第15练 导数的应用

1、第十五练导数的应用一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内)1已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件B11万件C9万件 D7万件解析：因为yx281，所以当x>9时，y<0；当x(0,9)时，y>0，所以函数yx381x234在(9，)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x9是函数的极大值点，又因为函数在(0，)上只有一个极大值点，所以函数在x9处取得最大值2设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f(x)，g(x)分别为

2、f(x)、g(x)的导函数，且满足f(x)g(x)f(x)g(x)<0，则当a<x<b时，有()Af(x)g(b)>f(b)g(x) Bf(x)g(a)>f(a)g(x)Cf(x)g(x)>f(b)g(b ) Df(x)g(x)>f(b)g(a)解析：令yf(x)·g(x)，则yf(x)·g(x)f(x)·g(x)，由于f(x)g(x)f(x)g(x)<0，所以y在R上单调递减，又x<b，故f(x)g(x)>f(b)g(b)答案：C3(2011·荆州质检题)函数f(x)ax33x1对于x1,1总

3、有f(x)0成立，则a的取值为()A2，) B4，)C4 D2,4解析：f(x)3ax23，当a0时，f(x)minf(1)a20，a2，不合题意；当0<a1时，f(x)3ax233a，f(x)在1,1上为减函数，f(x)minf(1)a20，a2，不合题意；当a>1时，f(1)a40且f10，解得a4.综上所述，a4，故选C.4函数f(x)ex(sinxcosx)在区间上的值域为()A. B.C. D.解析：f(x)ex(sinxcosx)ex(cosxsinx)excosx，当0x时，f(x)0，且只有在x时f(x)0，f(x)是上的增函数，f(x)的最大值为fe，f(x)的最

4、小值为f(0).f(x)在上的值域为.故应选A. 5已知函数f(x)x22xalnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是()Aa0 Ba<4Ca0或a4 Da>0或a<4解析：f(x)2x2，f(x)在(0,1)上单调，f(x)0或f(x)0在(0,1)上恒成立，即2x22xa0或2x22xa0在(0,1)上恒成立，所以a(2x22x)或a(2x22x)在(0,1)上恒成立记g(x)(2x22x),0<x<1，可知4<g(x)<0，a0或a4，故选C.6(精选考题·江西)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升

5、出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)0)，则导函数yS(t)的图象大致为()解析：由导数的定义知，S(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率如图，正五角星薄片中首先露出水面的区域I，此时其面积S(t)在逐渐增大，且增长速度越来越快，故其瞬时变化率S(t)也应逐渐增大；当露出的是区域时，此时的S(t)应突然增大，然后增大速度减慢，但仍为增函数，故其瞬时变化率S(t)也随之突然变大，再逐渐变小，但S(t)>0(故可排除B)；当五角星薄片全部露出水面后，S(t)的值不再变化，故其导数值S(t)最终应等于0，符合上述特征的只有选项A.二、填空题：(本大题共

6、4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7函数f(x)x的单调减区间为_解析：f(x)1，令f(x)<0，解得3<x<0或0<x<3，故单调减区间为(3,0)和(0,3) 8若函数f(x)x33xa有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_解析：f(x)3x233(x1)(x1)令f(x)0，得x1或x1.f(x)在(，1)和(1，)上递增，在(1,1)上递减，2<a<2.9函数f(x)x3px22m2m1在区间(2,0)内单调递减，且在区间(，2)及(0，)内单调递增，则实数p的取值集合是_解析：由已知可知，f(x)在x0和x2处分别

7、取得极小值和极大值f(x)3x22pxx(3x2p)，3×(2)2p0，p3.p的取值集合是3答案：310函数ysin2xx，x的最大值是_，最小值是_答案：三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11设函数f(x)x36x5，xR.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)a有三个不同实根，求实数a的取值范围；(3)已知当x(1，)时，f(x)k(x1)恒成立，求实数k的取值范围解：(1)f(x)3x26，令f(x)0，解得x1，x2.因为当x>或x<时，f(x)>0；当<x<时，

8、f(x)<0.所以f(x)的单调递增区间为(，)和(，)；单调减区间为(，)当x时，f(x)有极大值54；当x时，f(x)有极小值54.(2)由(1)的分析知yf(x)的图象的大致形状及走向如图所示，当54<a<54时，直线ya与yf(x)的图象有三个不同交点，即方程f(x)a有三个不同的解 (3)f(x)k(x1)，即(x1)(x2x5)k(x1)因为x>1，所以kx2x5在(1，)上恒成立令g(x)x2x5，此函数在(1，)上是增函数所以g(x)>g(1)3. 所以k的取值范围是k3.评析：(1)利用导数求单调区间和极值(2)由(1)的结论，问题转化为yf(x

9、)和ya的图象有3个不同的交点，利用数形结合的方法求解(3)将问题转化为不等式恒成立问题，利用分离参数法求解本题综合考查了利用导数求单调区间、极值以及方程、函数、不等式三者之间的相互转化，对理性思维能力要求较高12已知函数f(x)ax36ax2b，问是否存在实数a、b，使f(x)在1,2上取得最大值3，最小值29？若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由解：显然a0.f(x)3ax212ax3ax(x4)令f(x)0，解得x10，x24(舍去) (1)当a>0时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1,0)0(0,2f(x)0f(x)最大值所以当x0时，f(x)取得最大

10、值，所以f(0)b3.又f(2)16a3，f(1)7a3，f(1)>f(2)所以当x2时，f(x)取得最小值，即16a329，a2.(2)当a<0时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1,0)0(0,2f(x)0f(x)最小值所以当x0时，f(x)取得最小值，所以b29.又f(2)16a29，f(1)7a29，f(2)>f(1)所以当x2时，f(x)取得最大值，即16a293，a2.综上所述a2，b3或a2，b29.评析：本题综合运用了求极值、最值的方法确定系数a、b，注意对a的讨论和最大值、最小值的确定13已知函数f(x)x2eax(a>0)，求函数在1,2上的最大值分析：通过求导先判断单调性再求最值在求最值时，对a的情况要进行讨论解：f(x)x2eax(a>0)，f(x)2xeaxx2·(a)eaxeax(ax22x)令f(x)>0，即eax(ax22x)>0，得0<x<.f(x)在(，0)，上是减函数，在上是增函数当0<<1，即a>2时，f(x)在(1,2)上是减函数，f(x)maxf(1)ea.当12，即1a2时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，f(x)maxf4a2e2.当>2时，即0<a<1时，f(x)在(1,2)上是增