空间向量知识点与题型归纳总结

1、空间向量知识点与题型归纳总结知识点精讲一、空间向量及其加减运算1. 空间向量在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模. 空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量ar的起点是a，终点是b，则向量ar也可以记作abu uu r，其模记为ar或abu uu r. 2. 零向量与单位向量规定长度为0 的向量叫做零向量，记作0r. 当有向线段的起点a与终点b重合时，0abuu u rr. 模为 1的向量称为单位向量. 3. 相等向量与相反向量方向相同且模相等的向量称为相等向量. 在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. 空间任意两个向量

2、都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量. 与向量ar长度相等而方向相反的向量，称为ar的相反向量，记为ar. 4. 空间向量的加法和减法运算（ 1）ocoaobabuuu ruuu ruu u rrr，baoaobabuu u ru u u ruuu rrr. 如图 8-152 所示 . （ 2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律abbarrrr，abcabcrrrrrr二、空间向量的数乘运算1数乘运算实数与空间向量ar的乘积ar称为向量的数乘运算. 当0时，ar与向量ar方向相同；当0时，向量ar与向量ar方向相反 . ar的长度是ar的长度的倍 . 2. 空间向量的数乘运算满足

3、分配律及结合律ababrrrr，aarr. 3. 共线向量与平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，ar平行于br，记作/ /abrr. 4. 共线向量定理对空间中任意两个向量ar，br0brr，/ /abrr的充要条件是存在实数，使abrr. 5. 直线的方向向量如图 8-153 所示，l为经过已知点a且平行于已知非零向量ar的直线 . 对空间任意一点o，点p在直线l上的充要条件是存在实数t， 使opoatauuu ruu u rr， 其中向量ar叫做直线l的方向向量， 在l上取abauuu rr，则式可化为1opoataboat obo

4、at oatobuuu ru uu ruuu ruuu ruuu ruuu ruu u ruuu r和都称为空间直线的向量表达式，当12t，即点p是线段ab的中点时，12opoaobu uu ruu u ruuu r，此式叫做线段ab的中点公式 . 6. 共面向量如图 8-154 所示，已知平面与向量ar，作oaauuu rr，如果直线oa平行于平面或在平面内，则说明向量ar平行于平面. 平行于同一平面的向量，叫做共面向量. 7. 共面向量定理如果两个向量ar，br不共线，那么向量pu r与向量ar，br共面的充要条件是存在唯一的有序实数对, x y，使pxaybu rrr. 推论： （ 1）

5、空间一点p位于平面abc内的充要条件是存在有序实数对, x y，使apxaby acuuu ruuu ru uu r；或对空间任意一点o，有opoaxabyacuuu ru uu ruuu ruuu r，该式称为空间平面abc的向量表达式. （2） 已知空间任意一点o和不共线的三点a，b，c， 满足向量关系式opxoayobzocuuu ruu u ruuu ruuu r（其中1xyz）的点p与点a，b，c共面；反之也成立. 三、空间向量的数量积运算1. 两向量夹角已知两个非零向量ar，br，在空间任取一点o，作oaau uu rr，obbuuu rr，则aob叫做向量ar，br的夹角，记作,

6、a br r，通常规定0,a br r，如果,2a br r，那么向量ar，br互相垂直，记作abrr. 2. 数量积定义aaa图 8-154 o已知两个非零向量ar，br， 则cos,a ba br rr r叫做ar，br的数量积， 记作a br r， 即cos,a ba ba br rr rr r.零向量与任何向量的数量积为0，特别地，2a aarrr. 3. 空间向量的数量积满足的运算律：aba brrr r，a bb ar rr r（交换律）；abca ba crrrrrrr（分配律） . 四、空间向量的坐标运算及应用（ 1）设123,aa a ar，123,bb b br，则1122

