华中科大学工程传热学3203

1、2021-11-201 3-1 非稳态导热过程非稳态导热过程3-2 集总参数法集总参数法3-3 一维非稳态导热的分析解一维非稳态导热的分析解 3-4 半无限大物体内的非稳态导热半无限大物体内的非稳态导热3-5 二维及三维非稳态导热二维及三维非稳态导热2021-11-202定义：定义：导热系统内温度场随时间变化的导热过导热系统内温度场随时间变化的导热过程为非稳态导热。程为非稳态导热。特点：特点：温度随时间变化，热流也随时间变化。温度随时间变化，热流也随时间变化。自然界和工程上许多导热过程为非稳态，自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t = f( )例如：冶金、热处理与热加工中工件被加热或例如：冶

2、金、热处理与热加工中工件被加热或冷却；锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工冷却；锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况；自然环境温度；供暖或停暖过程中墙内与况；自然环境温度；供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度室内空气温度2021-11-203非稳态导热：非稳态导热：周期性和非周期性周期性和非周期性（瞬态导热）（瞬态导热）周期性非稳态导热：周期性非稳态导热：在周期性变化边界条件下在周期性变化边界条件下发生的导热过程，物体温度按一定的周期发生发生的导热过程，物体温度按一定的周期发生变化。变化。非周期性非稳态导热：非周期性非稳态导热：在瞬间变化的边界条件在瞬间变化的边界条件下发生的导热过程，物体的温度随

3、时间不断地下发生的导热过程，物体的温度随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过程），在经升高（加热过程）或降低（冷却过程），在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度，最终达到热平衡质温度，最终达到热平衡2021-11-2041 温度分布温度分布一平壁初始温度为一平壁初始温度为t0，令其左侧表面的温度突，令其左侧表面的温度突然升高到然升高到t1，右侧保持温度为，右侧保持温度为t0首先，物体紧挨高温表面的部分温度上升很首先，物体紧挨高温表面的部分温度上升很快，经过一定时间后内部区域温度依次变化，快，经过一定时间后内部区域温度依次变化，最终整体温度

4、分布保持恒定，当最终整体温度分布保持恒定，当 为常数时，为常数时，最终温度分布为直线。最终温度分布为直线。2021-11-205(a) = 1 (b) = 2 (c) = 3 (d) = 4非稳态导热的不同时刻物体的温度分布非稳态导热的不同时刻物体的温度分布2021-11-2062 两个阶段：两个阶段：非正规状况阶段（初非正规状况阶段（初始状况阶段）、正规状况阶段始状况阶段）、正规状况阶段非正规状况阶段非正规状况阶段（初始状况阶段）：（初始状况阶段）：在在 = 3时刻之前的阶段，物体内时刻之前的阶段，物体内的温度分布受初始温度分布的影响的温度分布受初始温度分布的影响较大。较大。必须用无穷级数描

5、述必须用无穷级数描述t0t1 = 3正规状况阶段正规状况阶段：在：在 = 3时刻之后，初始温度时刻之后，初始温度分布的影响已经消失，物体内的温度分布主分布的影响已经消失，物体内的温度分布主要受边界条件的影响，要受边界条件的影响，可以用初等函数描述。可以用初等函数描述。2021-11-2073 热量变化热量变化：与稳态导热的另一区别：由于：与稳态导热的另一区别：由于有温度变化要积聚或消耗热量，同一时刻流有温度变化要积聚或消耗热量，同一时刻流过不同界面的热流量是不同的。通过截面过不同界面的热流量是不同的。通过截面A的热流量是从最高值不断减小，在其它各截的热流量是从最高值不断减小，在其它各截面的温度

6、开始升高之前通过此截面的热流量面的温度开始升高之前通过此截面的热流量是零，温度开始升高之后，热流量才开始增是零，温度开始升高之后，热流量才开始增加。加。2021-11-2084 边界条件对温度分布的影响边界条件对温度分布的影响x0 xtt(b)(a)(c)环境（边界条件）对系统温度环境（边界条件）对系统温度分布的影响是很显著的分布的影响是很显著的,这里以这里以一维非稳态导热过程（也就是一维非稳态导热过程（也就是大平板的加热或冷却过程）为大平板的加热或冷却过程）为例来加以说明。例来加以说明。图表示一个大平板的加热过程，图表示一个大平板的加热过程，并画出在某一时刻的三种不同并画出在某一时刻的三种不

