D118常系数非齐次课件

1、D118常系数非齐次PPT课件常系数非齐次线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八节型)()(xPexfmxxxPexflxcos)()(型sin)(xxPn 一、一、 第十一章 三、欧拉方程D118常系数非齐次PPT课件)(xfyqypy ),(为常数qp二阶常系数非齐次线性微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为Yy *y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,*y给出特解的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法机动 目录 上页 下页 返回 结束 D118常系数非齐次PPT课件一、一、 型)()(xPexfm

2、x 为实数 ,)(xPm设特解为, )(*xQeyx其中 为待定多项式 , )(xQ代入原方程 , 得 )(xQ (1) 若 不是特征方程的根, , 02qp即可设),()(xQxQm .)(*xmexQy )()2(xQp)()(2xQqp)(xPm为 m 次多项式 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 若若 是特征方程的是特征方程的单根单根 , , 02qp,02 p即可设),()(xxQxQm .)(*xmexxQy D118常系数非齐次PPT课件(3) 若若 是特征方程的是特征方程的重根重根 , , 02qp,02 p此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .)(xQ )()2(

3、xQp)(xPm)()(2xQqp即机动 目录 上页 下页 返回 结束 可设),()(xQxxQm2 .)(*xmexQxy 2 综上讨论综上讨论, )(*xQexymxk 设 是重根是单根不是根 210,kD118常系数非齐次PPT课件例例1.1332 xyyy求方程的一个特解.解解: 特征方程为,0322 rr不是特征方程的根 .设所求特解为,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比较系数, 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解为.31*xy0 本题机动 目录 上页 下页 返回 结束 其根为3121 rr,D118常系数非齐次PPT课件.132的通解求方程

4、 xyy解解：对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程, 022 rr特征根特征根，2021rr,221xeCCY是单根，0),(*baxxy设代入方程代入方程, , 得得13224xbaax4543ba)53(41)4543(*xxxxy于是原方程通解为原方程通解为)53(41221xxeCCyx例例2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 D118常系数非齐次PPT课件例例3. xexyyy265 求方程的通解. 解解: 本题本题特征方程为,0652 rr其根为对应齐次方程的通解为xxeCeCY3221设非齐次方程特解为xebxbxy210)(*比较系数, 得120 b0210bb1

5、,2110bb因此特解为.)1(*221xexxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解为xxeCeCy3221.)(2221xexx ,2机动 目录 上页 下页 返回 结束 D118常系数非齐次PPT课件例例4. xexyyy222 求方程的通解. 解解: 特征方程为,022rr其根为对应齐次方程的通解为xxeCeCY221设非齐次方程特解为xebxbxby22120)(*比较系数, 得140b041010 bb3221 ,85,41210bbb因此特解为xexxy22)21208(321*2, 121rr代入方程得20121020254)410(4xbbbxbbxb所求通解

6、为xxeCeCy221.)21208(32122xexx不是特征根本题2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0254012bbbD118常系数非齐次PPT课件设设 的特解为的特解为xeyyy2844 *2y设设 的特解为的特解为2644xyyy *1y*2y *1*yy 则所求特解为则所求特解为0442 rr特征根特征根22, 1 rCBxAxy 2*1xeDxy22*2 （重根）（重根）*2y *1*yy CBxAx 2.22xeDx 写出微分方程写出微分方程xexyyy228644 的待定特解的形式的待定特解的形式. . 例例5. 解解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 D118常系

7、数非齐次PPT课件利用欧拉公式xexf)( ixPxPnl22)()(xie)( ixPxPnl22)()(xie)(ximexPxf)()()(ximexP)()( 则令,maxlnm )(xPl2xixiee)(xPn ieexixi2机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 型xxPxxPexfnlx sin)(cos)()( xixexisincos2cosxixieexieexxixi2sin欧拉公式D118常系数非齐次PPT课件机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,)()(ximexPqyypy 设,)(*ximkeQxy 1,)()(ximexPqyypy 设,)(*ximk

8、eQxy 2* ximximxkeQeQexy ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexmmxk 次多项式，是其中mxRxRmm)(),()()(21, 是单根不是根 iik10上述结论也可推广到高阶方程的情形.D118常系数非齐次PPT课件例例6. xxyy2cos 求方程的一个特解 .解解: 本题本题 特征方程, 2, 0故设特解为xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,ii2代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl,)(0 xPn比较系数 , 得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于

9、是求得一个特解13 a043cb03 c043ad0 cb机动 目录 上页 下页 返回 结束 其根为ir 21,D118常系数非齐次PPT课件例例7. xxyy3sin303cos189 求方程的通解. 解解: 特征方程为, 092r其根为对应齐次方程的通解为xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比较系数, 得,5a,3b因此特解为)3sin33cos5(*xxxyir32, 1代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解为xCxCy3sin3cos21为特征方程的单根 ,i3)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此设非齐次方程特解为机动 目录