7、33,abab ab abrr；112233,abab ab abrr；123,aaaar；1 12233a ba ba ba br r；112233/ /0,ab bab ababrr rr；1 122330ababa ba brr. （ 2）设111,a xy z，222,b xy z，则212121,aboboaxxyy zzuuu ruuu ruu u r. 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标. （ 3）两个向量的夹角及两点间的距离公式. 已知123,aa a ar，123,bb b br，则2222123aaaaarr；222212

8、3bbbbbrr；1 12233a baba ba br r；1 12233222222123123cos,aba ba ba baaabbbr r；已知111,a xy z，222,b xy z，则222121212abxxyyzzu uu r, 或者,d a babuuu r. 其中,d a b表示a与b两点间的距离，这就是空间两点的距离公式. （4）向量ar在向量br上的射影为cos,a baa bbr rrr rr. （5）设0n nrrr是平面m的一个法向量，ab，cd是m内的两条相交直线，则0n abr uuu r，由此可求出一个法向量nr（向量abuuu r及cduuu r已知）

9、 . （6）利用空间向量证明线面平行：设nr是平面的一个法向量，lr为直线l的方向向量，证明0l nr r，（如图 8-155 所示） . 已知直线l（l） ，平面的法向量nr，若0l nr r，则/ /l. （7）利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线中各取一个方向向量ar，br，只要证明abrr，即0a brr. （8）利用空间向量证明线面垂直：即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线. （9）证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明法向量互相平行、法向量互相垂直. （10）空间角公式 . 异面直线所成角公式：设ar，br分别为异面直线1l，2l上的方向向量，为异面直线所成角的

10、大小，则coscos,a ba ba br rr rr r. 线面角公式：设l为平面的斜线，ar为l的方向向量，nr为平面的法向量，为l与所成角的大小，则sincos,a na na nr rr rr r. 二面角公式：设1n，2n分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则12,n nu r u u r或12,n nu r u u r（需要根据具体情况判断相等或互补），其中1212cosnnn nu r u u ru r u u r. （11）点a到平面的距离为d，b，nr为平面的法向量，则ab ndnu uu r rr. 题型归纳及思路提示题型 1 空间向量及其运算思路提示空间向量的运算包括空

11、间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算，可以类比平面向量的运算法则. 一、空间向量的加法、减法、数乘运算例 8.41 如图 8-156 所示，已知空间四边形oabc， 点,mn分别为oa，bc的中点，且oaauu u rr，obbuuu rr，nl图 8-155 occu uu rr，用ar，br，cr表示mnuu u u r，则mnuuu u r . 解 析1122omoaauuuu ruu u rr，1122onobocbcuuu ruu u ruu u rrr，111222mnonombcabcau uu u ruuu ruu uu rrrrrrr. 变式 1 如图 8-1

12、57 所示，已知空间四边形oabc， 其对角线为ob，ac，m和n分别是对边oa和bc的中点，点g在线段mn上，且2mggnuu uu ruu u r，现用基向量oauu u r，obuuu r，ocu uu r表示向量oguu u r，设ogxoayobzocu uu ru uu ruuu ru uu r，则, ,x y z的值分别是（）.a111,333xyz.b111,336xyz.c111,363xyz.d111,633xyz变式 2 如图 8-158 所示，在四面体oabc中，oaauu u rr，obbuuu rr，occu uu rr，d为bc的中点，e为ad的中点，则oeuuu

13、 r（用ar，br，cr表示） . 变式3 在空间四边形abcd中，连接对角线,ac bd，若bcd是正三角形，且e为其重心，则1322abbcdeadu uu ru uu ruuu ru uu r的化简结果为 . 变式 4 如图 8-159 所示，在平行六面体1111abcda b c d中，m为11ac与11b d的交点，若abauuu rr，adbu uu rr，1aacuuurr，则下列向量中与bmuuu u r相等的向量是（）.a1122abcrrr.b1122abcrrr.c1122abcrrr.d1122abcrrr二、空间共线向量定理的应用空间共线向量定理：/ /0ab bab