7、同边界情况的温度分布曲线（边界情况的温度分布曲线（a）、）、（b）、（）、（c）2021-11-209这实质上是表明在第这实质上是表明在第三类边界条件下可能三类边界条件下可能的三种温度分布。的三种温度分布。 按照传热关系式按照传热关系式作一个近似的分析。作一个近似的分析。 tthttqww1x0 xtt(b)(a)(c)2021-11-2010曲线（曲线（a）表示平板外环境）表示平板外环境的换热热阻的换热热阻 远大于平远大于平板内的导热热阻板内的导热热阻 , 即即 h1/1h从曲线上看，物体内部的温从曲线上看，物体内部的温度几乎是均匀的，这也就说度几乎是均匀的，这也就说物体的温度场仅仅是时间的

8、物体的温度场仅仅是时间的函数，而与空间坐标无关。函数，而与空间坐标无关。我们称这样的非稳态导热系我们称这样的非稳态导热系统为统为集总参数系统集总参数系统（一个等（一个等温系统或物体）。温系统或物体）。 x0 xtt(b)(a)(c)2021-11-2011曲线（曲线（b）表示平板外环）表示平板外环境的换热热阻境的换热热阻 相当于相当于平板内的导热热阻平板内的导热热阻 , 即即 h1/1h这也是正常的第三类边界这也是正常的第三类边界条件条件 x0 xtt(b)(a)(c)2021-11-2012曲线（曲线（c）表示平板外环）表示平板外环境的换热热阻境的换热热阻 远小于远小于平板内的导热热阻平板内

9、的导热热阻 , 即即 h1/1h从曲线上看，物体内部温从曲线上看，物体内部温度变化比较大，而环境与度变化比较大，而环境与物体边界几乎无温差，此物体边界几乎无温差，此时可用认为时可用认为 。那么，。那么，边界条件就变成了第一类边界条件就变成了第一类边界条件，即给定物体边边界条件，即给定物体边界上的温度。界上的温度。 wttx0 xtt(b)(a)(c)2021-11-2013t0t t01/h / 2 t / 1/h2 t 1/h / 2 t0第三类边界条件下物体被冷却时的温度分布第三类边界条件下物体被冷却时的温度分布 2021-11-2014把导热热阻与换热热阻相比可得到一个无把导热热阻与换热

10、热阻相比可得到一个无因次的数，我们称之为因次的数，我们称之为毕欧（毕欧（Biot）数）数，即即 那么，上述三种情况则对应着那么，上述三种情况则对应着Bi1。1hBih 毕欧数是导热分析中的一个重要的无因次准毕欧数是导热分析中的一个重要的无因次准则，它则，它表征了给定导热系统内的导热热阻与表征了给定导热系统内的导热热阻与其和环境之间的换热热阻的对比关系其和环境之间的换热热阻的对比关系。特征数：表征某一类物理现象或物理过程特征的无特征数：表征某一类物理现象或物理过程特征的无量纲数，又叫量纲数，又叫准则数准则数。如如Re, Bi。2021-11-20151 定义定义忽略物体内部导热热阻、认为物体温度

11、均匀一忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的分析方法。此时，致的分析方法。此时， ，温度分布只，温度分布只与时间有关，即与时间有关，即 ，与空间位置无关，与空间位置无关，因此，也称为因此，也称为零维问题零维问题。0Bi)(ft hhBi/1/2021-11-2016以下几种情况以下几种情况Bi很小，可用集总参数法：很小，可用集总参数法：（1）导热系数相当大；）导热系数相当大；（2）几何尺寸很小；）几何尺寸很小；（3）表面换热系数很小。）表面换热系数很小。2 温度分布温度分布hhBi/1/h, t AQc, c, V, t0一个集总参数系统，其体积为一个集总参数系统，其体积为V、表面积为、

12、表面积为A、密度为密度为 、比热为、比热为c以及初始温度为以及初始温度为t0，突然放，突然放入温度为入温度为t 、换热系数为、换热系数为h的环境中。的环境中。 2021-11-2017)(tthAddtcV引入过余温度：引入过余温度：tthAddcV初始条件为：初始条件为：00)0(ttdcVhAd能量守恒能量守恒：单位时间物体热力学能的变化量：单位时间物体热力学能的变化量应该等于物体表面与流体之间的对流换热量应该等于物体表面与流体之间的对流换热量, t0AQc, c, V, t02021-11-2018积分得：积分得：dcVhAd00cVhA0lncVhAexp0指数可写成：指数可写成：VV

