二阶倒立摆实验报告

1、二阶倒立摆的控制指导老师：屈桢深问题描述小车质量，摆杆1质量，摆杆长度；摆杆2质量，摆杆长度。要求：设计NN控制器，满足指标要求：正弦信号幅值裕度10%,相角裕度15度。同时系统具备抗噪声和干扰性，控制输入合理步 骤：1阶倒立摆-2阶倒立摆。一阶倒立摆建模小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平 衡。电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位 移和角位移）。小车在轨道上可以自由滑动。单级倒立摆系统数学模型N和P分别为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分 量。分析小车水平方向所受的合力，可得到方程为：Mx F bx N由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式:d2m

2、 xdt22N mx ml cos ml sin把这个等式代入式中，得到系统的第一个运动方程:2M m x bx ml cos ml sin F为了推出系统的第二个运动方程，对摆杆垂直方向的合力进 行分析，得到下面的方程：Pd2lmg ml cosdt2P mgml sinml2cos力矩平衡方程如下：Plsin Nlcos I方程中力矩的方向，cos cos ,sin sin，故等式前面有负号。合并这两个方程，约去P和N,得到第二个运动方程：假设 与1（单位是弧度）相比很小，即1,则可进行近似处理:l sinI ml2mgl sinmlxcos用U代表被控对象的输入力，线性化后两个运动方程如

3、下:I ml2mgl mixM m x bx ml u对方程(7)进行拉普拉斯变换，得到:I ml2(s)s2mgl (s) mlX(s)s2M m X(s)s2bX(s)s ml (s)s2U (s)(s)_mis2X(s) (I ml2)s2mgl摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：(s)_ ml_A(s) I ml2s2mgl摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数:ml22 2 2q (M m)(I ml ) mlcos1,sindt为:推导时假设初始条件为0则摆杆角度和小车位移的传递函数(s)F(s)sq24b(I ml )3(M m)mgl2bmgl ssssqqq以外界作用力作为

4、输入的系统状态空间表达式为:0100&0(Iml2)bm2gl20 xI(Mm)Mml2I (M m)Mml2x&00010mlbmgl(Mm)0&I(Mm)Mml2I (M m)Mml20I ml2l(M m) Mml20mlI(M m) Mml2x10 0 02 0u 0 0 10 0&以小车加速度作为输入的系统系统状态空间表达式:01000&x00001&00010 u&003g0&34l4lxx10 00&0yu00 100&2系统的可控性、可观测性分析i对于连续时间系统:X AX Buy CX Du系统状

5、态完全可控的条件为：当且仅当向量组B , AB ,., An 1B是线性无关的，或nXn维矩阵B ABAn 1B的秩为n。系统的输出可控条件为：当且仅当矩阵CB CAB CA2B CAn 1B D的秩等于输出向量y的维数。应用以上原理对输入为加速度输出为摆杆与竖直方向的角度的夹角时的系统进行可控性分析即可。二阶倒立摆建模在忽略了空气流动，各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车、匀质杆的系统，如图所示。图 1 直线两级倒立摆物理模型下面利用拉格朗日方程推导运动学方程拉格朗日方程为：L q,& T q,& V q,&dt q22T TMTm2Tm3Tm1Tm1Tm2m2丄M

6、X?21Tm1畀d x l1sin1dt2d hsin1dtmj1)&cosTm1Tm1同样可以求出1Tm2m221m2Tm1d(x 2h sin& 2l1&Tm2】mi31.2 2mh162m1)&2m1l1X&1cos1m1l12睪31dtCOS111J2l2sin2l2&COS1m221m.21 1mi2 32d (2h costl2cos2)dt2h &sin1l2&sin2Im；&622Tm2Tm2Tm2m2X2&2l1&COS1l2&cos22-m24li24l；& 4hl2&a

7、mp;2cos2123因此，可以得到系统的总动能为:Tm 1Tm2丄口喪 m1l1&cos 2X& 2& 2l1&cos1l22m2 4l1& 3l2&2 4l1l2&2cos2 1系统的总势能为:V Vm1Vm2Vm3ggh cos1m?g 2l1cos1丨2cos2从而拉格朗日算子:LTVm2X& 2)& 2l1&cos1l2&cos222m24l1&3l2&心&曲21m?g 2hcos1Leos2由于因为在广义坐标1,2上均无外力作用，有以下等式成T TM12丄 MX221m2