14、rr rrrr. 利用此定理可解决立体几何中的平行问题. 例 8.42 已知3240mabcu rrrrr，182nxabycrrrr，且, ,a b cr r r不共面，若/ /mnu rr，求, x y的值 . 解析因为/ /mnu rr且0mu rr，所以nmru r，即182324xabycabcrrrrrr. 又因为, ,a b cr r r不共面，所以138224xy，解得138xy. 二、空间向量的数量积运算121212cos,a ba ba bx xy yz zr rr rr r；求模长时，可根据2222111aaxyzrr；求空间向量夹角时，可先求其余弦值cos,a ba b

15、a br rr rr r. 要判断空间两向量垂直时，可以求两向量的数量积是否为0，即0a babr rrr. ,a br r为锐角0a brr；,a br r为钝角0a br r.由此， 通常通过计算a br r的值来判断两向量夹角是锐角还是钝角. 例 8.43 已知空间四边形abcd的每条边和对角线的长都等于a，点,e f分别是,bc ad的中点，aeu uu rafu uu r的值为（）. .a2a.b21.2ba21.4ca23.4da解析依题意，点,e f分别是,bc ad的中点，如图8-160 所示，aeu uu rafu uu r1122abacaduu u ruu u ruuu

16、r14ab adac aduuu r uuu ruuu r uuu r22211cos60cos6044aaa. 故选c.变式 1 如图 8-161 所示，已知平行六面体1111abcda b c d中，1160a ada abdab，且11a aabad，则1ac. 变式 2 如图 8-162 所示，设,a b c d是空间不共面的4 个点，且满足0ab acuu u r u uu r，0adacuuu ru uu r，0ad abu uu r uu u r，则bcd的形状是（）. .a钝角三角形.b直角三角形.c锐角三角形.d无法确定例 8.44 如图8-163 所示，在45的二面角l的棱

17、上有两点,a b，点,c d分别在,内，且acab，45abd，1acbdab，则cd的长度为. 分析求cd的长度转化为求空间向量cduuu r的模 . 解析因为cdcaabbduuu ruuu ru uu ruuu r，故22cdcaabbduuu ruu u ruu u ruu u r222222caabbdca abab bdca bduu u ruu u ru uu ruu u r uuu ru uu r uuu ru uu r uuu r1 1 102 1 1cos1352ca bduu u r uu u r，设点c在内的射影为h，则haabu uu ruuu r，,135ha bd

18、u uu r uuu r. 故ca bdchhabdchbdha bduu u r uuu ruuu ruuu ruuu ruu u r uuu ruuu r uu u r10cos1351 cos45 cos1352ha bduuu r u uu r. 故222cduu u r，则22cduuu r. 变式 1 已知二面角l为60，动点,p q分别在面,内，p到的距离为3，q到的距离为2 3，则,p q两点之间距离的最小值为（）. . 2a.2b.2 3c.4d变式 2 在直角坐标系中，设3,2a，2, 3b，沿y轴把坐标平面折成120的二面角后，ab的长为（）. . 6a.4 2b.2 3

19、c.2 11d例 8.45 如图 8-164 所示， 设动点p在棱长为 1的正方体1111abcda b c d的对角线1bd上， 记11d pd b.当apc为钝角时，求的取值范围 . 解析由题设可知，以1,da dc dduu u r uuu r uuu u r为单位正交基底，建立如图8-165 所示的空间直角坐标系dxyz，则有1,0,0a，1,1,0b，0,1 ,0c，10,0,1d. 由11,1, 1d buu uu r，11, ,d pd buuuu ruu uu r，111,0, 1,1,1pad ad puu u ru uu u ruuu u r，110,1, 1, ,1,1p

20、cdcd puuu ruu uu ruuu u r. 显然apc不是平角，所以apc为钝角，coscos,0pa pcapcpa pcpa pcuu u r u uu ruu u r uuu ruu u r uuu r，等价于0pa pcuu u r uuu r，即21110，得113. 因此，的取值范围是1,13. 评析利用向量知识将apc为钝角转化为cos,0pa pcuu u r uuu r求解是本题的关键. 变式1 已知正方体1111abcda b c d的棱长为1，点p在线段1bd上，当apc最大时，三棱锥pabc的体积为（） . 1.24a1.18b1.9c1.12d例 8.46