13、FoBiAVaAVhcVAAhVcVhA222)/()/(dcVhAdvFo是是傅立叶数傅立叶数2021-11-2019VVFoBiAVaAVhcVAAhVcVhA222)/()/(hlhl1Bi物体表面对流换热热阻物体内部导热热阻Biv越小，表示内部热阻小或外部热阻大，则内越小，表示内部热阻小或外部热阻大，则内部温度就越均匀，集总参数法的误差就越小。部温度就越均匀，集总参数法的误差就越小。Fo越大，热扰动就能越深入传播到物体内部越大，热扰动就能越深入传播到物体内部,物体各点地温度就越接近周围介质的温度。物体各点地温度就越接近周围介质的温度。22Flol a换热时间边界热扰动扩散到 面积上所需

14、的时间2021-11-2020vvFoBiVchAee0物体中的温度物体中的温度呈指数分布呈指数分布方程中指数的量纲：方程中指数的量纲：2233Wm1m KkgJkgm KmhAWVcJs 3 时间常数时间常数 hAcV称为系统的称为系统的时间常数时间常数，记为，记为 c c，也称，也称弛弛豫时间豫时间。 2021-11-2021如果导热体的热容量（如果导热体的热容量（ Vc ）小、换）小、换热条件好（热条件好（hA大），那么单位时间所大），那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快，传递的热量大、导热体的温度变化快，时间常数时间常数 ( Vc / h A) 小小hAcV反映了系统处于一定

15、的环境中所表现出来的反映了系统处于一定的环境中所表现出来的传热动态特征，与其几何形状、密度及比热传热动态特征，与其几何形状、密度及比热有关，还与环境的换热情况相关。有关，还与环境的换热情况相关。可见，同一物质不同的形状其时间常数不同，可见，同一物质不同的形状其时间常数不同，同一物体在不同的环境下时间常数也是不相同一物体在不同的环境下时间常数也是不相同。同。 2021-11-2022如图所示，时间常数越小，物体的温度变化就如图所示，时间常数越小，物体的温度变化就越快，物体就越迅速地接近周围流体的温度。越快，物体就越迅速地接近周围流体的温度。这说明，时间常数反映物体对环境温度变化响这说明，时间常数

16、反映物体对环境温度变化响应的快慢，时间常数小的响应快，时间常数大应的快慢，时间常数小的响应快，时间常数大的响应慢。的响应慢。用用热电偶热电偶测量流体温度，总测量流体温度，总是希望热电偶的时间常数越是希望热电偶的时间常数越小越好，时间常数越小，热小越好，时间常数越小，热电偶越能迅速地反映流体的电偶越能迅速地反映流体的温度变化，故热电偶端部的温度变化，故热电偶端部的接点总是做得很小接点总是做得很小2021-11-2023/0/c0.386101当物体冷却或加热过程当物体冷却或加热过程所经历的时间等于其时所经历的时间等于其时间常数时，即间常数时，即 =c，386. 010e=4c，01. 06 .

17、40e工程上认为工程上认为 = 4c时导热时导热体已达到热平衡状态体已达到热平衡状态2021-11-20244 瞬态热流量瞬态热流量导热体在时间导热体在时间 0 内传给流体的总热量：内传给流体的总热量：)(tthA)exp()(0VVFoBitthAdcVhAAhttdQexp)(000cVhAcVttexp1)(05 集总参数系统的判定集总参数系统的判定 2021-11-2025如何去判定一个任意的系统是集总参数系统如何去判定一个任意的系统是集总参数系统 ？VVFoBiAVAVcVAeee2)(a)(0V/A具有长度的因次，称为具有长度的因次，称为集总参数系统的集总参数系统的特征尺寸特征尺寸

18、。MBiV1 . 0为判定系统是否为集总参数系为判定系统是否为集总参数系统统 ，M为为形状修正系数形状修正系数。 2021-11-2026厚度为厚度为2 的大平板的大平板V A1M直径为直径为2r的长圆柱体的长圆柱体V Ar 25 . 0M直径为直径为2r的球体的球体3rAV31M复杂形体复杂形体0333. 0VBi31M2021-11-2027m10953. 0)m001. 0m02. 0(2m02. 0m002. 0)5 . 0(22322RlRlRRllRAV05. 01015. 136.1010953. 05 .12)/(33AVhBiV例例3-1：一温度计水银泡是圆柱形，长：一温度计

