思想，其-般思维模式是:未知问题|他i已知问题(或简单的问题)高等数学中的诸多问题的解决都是通过化归完成的.例如cauchy中值定理可化归 为rolle定理证明；多元微积分问题可化归为一元微积分解决；线积分、面积分 化为普通积分等.3. 3利用类比探究问题证明的思路哲学家康徳告诉人们：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往 往能指引我们前进”.波利亚也指出：“选出一个类似的、较易的问题，去解决它，改造它的解 法，以便可以用作一个模式.然后利用刚刚建立的模式，以达到原来问题的解 决”运用类比

11、法探索解题思路，就是通过观察和联想寻找与待解决的问题相似 的熟悉的问题作为类比的对彖.由于相似问题的解法也有一定的相似性，从而可 以借鉴熟悉问题的解题思想与方法，去发现待解决问题的解题途径和方法.高等数学中处处有类比：一元与多元的类比，连续与离散的类比，一般与特 殊的类比，有限与无限的类比比如cauchy中值定理的证明可利用函数的参数形 式，类比构造出辅助函数获得证明.再比如，不论是命题条件或结论屮含有或变 形整理后含有类似关系式b2-4ac>0 (或=0,或5 0)的，就要类比联想运用方 程思想去解决.3.4探究问题的一题多解，培养思维的灵活性在教学中要时刻督促提醒学生解答或证明z后，

12、还要认真反思冋顾！反思问 题是否还要其它解法，哪个是最简单的解法？哪个是本质的解法？解法能否优化 等？例 5 设 /(%)在a,b上连续，且 /(%) > 0 ,证明：f f(x)dx- fdx > (b-a)2.对该不等式可启发诱导学生在利用柯汕积分不等式证明的基础上，反思冋 顾高等数学中还有哪些结论与不等式有关，应用这些结论需具备什么条件？学生通过探索研究发现，利用拉格朗日微分中值定理、积分中值定理、函 数的单调性、判别式、二重积分等都能证明该命题.但利用拉格朗h微分中值定 理、积分屮值定理、函数的单调性证明的关键是构造满足定理的函数：f(t) = f f (x) (t-a)2

13、, t g a,b经过这样的探究学习，既能使学生整体掌握知识，又利于培养学生数学思 维的灵活性.3.5探究问题的不同变形，培养思维的严谨性与发散性研究数学问题，首先是选择正确合理的方法解决它；其次还要对其进行深 入思考，探究挖掘其拓展意义，培养其思维的严谨性和发散性.例6对命题“若函数/在话上连续,则函数/(切在a,b±有界”基 于“不满足定理条件会有什么结论”与“满足定理条件还会有什么结论”引导学 生探究如下问题：%1 若函数/ (%)在(°, b)上连续，则函数/(力在(°, b)上是否有界？%1 若函数/(x)在a9b上有定义，则函数/(x)在(a,b)上是

14、否有界？%1 若函数于(兀)在(a,b)上连续，则増加什么条件可使得函数/(x)在(a,b)上 有界？%1 若函数/(x)在(°,+00)上连续，则函数/(x)在(d,+00)上是否有界?%1 若函数/（x）在s,b上连续，则函数/（%）在a,b上能否取到最大值与最小值1?提出一个问题往往比解决一个问题更重要.探究性教学与学习就是要求学生 在教师的正确指导下，积极思考问题，发现问题，提出问题，培养思维的严谨性与科学性，养成数学地思考问题的习惯.4 利用多媒体开展探究性学习利用计算机等多媒体辅助探究性学习，可以增强学习过程的直观性，使得抽象的微积分概念生动形象化，内容真实化、趣味化和多

15、样化，从而唤起学生探 究的意识，创造出一个可以使学生“做”数学学问的环境和氛围.在教师的指导 卜，输入相应的数据或图形对探究性问题进行主动试验，通过计算机提供数据， 做出图像或动态表现，使学生有了更多的观察、探究、实验与模拟的机会，从而 形成顿悟与直觉，做出预测，获得技能，取得经验.5.对数学知识与规律的应用探究应用的广泛性是数学的一大特点教学中要充分利用这一特点，结合现实生 产、生活中的具体实例，培养学生查阅资料、整理资料的能力、抽象归纳思维能 力及数学应用意识和解决问题的能力，学会情境问题数学化、数学地思考问题， 提高数学建模能力.例7椅子能在不平的地面上放稳吗？把椅子往不平的地面上一放，

16、通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍转动几次，就可以四脚着地，放稳了为什么？能用数学的观点解释吗？这是现实生活屮经常遇到的问题，看似与数学风马牛不相及但只要正确引 导学生探究下列问题：（1）对问题进行哪些必要的假设；（2）三只脚着地，放不 稳，如何数学化？（3）稍微转动儿次如何数学化？（4）四脚着地，放稳了，乂 是何种数学状态？（5）数学化的关键是引进变量，构造函数，如何引进变量？通过对该问题的探究，使学生深深体会到，合理引进变量，构造函数，是 现实问题数学化的关键.6.探究性教学与学习的效果分析采用探究性教学方法，不仅顺利地完成了高等数学的教学冃标，而且使学生的综合数学素质得到了培养与提高，主要表现在以下方面:学生的资料查阅、 文献检索、合作交流、组织和写作能力得到训练与提高；増强了学生学习