21、如图 8-166 所示，在四棱锥pabcd中，侧面pad为正三角形，底面abcd为正方形，侧面pad底面abcd，m为底面abcd内的一个动点，且满足mpmc，则点m在正方形abcd内的轨迹为（）. 解析取ad的中点o，以oauuu r为x轴，垂直于oa的oeuuu r为y轴，opuuu r为z轴，建立空间直角坐标系如图 8-167 所示 . 设, ,0mx y，正方形的边长为a，30,0,2pa，, ,02aca，则222amcxya，22234mpxya，mpmc，得22222324aaxyaxy，即202axy. 所以点m在正方形abcd内的轨迹为一条线段，且过d点和ab的中点 . 故选

22、a. 评注本题利用空间线面位置关系求解也很快. 由题意知空间内与两定点距离相等的点均在线段中垂面内，即m在线段pc的中垂面内 . 又m为底面abcd内一动点，则m的轨迹为两平面的交线落在底面内的部分，排除c、d. 又bpbc，故排除b. 故选a. 变式 1 到两互相垂直的异面直线距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（） . .a直线.b椭圆.c抛物线.d双曲线变式 2 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离，已知平面，两两互相垂直，点a，点a到，的距离都是3，点p是上的动点，满足p到的距离是点p到点a距离

23、的2 倍，则点p的轨迹上的点到的距离的最小值是（）. .33a.32 3b.63c. 3d题型 2 空间向量在立体几何中的应用思路提示用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂直的问题，也可以求空间角和距离. 因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法求解，且其解法一般都比较简单. 用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三条棱所

24、在的向量为基底），然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算. 一、证明三点共线（如a，b，c三点共线）的方法先构造共起点的向量abuuu r，acu uu r，然后证明存在非零实数，使得abacuuu ruuu r. 例 8.47 如图 8-168 所示，已知在长方体1111abcda b c d中，点m为1dd的中点，点n在ac上，且:2:1an nc，点e为bm的中点 . 求证：1a，e，n三点共线 . 解析以d为坐标原点建立空间直角坐标系-d xyz，如图8-169所示 . 不妨设daa，dcb，1ddc， 则0,0,2cm，, ,0b a b，,2 2 4a b ce，1,0,a

25、ac，2,033abn， 则13,2 24a bca eu uu r，122,33aba ncuuuu r，因为1143a na euu uu ru uu r，故1a，e，n三点共线 . 变式1 在正方体1111abcda b c d中，e,f分别为棱1aa和1cc的中点，则在空间中与三条直线11a d，ef，cd都相交的直线（）. .a不存在.b有且只有两条.c有且只有三条.d有无数条变式 2 如图 8-170 所示，在空间四边形abcd中，m，n分别是ab和cd的中点，p为线段mn的中点，q为bcd的重心 . 求证：,a p q三点共线 . 二、证明多点共面的方法要证明多点（如a，b，c，

26、d）共面，可使用以下方法解题. 先作出从同一点出发的三个向量（如abuu u r，acuuu r，aduu u r） ，然后证明存在两个实数, x y，使得adxabyacuuu ru uu ruuu r.例 8.48 如图 8-171 所示，平面abef平面abcd，四边形abef与abcd都是直角梯形，90badfab，1/ /2bcad，1/ /2beaf.求证：,c d e f四边共面 . 解析由平面abef平面abcd，又afab，平面abef i平面abcdab，得af平面abcd，以a为坐标原点，建立空间直角坐标系axyz，如图 8-172 所示 . 设aba，bcb，bec，则