10、 上页 下页 返回 结束 D118常系数非齐次PPT课件例例8.xyyysin2) 1 ()4( 解解: (1) 特征方程特征方程, 01224rr, 0)1(22r即有二重根, ir所以设非齐次方程特解为(*2xy )sincosxbxa(2) 特征方程, 024 rr0)1(22rr即有根irr4,32, 1, 0 xexyyxsin3)2()4( 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为)(*2baxxyxec)sincos(xkxdx求下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 D118常系数非齐次PPT课件特点：特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变

11、各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同量的方次数相同三、欧拉方程三、欧拉方程 形如形如 )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn的方程，的方程，叫做叫做欧拉方程欧拉方程. 求解基本思想求解基本思想 欧拉方程欧拉方程 ,tex 令常系数线性微分方程常系数线性微分方程xtln即机动 目录 上页 下页 返回 结束 D118常系数非齐次PPT课件欧拉方程的解法欧拉方程的解法: )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn,tex 令则xyddxttyddddtyx dd122ddxyxttyxtdd)dd1(ddtytyxdddd1222计算繁计算繁! ty

12、yxddtytyyxdddd222 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,ln xt 则D118常系数非齐次PPT课件,ddtD 记则由上述计算可知: yDyxyDyDyx 22, ), 3, 2(ddktDkkkyDD) 1(用归纳法可证 ykDDDyxkk) 1() 1()(于是欧拉方程 )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(11tnnnefybyDbyD转化为常系数线性方程:)(dddd111tnnnnnefybtybty即机动 目录 上页 下页 返回 结束 D118常系数非齐次PPT课件例例9. .34223的通解求方程xyxyxyx 解解:,tex 令,ln

13、xt 则,ddtD 记则原方程化为teyDyDDyDDD234) 1()2)(1(亦即tetytyty222333dd3dd2dd其根3, 1,0221rrr则对应的齐次方程的通解为特征方程, 03223rrrteyDDD2233)32(即 tteCeCCY3321机动 目录 上页 下页 返回 结束 D118常系数非齐次PPT课件 的通解为2332121xxCxCCyttteeCeCCy2332121换回原变量, 得原方程通解为设特解:teAy2代入确定系数, 得tey221机动 目录 上页 下页 返回 结束 D118常系数非齐次PPT课件例例10.22的通解求方程xxyxyy 解解: 将方程

14、化为xyyxyx22 (欧拉方程欧拉方程) ,ddtD 记则方程化为,tex 令teyDDD2)1) 1(即teyDD2) 12(2特征根:, 121 rr设特解:,*2tetAy 代入 解得 A = 1,ttetetCCy221)(xxxxCC221ln)ln(所求通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 D118常系数非齐次PPT课件例例11.满足设函数)(xyy 1,ln5d)(321 xxttytyyxx,01xy且. )(xy求解解: 由题设得定解问题由题设得定解问题xyyxyx524 0) 1 (,0) 1 (yy,tex 令,ddtD 记则化为teyDDD54) 1(teyD5

15、)4(2特征根: ,2ir设特解: ,teAy代入得 A1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 D118常系数非齐次PPT课件得通解为tetCtCy2sin2cos21xxCxC1)ln2sin()ln2cos(21利用初始条件得21, 121CC故所求特解为xxxy1)ln2sin(21)ln2cos(机动 目录 上页 下页 返回 结束 D118常系数非齐次PPT课件内容小结内容小结xmexPyqypy)(. 1 ,)(*xmkexQxy则设特解为sin)(cos)(.xxPxxPeyqypynlx 2xkexy*则设特解为sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,max机动 目录 上页

16、下页 返回 结束 3. 欧拉方程是重根是单根不是根2,10k,10是单根不是根iikD118常系数非齐次PPT课件思考与练习思考与练习时可设特解为 xxxfcos)() 1当xexxxf22cos)()2当xy *xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xek2)(xfyy 时可设特解为 xxPxxPexfnlx sin)(cos)()( xkexy*lnm,max提示提示:xdcxsin)(1 . (填空填空) 设设sin)(cos)(xxRxxRmm机动 目录 上页 下页 返回 结束 D118常系数非齐次PPT课件2. 求微分方程xeyyy 44的通解 (其中为实数 ) .解解: 特征方程特征方程,0442rr特征根:221 rr对应齐次方程通解:xexCCY221)(2时,xeAy令代入原方程得,2)2(1A故原方程通解为xexCCy221)(xe2)2(12时,2xexBy令代入