D88常系数非齐次课件

1、D88常系数非齐次PPT课件常系数非齐次线性微分方程的解法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 8.8( )( )xmf xP x e型( ) ( )cosxlf xeP xx( )sinnQ xx型8.8.1 第八章 8.8.2其中, , 为常数D88常系数非齐次PPT课件)(xfyqypy ),(为常数qp二阶常系数非齐次线性微分方程一般形式 :根据解的结构定理 , 其通解为Yy *y非齐次的方程特解齐次的方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,*y给出特解的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法机动 目录 上页 下页 返回 结束 D88常系

2、数非齐次PPT课件)(xQex )()2(xQp)()(2xQqp)(xPemx8.8.1 型)()(xPexfmx 为实数 ,)(xPm设特解为, )(*xQeyx其中 为待定多项式 , )(xQ )()(*xQxQeyx )()(2)(*2xQxQxQeyx 代入原方程 , 得 )(xQ (1) 若 不是特征方程的根, , 02qp即则取),(xQm从而得到特解形式为. )(*xQeymx)()2(xQp)()(2xQqp)(xPm为 m 次多项式 .Q (x) 为 m 次待定系数多项式机动 目录 上页 下页 返回 结束 D88常系数非齐次PPT课件(2) 若 是特征方程的单根 , , 0

3、2qp,02 p)(xQ则为m 次多项式, 故特解形式为xmexQxy)(*(3) 若 是特征方程的重根 , , 02qp,02 p)(xQ 则是 m 次多项式,故特解形式为xmexQxy)(*2小结小结 对方程,)2, 1, 0()(*kexQxyxmk此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .)(xQ )()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 D88常系数非齐次PPT课件例例1.1332 xyyy求方程的一个特解.解解: 本题而特征方程为,0322 rr不是特征方程的根 .设所求特解为,*10bxby代入方程

4、:13233010 xbbxb比较系数, 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解为.31*xy0,0机动 目录 上页 下页 返回 结束 D88常系数非齐次PPT课件例例2. xexyyy265 求方程的通解. 解解: 本题特征方程为,0652 rr其根为对应齐次方程的通解为xxeCeCY3221设非齐次方程特解为xebxbxy210)(*比较系数, 得120 b0210bb1,2110bb因此特解为.)1(*221xexxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解为xxeCeCy3221.)(2221xexx ,2机动 目录 上页 下页 返回 结束 D88常系数非

5、齐次PPT课件( )cos( )sinxlneP xxQ xx对二阶非齐次常系数线性微分方程：yqypy ),(为常数qp *cossinkxmmyx eAxxBxx则可设特解:其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), imax,ml n机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( )( )cos( )sinxlnf xeP xxQ xx8.8.2其中,是常数， ,lnP xQx分别为l 次、n 次多项式。型型(证明从略)D88常系数非齐次PPT课件例例3. xxyy2cos 求方程的一个特解 .解解: 本题 特征方程0,2,故设特解为xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特

6、征方程的根,2ii 代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl( )0,nQ x 比较系数 , 得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一个特解13 a043cb03 c043ad0 cb机动 目录 上页 下页 返回 结束 D88常系数非齐次PPT课件内容小结内容小结xmexPyqypy)(. 1 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,xmkexQxy)(*则设特解为2. ( )cos( )sinxlnypyqyeP xxQ xx为特征方程的 k (0, 1 )重根, i*kxyx e则设特解为( )cos(

7、)sinmmAxxBxxnlm,max机动 目录 上页 下页 返回 结束 D88常系数非齐次PPT课件作业作业P371 1 (1) , (3) , (5) , (7) ; 习题课2 目录 上页 下页 返回 结束 D88常系数非齐次PPT课件思考与练习思考与练习时可设特解为 xxxfcos)() 1当xexxxf22cos)()2当xy *xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xek2)(xfyy 时可设特解为 xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(xkexy*lnm,max提示提示:xdcxsin)(1 . (填空) 设sin)(cos)(xxRxxRmm机动 目录 上页 下页 返回 结束 D88常系数非齐次PPT课件2. 求微分方程xeyyy 44的通解 (其中为实数 ) .解解: 特征方程,0442rr特征根:221 rr对应齐次方程通解:xexCCY221)(2时,xeAy令代入原方程得,2)2(1A故原方程通解为xexCCy221)(xe2)2(12时,2xexBy令代入原方程得,21B故原方程通解为xexCCy221)(xex221机动 目录 上页 下页 返回 结束 D88常系数非齐次PPT课件3. 已知二阶常微分方程xecybyay 有特解, )1 (2xxexey求微分方程的通解 .解解: 将特解代入方