27、,0,0b a，, ,0c a b，0,2 ,0db，,0,e ac，0,0,2fc.0,ceb cuuu r，0, 2 ,2dfbcuuu r，因为2dfceuu u ruuu r，所以/ /dfce，则,ce df确定一个平面，即,c d e f四点共面 . 变式 1 如图 8-173 所示，已知平行六面体1111abcda b c d，,e f g h分别是棱11111,a dd c c c ab的中点 . 求证：,e f g h四点共面 . 三、证明直线和直线平行的方法将证线线平行转化为证两向量共线. 设,a b是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为,a br r，则/ /,0aba

28、brrrrr. 例 8.49 如图 8-174 所示，在正方体1111abcda b c d中，mn是异面直线1a d与ac的公垂线段 . 求证：1/ /mnbd. 解析以点d为坐标原点，建立空间直角坐标系dxyz，如图 8-175 所示 . 设正方体的棱长为a，则1,0,a aa，,0,0a a，0, ,0ca，, ,0b a a，10,0,da. 设, ,zmnx yuu u u r，由mn是异面直线1a d与ac的公垂线段，得1mna d，mnac，又1,0,adaauu u u r，, ,0aca auuu r，故100mna dmnacu uu u r uuu u ru uu u r

29、 uuu r，00axazaxay，令1x，则1z，1y，所以1,1, 1mnuu uu r，1,bdaa aamnuu uu ruuu u r，即1/ /bdmnu uu u ruuuu r. 因此1/ /mnbd. 四、证明直线和平面平行的方法（1）利用共面向量定理. 设,a br r为平面内不共线的两个向量，证明存在两个实数, x y，使得lxaybrrr，则/ /l. （2）转化为证明直线和平面内的某一直线平行. （3）转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（此方法最常用）. 例 8.50 如图 8-176 所示，在直四棱柱1111abcda b c d中，已知122dcddada

30、b，addc，/ /abdc，e是dc的中点 . 求证：1/ /d e平面1a bd. 解析因为11d ededdu uu u ruuu ruu uu r，11ddaauuuu ruu ur，e是dc的中点，12dedcabuu u ru uu ruuu r，所以111d eabaaabuuu u ruu u ruuuruuu r. 又因为1d e平面1a bd，11/ /d eabu uu u ruu ur，所以1/ /d e平面1a bd. 评注利用空间向量证明线面平行，已知直线的方向向量为ar，只要在平面内找到一条直线的方向向量为br，问题转化为证明abrr即可 . 变式 1 如图 8-

31、177 所示，已知p是正方形abcd所在平面外一点，m、n分别是pa、bd上的点，且:5:8pmmabnnd. 求证：直线/ /mn平面pbc. 五、证明平面与平面平行的方法（1）证明两平面内有两条相交直线分别平行. （2）转化为证两平面的法向量平行（常用此方法）. 例 8.51 如图 8-178 所示，在正方体1111abcda b c d中，,m n p分别是11111,c c b c c d的中点 .求证：平面/ /mnp平面1a bd. 解析解法一：以1d为坐标原点，11d a为x轴，11d c为y轴，1d d为z轴，建立空间直角坐标系1dxyz，如图 8-179 所示 . 设正方体的

32、棱长为a，则1,0,0aa，0,0,da，10, ,0ca，0, ,ca a，1, ,0ba a，0, ,2ama，0,02ap，, ,02ana，1,0,a daauuu u r，11,0,222aamna duuu u ruu uu r，所以1/ /mnaduu uu ru uu u r，即1/ /mna d，,0bdaauuu r，1,02 22a apnbduuu ruuu r，所以/ /pnbdu uu ruu u r，即/ /pnbd. 因为mnpnni，1a dbddi，所以平面/ /mnp平面1a bd. 解法二：设平面mnp的法向量为1111,nx y zu r，由1mnnu

33、uuu ru r，1pnnuu u ru r，得1111022022aaxzaaxy，令11z，得111111xyz，所以11, 1,1nu r. 设平面1a bd的法向量为2222,nxyzu u r，由12a dnuu uu ru u r，2bdnuuu ru u r，得222200axazaxay，令21z，得222111xyz，所以21, 1,1nuu r. 因为12/ /nnu ru u r，所以平面/ /mnp平面1a bd. 变式 1 如图 8-180 所示，在平行六面体1111abcda b c d中，,e f g分别是11111,a dd d d c的中点 . 求证 : 平面