8、22.2m1l13&COSm1l1&cos12.2立:dt 飞对1,2求解代数方程，得到以下两式& (3( 2gmisin14gmsin14mtgsin13mgcos(26ml1cos(12)sin(12) & 4ml2sin(12) &4mX&:os14m3Xfcos13mX8Dos(12)cos2) /2(2l1( 4m 12m212m39mtcos (12)3(mh 2(m2mh)(gsi n1Xcos1) /表示成以下形式：辱辱f1(X,L 2,&，X辱辱f2(X, 2，&，&，X取平衡位置时各变量的初值为零，A

9、(X1,2,& &,X) (0,0,0,0,0,0,0) 01)sin22m|X&:os14m2(m13(m2mOjlfy 3gsin26l1& sin(12)3Xfcos2)|m2l-|2l2cos(12)(6m2l2&si n(12)(m2(m13(m29叫)11覆4mfl12lf cos2(12)(2g(mi12mh)4m2l23m2) 12将（23）式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令f1x带入式，得到线性化之后的公式将式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令K21K11Kl23( 2gmi4gm24gmh)2( 4mi| 3m212m3

10、)l1K139mbg 2( 4m13m212mh)liK14f1xK15K16K17Jix&3( 2mim24mh)2( 4mi| 3m2)l1辱K12 13 2K17X&K22K27X&现在得到了两个线性微分方程，由于我们采用加速度作为输 入，因此还需加上一个方程K234g(mi 3m2)3(4m2l2169(0 3m(2)l2)K27J2带入（22）式，得到即:K24K2642(mi2m2)(mi3m2)163) (mi3m2)l24m2l2K27X&Kl2K13 2K17S&取状态变量如下:x1x12&1&2由(33), (41),

11、 (42)式得到状态空间方程如下:&000100X0&000010X20&000001X30u&000000X41&0K12K13000XK17&0K22K23000XsK27其中直线两级倒立摆系统参数为:M小车质量垂直向上方向的夹角；i1=1mi2=；F为作用在系统上的外力由以上方程，将以下参数代入即可M 0.8m10.3m20.2g 9.811 1X2X3X4XXmi=；m2=；1为摆杆1与垂直向上方向的夹角为摆杆2与12 0.5神经网络建模本文采用的神经网络采用量为4-5-3结构的三层前馈网。输入变(0-1)de tdt网络隐含层的局部诱导

12、域和输出分别为其中，w为隐含神经元的突触权值，W0表示神经元的偏置，Q为隐含神经元的节点数，隐含神经元的激活函数取双曲正切函数x tanh xXeXeXe(0-3)Xe网络输出层的诱导局部域和输出分别为Q2 2VknWkjj 0n O1n(0-4)22Okn f vknk1,2,3(0-5)xiX2X3Nn tyuttX2X31Vjn1jin O0(0-2)Oi1Vjn j 1,2,3,., QkpO；nkiO；n(0-6)kdO3n考虑到输出参数不能为负值，所以激活函数采用非负函数1exf x 1 tanh x -exex控制率为de t Mctkpe t k e tkd-dt采用BP学习算

13、法，对网络的突触权值进行迭代修正，并附加一个使搜索快速收敛的全局极小的动量项。定义系统的代价函数 为。t -e22(0-7)(0-8)(0-9)2-Wkjtt7WkjtO1ndw：tdtdw；t(0-10)dt其中，yita是学习率,则，局部梯度可计算如下alpha是动量因子，根据微分链式规k 12tyoutt u t Okt2 2youtt u tOkt Vkt由于输出对控制量的偏导未知，所以用符号函数近似表示， 由此带来的计算不精确的影响尽量由调整学习率来补偿。由控制 方程不难得到de tMetX kpe tkie t dt kd(0-12)dt将所有公式整合，不难得到神经元k的局部梯度为

14、由此可得，网络输出层神经元的突触权值调整的修正公式为wj tkt O1twjdt(0-15)同理，可得隐含层神经元的突触权值学习算法。W； tJt Oi0tw；i t dt(0-16)其中，神经元j的局域梯度为31 1 2 2jt Vj tkt Wkt(0-17)(0-11)Mct2OktXkt(0-13)e t sgnyouttMH(0-14)t至此，本文采用的神经网络原理已介绍完成，考虑到本次仿 真过程采用的变时间步长仿真方式类似于连续仿真，故在上文公 式中将神经网络中所有离散部分连续化。现将网络工作过程归纳 如下。1初始化确定网络结构，确定输入层节点数M和隐含层节点 数Q并给出各层突触权值的初值，选择学习率和动量因 子；2采样得到xin和y