D18函数连续性课件

1、D18函数连续性PPT课件二、二、 函数的间断点函数的间断点 一、一、 函数连续性的概念函数连续性的概念第八节机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的连续性 第一章 三、三、 初等函数的连续性初等函数的连续性 D18函数连续性PPT课件增量增量: :. ., 0 , 0. ,: 12121221uuuuuuuuuuuuuuuu也记是减少的是增加的；记作：的增量叫做变量将设变量机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 函数连续性的概念函数连续性的概念D18函数连续性PPT课件对自变量的增量,0 xxx有函数的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy0

2、lim0yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(xfy 在0 x的某邻域内有定义 , 设函数定义定义:)(xfy 在0 x的某邻域内有定义 , 设函数若则称函数.)(0连续在xxfD18函数连续性PPT课件可见 , 函数)(xf在点0 x定义定义:)(xfy 在0 x的某邻域内有定义 , , )()(lim00 xfxfxx则称函数.)(0连续在xxf(1) )(xf在点0 x即)(0 xf(2) 极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx设函数连续必须具备下列条件:存在 ;且有定义 ,存在 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 D18函数连续性PPT课件)(xf

3、y xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左连续右连续函数0 x)(xf在点连续有下列等价命题:机动 目录 上页 下页 返回 结束 D18函数连续性PPT课件continue)()(lim, ),(000 xPxPxxx若)(xf在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上连续 , 或称它为该区间上的连续函数连续函数 .例如例如,nnxaxaaxP10)(在),(上连续 .( 有理整函数 )又如又如, 有理分式函数)()()(xQxPxR在其定义域内连续.只要,0)(0 xQ都有)()(lim00 xR

4、xRxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. .D18函数连续性PPT课件基本初等函数在定义域内每点处均连续;机动 目录 上页 下页 返回 结束 即基本初等函数在定义域内是连续的.D18函数连续性PPT课件例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf证证, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定义知由定义知.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf),0()(lim0fxfx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 D18函数连续性PPT课件例例2 2.0, 0

5、, 2, 0, 2)(连连续续性性处处的的在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 , ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 D18函数连续性PPT课件例例3 3.)(连连续续在在因因此此0 xxf?00, 1sin0, 1)(2连连续续在在 xxxxxxxf1010)(,)(limfxfx且且,)(lim10 xfx因因为为证证既是左连续又是右连续既是左连续又是右连续, ,机动 目录 上页 下页 返回

6、结束 0 , 1sin0 , 00 , 1)(2xxxxxxxfD18函数连续性PPT课件思考：思考：解：解：注注: :有极限是连续的必要而非充分条件有极限是连续的必要而非充分条件. .机动 目录 上页 下页 返回 结束 D18函数连续性PPT课件在在二、二、 函数的间断点函数的间断点(1) 函数)(xf0 x(2) 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在 , 但)()(lim00 xfxfxx 不连续 :0 x设0 x在点)(xf的某去心邻域内有定义 , 则下列情形这样的点0 x之一函数 f (x) 在点虽有定义 , 但虽有定义

7、, 且称为间断点间断点 . 在无定义 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 D18函数连续性PPT课件xytan) 1 (2x为其无穷间断点 .0 x为其振荡间断点 .xy1sin) 2(1x为可去间断点 .11)3(2xxyxoy1例如例如:xytan2xyoxyxy1sin0机动 目录 上页 下页 返回 结束 D18函数连续性PPT课件1) 1 (1)(lim1fxfx显然1x为其可去间断点 .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x为其跳跃间断点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 D18函数连

8、续性PPT课件间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点:)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf若称0 x, )()(00 xfxf若称0 x第二类间断点第二类间断点:)(0 xf及)(0 xf中至少一个不存在 ,称0 x若其中有一个为振荡 ,称0 x若其中有一个为,为可去间断点 .为跳跃间断点 .为无穷间断点无穷间断点 .为振荡间断点振荡间断点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 D18函数连续性PPT课件函数函数 y=tanx在在 x =k+/2 (k=0,1,2,)处间断处间断. 且都是且都是第二类间断点第二类间断点.注意注意 不要以为函数的间断点只是个别

9、的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点. .机动 目录 上页 下页 返回 结束 D18函数连续性PPT课件例例4 4 设函数设函数 ,11)(1xexf 指出间断点及类型指出间断点及类型. . 解解 该函数的间断点为该函数的间断点为 故故 0 x为函数的第一类间断点为函数的第一类间断点. .0 x由于由于, 111lim)(lim100 xxxexf, 011lim)(lim100 xxxexf机动 目录 上页 下页 返回 结束 D18函数连续性PPT课件xxxxcsc.seccot,tan，在其定义域内连续1、连续函数的运算法则、连续函数的运算法则定理定理1. 在某点连续的有限个函数经

10、有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明)连续xx cos,sin商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 .例如例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性.),(), 0(sin1ln1)(5连续连续在在函数函数例例 eexxxxxf D18函数连续性PPT课件xey 在),(上连续 单调 递增,其反函数xyln在),0(上也连续单调递增.又如又如, 第十节 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2. 连续单调递增 函数的反函数例如例如,xysin在,22上连续单调递增，其反函数xyarcsin(递减).(证明略)在

11、1 , 1 上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调D18函数连续性PPT课件定理定理3. 连续函数的复合函数是连续的.设函数)(xu,0连续在点 x.)(00ux,)(0连续在点函数uxfy . )()(lim00ufufuu于是)(lim0 xfxx)(0 xf 复合函数)(xf.0连续在点 x且即机动 目录 上页 下页 返回 结束 D18函数连续性PPT课件例如例如,xy1sin是由连续函数链),(,sinuuy,1xu *Rx因此xy1sin在*Rx上连续 .复合而成 ,xyoxy1sin机动 目录 上页 下页 返回 结束 D18函数连续性PPT课件二、初等函数的连续性二、初等函数的连

12、续性基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如例如,21xy的连续区间为1, 1(端点为单侧连续)1cosxy的定义域为Znnx,2因此它无连续点而机动 目录 上页 下页 返回 结束 （在孤立点的邻域内没有定义）包含在定义域内的区间包含在定义域内的区间注注: : 初等函数在孤立点处谈不到连续性初等函数在孤立点处谈不到连续性. .D18函数连续性PPT课件例例6. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e解解)()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx注意注意: :初等函数求极限的方法初等函数求极

13、限的方法代入法代入法. .机动 目录 上页 下页 返回 结束 D18函数连续性PPT课件.),()(1连连续续在在时时，因因此此当当 xfa区区间间上上连连续续；在在),0(),0,( ,)1ln(,2cos为为初初等等函函数数解解xxax ),0(12coslim)(lim000fxxfxxx 处处，.0,2cos0,)1ln()(axxxxxaxf）连连续续，求求，在在（设设 例例7 7机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,)1ln(lim)(lim00axxaxfxx D18函数连续性PPT课件内容小结内容小结)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()

14、(000 xfxfxf左连续右连续)(. 2xf0 x第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型)(. 1xf0 x在点连续的等价形式机动 目录 上页 下页 返回 结束 D18函数连续性PPT课件 内容小结内容小结基本初等函数在定义域内在定义域内连续连续函数的四则运算四则运算的结果连续连续函数的反函数反函数连续连续函数的复合函数复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P72 1- 6 D18函数连续性PPT课件思考与练习思考与练习1. 讨论函数231)(22xxxxfx = 2 是第二类无穷间断点 .间断点的类型.2. 设0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a时提示提示:,