34、/ /efg平面1ab c. 六、证明直线与直线垂直的方法设直线12,l l的方向向量为,a br r，则abrr0a br r. 这里要特别指出的是，用向量法证明两直线尤其是两异面直线垂直是非常有效的方法. 例 8.52 如图 8-181 所示， 四棱锥abcde中， 底面bcde为矩形，侧面abc底面bcde，2bc，2cd，abac. 求证：adce. 分析平面abc平面bcde，在平面abc内作aobcao平面bcde，以点o为坐标原点建立空间直角坐标系. 解析作aobc，垂足为o，则ao平面bcde，且o为bc的中点， 以o为坐标原点，oc为x轴，建立如图8-182 所示的直角坐标系

35、oxyz. 设0,0,aa，由已知条件知1,0,0c，1,2,0d，1, 2,0e，2,2,0ceuu u r，1, 2,adauuu r. 因为0cead=uu u ruu u r，所以 ceaduuu ruuu r。即adce. 评注：0m nmnu rru rr。变式 1 如图 8-183 所示，已知空间四边形abcd 的每条边和对角线长都等于a .点 m，n 分别为边ab，cd的中点 .求证： mn 为 ab 和 cd 的公垂线 . 七.证明直线与平面垂直的方法(1)证明直线和平面内的两天相交直线垂直. (2)证明直线和平面内的任一直线垂直. (3)转化为证明直线与平面的法向量共线.

36、例 8.53 如图 8-184 所示 ,在直四棱柱abcd-1111a b c d 中,已知 abcd,ab=ad= 1,1dd =cd =2.abad.求证： bc平面1d db. 解析如图8-185所示,以d为坐标原点,建立空间直角坐标系dxyz,1(0,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,2dbcd）, 所以1( 1,1,0),(0,0,2),(1,1,0)bcd ddbuuu ruuu u ruu u r,因为10bc d d=bc db=uu u ruuuu ruu u ruuu r0，, 所以1bcd d bcdbuuu ru uuu r uuu ru uu r，.

37、 因为1,dddbdi又1d ddb，面1d db ,所以 bc平面1d db. 变式 1正三棱锥o-abc 的三条侧棱oa, ob, oc 两两垂直，且长度均为2，e，f分别是ab，ac的中点，h是ef的中点， 过ef的一个平面与侧棱oa,ob,oc或其延长线分别交于111,abc，132oa =。 求证：11b c面oah. 变式 2 如图 8-186 所示 ,在四棱锥p-abcd 中,pa底面 abcd ,abad ,accd,abc=60 , pa=ab=bc ,e 是 pc 的中点 .证明 :pd面 abe. 八.证明平面和平面垂直的方法(1)转化为证明两平面的法向量互相垂直(2)转

38、化为证明一平面内的一条直线垂直于另一个平面. 例 8.54 如图 8-187 所示，在正方体abcd-1111a b c d 中， e，f 分别是1bb ，cd 的中点，求证：平面dea平面11a fd 。解析如图 8-188 所示，以d为坐标原点 , 建立空间直角坐标系dxyz , 令12dd, 则11(0,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(2,0,2),(0,1,02,2,1ddaafe）， （）设11112222(,),(,),nxyznxyzu u ruu r分别为平面dea 与平面11a fd 的法向量，则11,nda ndeu u ruuu r u u ruuu r又(2

39、,0,0),(2,2,1),dadeuuu ruuu r则111120,220 xxyz令11y，得1(0, 1,2),n-u u r同理可得2(0,2,1)nuu r。所以12nnu u ru u r。故平面dea平面11a fd变式 1 如图 8-189 所示，已知四棱锥p-abcd 的底面为直角梯形， abcd， dab=90， pa底面 abcd，且 pa=ad=dc=?ab=1. 求证：平面pad平面 pcd。九求两异面直线所成角的方法设两异面直线a 和 b 的方向向量为ar和 br，利用求角余弦公式可求得ar和 br的夹角，由于两向量所成角的范围是 0,而两异面直线所成角的范围是0

