解三角形精典题型归纳(包括知识点)

1、1 高中数学必修 5 第一章 解三角形复习一、知识点总结【正弦定理】1正弦定理 :2sinsinsinabcrabc (r为三角形外接圆的半径). 2. 正弦定理的一些变式：sinsinsini a b cabc；sin,sin,sin22abiiabcrr2cr；2 sin,2 sin,2siniiiara brb brc；（ 4）rcbacba2sinsinsin3两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. （2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角. （可能有一解，两解，无解）【余弦定理】1余弦定理：2222222222cos2cos2cosabcbcab

2、acacbcbabac 2. 推论：222222222cos2cos2cos2bcaabcacbbacbaccab. 设a、b、c是c的角、c的对边，则：若222abc，则90c；若222abc，则90c；若222abc，则90c3. 两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角. （2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 【面积公式】已知三角形的三边为a,b,c, 1.111sin()222asahabcr abc（其中r为三角形内切圆半径）2. 设)(21cbap,)()(cpbpapps( 海伦公式 )【三角形中的常见结论】2 （1）cba(2) sin()sin,abcco

3、s()cos,abc tan()tan,abc2cos2sincba,2sin2coscba;aaacossin22sin,（3）若cbacbacbasinsinsin若cbasinsinsincbacba（大边对大角，小边对小角）（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（5）三角形中最大角大于等于60，最小角小于等于60(6) 锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方. 钝角三角形最大角是钝角最大角的余弦值为负值（7）abc中， a,b,c 成等差数列的充要条件是60b. (8) abc为正三角形的充要条件是a,b,c 成等差数

4、列，且a,b,c成等比数列 .二、题型汇总题型 1【判定三角形形状】判断三角形的类型（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状: 判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. （2）在abc中，由余弦定理可知:222222222是直角abc 是直角三角形是钝角abc 是钝角三角形是锐角abcaabcaabcaabc 是锐角三角形（注意：是锐角aabc 是锐角三角形）(3) 若ba2sin2sin，则 a=b或2ba. 题型 2【解三角形及求面积】题型3【证明等式成立】证明等式成立的方法：（1）左右，（ 2）右左，（ 3）左右互相推 .题型 4【解三角形在实际中的应

5、用】3 解三角形 测试题一、选择题1、abc 中,a=1,b=3, a=30,则 b 等于（）a60b 60或 120c30或 150d1202、海上有a、b 两个小岛相距10 海里，从 a 岛望 c 岛和 b 岛成 60 的视角，从b 岛望 c 岛和 a 岛成 75 的视角，则b、c 间的距离是( ) a.10 海里 b.5海里 c. 56 海里 d.53 海里3、在锐角三角形abc 中，有（）acosasinb 且 cosbsina bcosasinb 且 cosbsinb 且 cosbsina dcosasina 4、若 (a+b+c)(b+ca)=3abc,且 sina=2sinbco

6、sc, 那么 abc 是（）a直角三角形b等边三角形c等腰三角形d等腰直角三角形5. abc中，coscoscosabcabc，则 abc一定是（）a 直角三角形 b 钝角三角形 c 等腰三角形 d 等边三角形6. abc中，60b，2bac，则abc一定是（）a 锐角三角形 b 钝角三角形 c 等腰三角形 d 等边三角形7. abc中， a=60, a=6 , b=4, 那么满足条件的 abc ( ) a 有 一个解 b 有两个解 c 无解 d 不能确定8. abc中，8b，8 3c，16 3abcs， 则a等于（）a 30 b 60 c 30或150 d 60或1209. abc中，若60

7、a，3a，则sinsinsinabcabc等于（）a 2 b 12 c 3 d 324 10在 abc 中，若0030, 6,90bac，则bc等于（）a1b1c32d3211. abc中，:1: 2a b，c的平分线cd把三角形面积分成3: 2两部分，则cos a（）a 13 b 12 c 34 d 012. 把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ）a 锐角三角形 b 直角三角形 c 钝角三角形 d 由增加的长度决定二填空题13、a 为 abc 的一个内角 ,且 sina+cosa=127, 则abc 是_三角形 .14、在 abc 中，若 sabc=41(a2+

8、b2c2),那么角 c=_. 15、在 abc 中， a =5,b = 4,cos(ab)=3231,则 cosc=_. 16在 abc 中，,26ab030c，则acbc的最大值是 _。三、解答题17、在abc中，abccos2，且abcbacba3)(，判断abc形状 . 18. 已知abc中，角cba,的对边分别为cba,，求证：bccbacoscos5 19. 在abc中，内角cba,对边的边长分别是cba,，已知2c，3c（）若abc的面积等于3，求ba,；（）若aabc2sin2)(sinsin，求abc的面积. 20、在 abc 中,求分别满足下列条件的三角形形状：b=60 ,b2=ac；b2tana=a2tanb；sinc=babacoscossinsin (a2b2)sin(a+b)=(a2+b2)sin(a b). 6 21、一缉私艇发现在北偏东45方向 ,距离 12 nmile 的海面上有一走私船正以10 nmile/h的速度沿东偏南15方向逃窜 .缉私艇的