19、水银泡是圆柱形，长20mm，内径内径4mm，测量气体温度，表面传热系数，测量气体温度，表面传热系数h=12.5W/(m2K),若要温度计的温度与气体的若要温度计的温度与气体的温度之差小于初始过余温度的温度之差小于初始过余温度的10%，求测温所，求测温所需要的时间。水银需要的时间。水银 =10.36 W/(mK), = 13110 kg/m3, c = 0.138 kJ/(kgK).解解：2021-11-2028故可以用集总参数法。故可以用集总参数法。%10)1015. 1exp()exp(300FoFoBittttVV25.2002)10953. 0(1311010138. 036.10)/(

20、2332AVc由上式解得：由上式解得： = 333 s = 5.6 min为了减小测温误差，测温时间应尽量加长。为了减小测温误差，测温时间应尽量加长。2021-11-2029当几何形状及边界条件都比较简单时可获得分当几何形状及边界条件都比较简单时可获得分析解。析解。1 无限大的平板的分析解无限大的平板的分析解2021-11-2030厚度厚度 2 的无限大平壁，的无限大平壁， 、a为已知常数为已知常数； =0时温度为时温度为 t0;突然把两侧介质温度降突然把两侧介质温度降低为低为 t 并保持不变；壁并保持不变；壁表面与介质之间的表面表面与介质之间的表面传热系数为传热系数为h。两侧冷却情况相同、温

21、两侧冷却情况相同、温度分布对称。中心为原度分布对称。中心为原点。点。2021-11-2031导热微分方程：导热微分方程：22xtat初始条件：初始条件： , 00tt 边界条件：边界条件： (第三类第三类)0 , 0 xtx)(- ,tthxtx2021-11-203222xtat , 00tt )(- ,0 , 0tthxtxxtx过余温度 ),(txt22xa00 , 0 -tt0 , 0 xxxhxx- , 2021-11-2033采用分离变量法求解：令采用分离变量法求解：令)()(TxX22xa00 , 0 -ttxhxxxx- ,0 , 0DdxXdXddTaT2211只能为常数：只

22、能为常数：2211dxXdXddTaT只为只为 的函数的函数只为只为x x的函数的函数2021-11-2034对对 积分积分DTaT1得到得到aDeCT1式中式中C1是积分常数，常是积分常数，常数值数值D的正负可以从物的正负可以从物理概念上加以确定。理概念上加以确定。当时间当时间趋于无穷大时，过程达到稳态，趋于无穷大时，过程达到稳态，物体达到周围环境温度，所以物体达到周围环境温度，所以D必须为负必须为负值值，否则物体温度将无穷增大。，否则物体温度将无穷增大。2021-11-2035令令2D21ddTaT则有则有 以及以及2221 d XX dx 以上两式的通解为：以上两式的通解为：21aeCT

23、)sin()cos(32xCxCX于是于是)sin()cos(),(2xBxAexa2021-11-2036常数常数A、B和和可由边界条件确定。可由边界条件确定。00 , 0 -ttxhxxxx- ,0 , 0(1)(2)(3)由边界条件（由边界条件（2）得）得B=0)sin()cos(),(2xBxAexa（a）边界条件（边界条件（3）代入）代入(b) 得得 (c)htg)(（a）式成为）式成为 (b)cos(),(2xAexa2021-11-2037将将 右端整理成：右端整理成：htg)(Bihh1注意，这里注意，这里Bi数的尺度数的尺度为平板厚度的一半。为平板厚度的一半。显然，显然，是两

24、曲线交点是两曲线交点对应的所有值。式对应的所有值。式(c)称为特征方程。称为特征方程。 称为称为特征值。分别为特征值。分别为1、 2 n。y2232021-11-2038)cos(),(11121xAexa)cos(),(22222xAexa)cos(),(2xAexnnann.1)cos(),(2nnnaxAexn将无穷个解叠加：将无穷个解叠加：至此，我们获得了无穷个特解：至此，我们获得了无穷个特解：2021-11-2039利用初始条件利用初始条件 求求An00 , 0 -tt1)cos(),(2nnnaxAexn)cos()sin()sin(20nnnnnA解的最后形式为：解的最后形式为：

25、)exp()cos()cos()sin()sin(2),(21n0nnnnnnaxx令令n=n)exp()cos(cossin)sin(2),(221n0nnnnnnaxxxAnnncos10 xdxxAxdxmnnnmcoscoscos0100 0020cos2sinsincos(cos)nnnnnnnxdxAxdx 由初始条件可得：上式两边乘于cosmx，并在(0, )范围内对积分得：考虑式(3-25)和三角函数的性质，上式右端当m n 时均为零，故得：2021-11-2041)exp()cos(cossin)sin(2),(221n0nnnnnnaxx2Foa傅里叶准则傅里叶准则)exp