40、2（ ，。所以|cos|a b=|cos=abrru u rr。例 8.55 如图 8-190 所示，已知点p 在正方体abcd1 111a b c d 的对角线1bd 上，pda=60，求 dp 与 cc1所成角的大小。分析从 pda=60入手，确定点p 的坐标与其相关点的坐标，利用向量的数量积来就是异面直线所成角的余弦值。解析 ：如图 8-191 所示，以 d 为原点， da 为单位长度建立空间直角坐标系d-xyz，则a(1,0,0） ，c(0,1,0） ，c1(0,1,1） ，1,0,0dauuu r（） ，1(0,0,1)ccuu uu r。连接11b d ，在平面bd11d b 中，

41、延长dp 交11d b 于h，设(,1)(0)dhm mmuuu u r由已知,60dh dauu uu r uu u r得|1cos,2|dhdadh dadhdauuu u ruuu ru uuu r uuu ru uuu ruu u r，即2,1) (1,0,0)1,221 1m mmgg（可221 2m=m ，解得22m=，所以22(,1)22dhu uu u r。因为122(,1)0,0,1222cos,221dh cc=u uu u r uuu u r（）所以1,dh ccuuu u r uuuu r=45，即求dp 与 cc1所成角的大小为45. 变式 1 已知正四棱锥s-abc

42、d 的侧棱长与底面边长都相等，e 是 sb的中点，则ae 与 sd 所成角的余弦值为（）13a.2.3b3.3c23d.变式 2 如图 8-192 所示，等边三角形abc 与正方形abde 有一公共边ab，二面角 c-ab-d 的余弦值为33，m，n 分别是 ac，bc 的中点，则em 和 an 所成角的余弦值等于。变式 3 如图 8-193 所示，在四棱锥p-abcd 中， pa平面 abcd，底面 abcd 是棱形， ab=2，bad=60，若 paab，求 pb 与 ac 所成角的余弦值。十求直线与平面所成角的方法（）先作出该角，再利用求角余弦公式来求。（）改求直线的方向向量与平面的法向

43、量所成角的余角，如图所示，设直角l的方向向量为1lu r，平面的法向量为nr，直线l和平面所成角为，则1,2lnu r r或1,2ln-u r r，因为的取值范围是 0,2，所以111sin| cos,|ln|ln=|l |nu r u ru r rgu u r u u r。例 .如图所示，四棱锥s-abcd 中，底面abcd 为平行四边形，侧面sbc底面abcd ，已知 abc， bc 2 2 ，ab， sasb3 ，求直线sd 与平面面sab 所成角的正弦值。解析如图8-196 所示，作sobc,垂足为o，连接ao，由侧面sbc底面abcd，得so底面abcd，由sasb，可得oaob。由

44、 abc=45 ，得 abo 为等腰直角三角形，oaob，建立空间直角坐标系oxyz，则(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,1),(2,2 2,0)abcsd，2,22,1),(2,0,1),(0,2,1)ds= -sasbu uu ruu ru ur（，由0,0,n abn sbruu u rruur得111120,20 xzyz令12z，则111,1,xy得(1,1, 2)nr，设直线sd与平面 sab所成角为，则|22sin|cos,|11|ds nds n=|ds|nuuu r ruuu r rguuu r r所以直线sd与平面 sab所成角的正弦值为2211.

45、变式 1 如图 8-197 所示，在四棱锥p-abcd 中， pd底面 abcd，底面 abcd 为正方形， pd=dc，e，f 分别是 ab,pb 的中点，求db 与平面 def 所成角的正弦值。变式 2 如图 8-198 所示，在四棱锥p-abcd 中，底面 abcd 是矩形，pa底面 abcd， pa=ad=4,ab =2,以 ac 的中点 o 为球心，以ac 为直径的球面交pd 于点 m，求直线cd 与平面 acm 所成角的正弦值。变式 3, 如图 8-199 所示，四棱锥 s-abcd 中，abcd， bccd， 侧面 sab为等边三角形， ab=bc=2，cd=sd=1.求 ab

46、与平面 sbc 所成角的正弦值十一、求平面与平面所成角的方法（1）在平面内，alrr，在平面内，blrr（ lr是交线l的方向向量），其方向如图8-200 所示，则二面角 -l-的平面角的余弦值为a b|a| |b|rrr uu r 。(2)设12n nu u r uu r， 是二面角 -l-的两个半平面的法向量，其方向一个指向二面角内侧，另一个指向二面角的外侧，则二面角-l-的余弦值为1212n n|n|n |u u r uu rgu u r uu r。例 8.57 如图 8-201 所示，已知四棱锥p-abcd ，底面 abcd 为菱形， pa底面 abcd，pa=ab=2，abc=60，

47、 e,f 分别为 bc，pc 的中点，求二面角e-af-c 的余弦值。解析因为 ae，ad，ap 两两垂直，以a 为坐标原点，建立如图8-202 所示的空间直角坐标系a-xyz，又 e，f 分别为 bc，pc 的中点，所以（ ,） ，3 1(3, 1,0),(3,1,0),(0,2,0),(0,0,2),( 3 0,0(,1)22bcdpef， ），设平面 aef 的法向量为n=(x,y,z)r，则00n ae=n af=r uu u rgr uu u rg，又3 1( 3 0,0(,1)22ae=af=uu u ruuu r， ），得3031022xxyz，令1z，则(0, 2, 1)n=r

48、。因为 bdac， bdpa，paac=a，所以 bd平面 pac，故 bduuu r为平面 afc 的法向量。又3 3,0bd= -uuu r（， ）所以15cos,5| |n bdn bd=nbd|r u uu rr uuu rgu u ruuu r由图知所求的二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为155。变式 1如图 8-203 所示，已知四棱锥p-abcd ，pbad，侧面 pad 是边长等于2 的正三角形，底面abcd 为棱形，侧面pad 与底面 abcd 所成二面角为120，求平面apb 与平面 cpb 所成二面角的余弦值。变式 2 如图 8-204 所示， 四棱锥 s-abcd

49、中， sd底面 abcd， abdc， addc， ab=ad=1， dc=sd=2，e 为棱 sb上一点，平面edc平面 sbc，求二面角a-de-c 的大小。变式 3 如图 8-205 所示，直三棱柱111abca b c 中， acb=90， ac=1， cb=2 ， 侧棱1aa =1， 侧面11aa b b的两条对角线的交点为d，11b c 的中点为m，求平面1b bd 与平面 cdm 所成二面角的正弦值。十二 .求点到平面距离的方法如图 8-206 所示 ,平面的法向量为nr,点 q 是平面内一点 ,点 p 是平面外的任意一点 ,则点 p 到平面的距离 d,就等于向量pquu u r

50、在法向量 nr方向上的投影的绝对值,即| | cos,|dpqpq nuuu ru uu r r或.|pq n|d=|pq|n|uu u r u rguuu r u u r例8.58如 图8-207所 示 , 该 多 面 体 是 由 底 面 为abcd的 长 方 体 被 截 而 得 到 的 , 其 中ab=4,bc=2,13cc,be=1,求点 c 到平面1aec f 的距离 . 解析建立如图8-208 所示的空间直角坐标系d-xyz,则0,0dab（0，），（ 2, 0,0）， （2,4,0），10,4,02,4,1),(0,4,3)cec（）， （. 设(0,0,)fz, 因 为 四 边 形1aec f 为 平 行 四 边 形 , 所 以1af=ecu uu ruu uu r, 得(-2,0,z)=(-2,0,2), 故 z=2，f（0,0,2） ，设1nu u r为平面1aec f 的法向量，1111,)n =(xyzu u r，由11nae nafu u ruu u r u u ru uu r， 得1100nae=naf=u u ruuu ru