26、()cos(cossin)sin(2),(21n0nnnnnnFoxx2FoahBix 无量纲距离无量纲距离) ,Fo Bi,(),( 0 xfx2021-11-2042定义无量纲的热量定义无量纲的热量0QQ其中其中Q为为0时间内传导的热量（内热能的改时间内传导的热量（内热能的改变量）变量） VcQ00为为 至无穷至无穷时间内的总传导热量时间内的总传导热量（物体内能改变总量）（物体内能改变总量） 设从初始时刻至某一时刻设从初始时刻至某一时刻 所传递的热量为所传递的热量为Q:)(),(000ttcVdVxttcQQVdVttttttVV00)(101dVVV011dVttVV)(1是是 时刻物体

27、的平均过余温度。时刻物体的平均过余温度。2021-11-20432 非稳态导热的正规状况阶段非稳态导热的正规状况阶段当当Fo 0.2时，采用级数的第一项计算偏差小时，采用级数的第一项计算偏差小于于1%，故当，故当Fo 0.2时时:xeFo1)(11110cos)cos()sin()sin(221其中其中 1 是第一特征值，是是第一特征值，是Bi的函数。的函数。Bi0.010.050.10.51.05.01050100 1 0.09980.22170.31110.65330.86031.31381.42891.54001.55521.5708)exp()cos(cossin)sin(2),(22

28、1n0nnnnnnaxx2021-11-2044为了分析这时温度分布的特点，将式取对数得：为了分析这时温度分布的特点，将式取对数得： xFo11111210coscossinsin2ln)(ln式右边第一项是时间式右边第一项是时间 的线性函数，的线性函数， 的系数只的系数只与与Bi有关，即只取决于第三类边界条件、平壁有关，即只取决于第三类边界条件、平壁的物性与几何尺寸。的物性与几何尺寸。右边第二项只与右边第二项只与Bi、x/ 有关，与时间有关，与时间 无关。无关。上式说明，当上式说明，当Fo 0.2,平壁内所有各点过余温平壁内所有各点过余温度的对数都随时间线性变化，并且变化曲线的度的对数都随时

29、间线性变化，并且变化曲线的斜率都相等斜率都相等,这一温度变化阶段称为非稳态导热这一温度变化阶段称为非稳态导热的正规状况阶段。的正规状况阶段。2021-11-2045xxm)(cos)(),(1这时比值与这时比值与 无关，仅与几何位置无关，仅与几何位置(x/ )及边界及边界条件条件(Bi数数)有关。即初始条件的影响已经消失。有关。即初始条件的影响已经消失。无论初始分布如何，无量纲温度都是一样的。无论初始分布如何，无量纲温度都是一样的。这是非稳态导热的正规状态或充分发展阶段。这是非稳态导热的正规状态或充分发展阶段。 当当Fo 0.2时任一点过余温时任一点过余温度与中心过余温度之比为度与中心过余温度

30、之比为xeFo1)(11110cos)cos()sin()sin(2212021-11-2046xxm)(cos)(),(1令令x = 可以计算平壁表面温度和中心温度的可以计算平壁表面温度和中心温度的比值。比值。又由又由表表3-1可知，当可知，当Bi 0.1时，时， 1 0.95。即当。即当Bi 0.1时，平壁表时，平壁表面温度和中心温度的差别小于面温度和中心温度的差别小于5%，可以近似，可以近似认为整个平壁温度是均匀的。这就是认为整个平壁温度是均匀的。这就是3-2节节集集总参数法的界定值定为总参数法的界定值定为Bi 10，即，即Bi0.1时，时，所有曲线上的过余温度差值小于所有曲线上的过余温度差值小于5%，这时可，这时可以用集总参数法求解而误差不大。一般为了以用集总参数法求解而误差不大。一般为了得到更高精确度，可使得到更高精确度，可使Bi0.01为下限，误差为下限，误差极微。极微。 2021-11-2055例例3-2：一块厚：一块厚100mm的钢板放入温度为的钢板放入温度为1000 的炉的炉中加热。钢板一面加热，另一面可认为是绝热。初始中加热。钢板一面加热，另一面可认为是绝热。初始温度温度 t0=20，求受热面加热到，求受热面加热到500所需时间，及剖所需时间，及剖