D10考研基础班课件

1、1第十章 复习课一、一、 曲线积分的计算法曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法 线面积分的计算积分学积分学 定积分二重积分三重积分定积分二重积分三重积分积分域积分域 区间域区间域 平面域平面域 空间域空间域 曲线积分曲线积分曲线域曲线域曲面域曲面域曲面积分曲面积分2( , )dDf x y 定积分定积分:.),(lim10iiniif 二重积分二重积分:三重积分三重积分:( )dbaf xx iinixf )(lim10 ( , , )d d df x y zx y z iiiniivf ),(lim10 设设 是是平平面面或或空空间间的的一一个个可可度度量量的的几几何何体

2、体，f 为为定定义义在在 上上,T 的的函函数数 对对 作作分分割割1maxd(),ii nT 称称为为分分割割 的的细细度度,in 它它把把分分成成 个个可可度度量量的的小小几几何何体体,iiP 且且在在上上任任取取一一点点若若01lim(),niiif P 极极限限存存在在iTP且且极极限限值值与与分分割割 及及介介点点 的的取取法法.fJf无无关关, ,则则称称 在在上上可可积积, ,极极限限 为为 在在上上的的积积分分01lim()( )dniiif Pf P 记记作作：3,(1) 当当 是是时时式式就就是是直直线线段段定定积积分分; ;01lim( )niiifx ( )d ;baf

3、 xx ,(1) 当当 是是时时式式就就是是二二平平面面区区域域重重积积分分；01lim( ,)niiiif ( , )d ;Df x y ,(1) 当当 是是时时式式就就是是三三空空间间区区域域重重积积分分；01lim(,)niiiiifV ( , )d ;f x y zv 01lim()( )d(1)niiif Pf P 平平面面曲曲线线或或当当 为为空空间间曲曲线线时时，(1)(第第一一型型对对弧弧长长的的曲曲式式为为线线积积分分. . 空空间间当当 为为曲曲面面时时，(1)(第第一一型型对对面面积积的的曲曲式式为为面面积积分分；4( (一一) )曲线积分的概念、性质与曲线积分的概念、性

4、质与计算方法计算方法( (二二) )格林公式及其应用格林公式及其应用 一、一、 曲线积分的计算法曲线积分的计算法( (三三) )线积分的应用线积分的应用5（一）（一）曲线积分的概念、性质与曲线积分的概念、性质与计算方法计算方法(1)定义定义:oxyABL),(ii 1 nMiM1 iM1M2Mis 1.对弧长的曲线积分的概念、对弧长的曲线积分的概念、 性质及计算方法性质及计算方法( , )dLf x ys 说明：说明：1)存在条件：存在条件： 当当f(x,y)在在L上上连续连续时时,( , )d.Lf x ys 存存在在2)物理意义：物理意义：( , )dLMx ys .d),( LsyxfA

5、柱柱面面面面积积3)几何意义：几何意义：.d Lls特别地：特别地：4)推广推广: szyxfd),(01lim( ,).niiiiifs 01lim( ,)niiiifs zxyo( , )zf x y LA6:(1,0)(0,1)Lxoy如如 若若 是是面面上上的的连连接接点点与与的的ds L L直直线线段段, ,则则2.oxyL11例如例如.求两个底半径相同的直交圆柱所围立体的表面积求两个底半径相同的直交圆柱所围立体的表面积.解解: 如图如图,由第一类曲线积分的几何意义知由第一类曲线积分的几何意义知:2216dLSRxs oxyzR222xyR 222xzR 22zRx 其中其中在第一象

6、限的部分在第一象限的部分.222:RyxL 7(2)性质性质 1) ( , )( , )d( , )d( , )d .LLLf x yg x ysf x ysg x ys 2)( , )d( , )d().LLkf x yskf x ysk 是是常常数数12 3)( , )d( , )d( , )d .LLLf x ysf x ysf x ys 12().LLL 4)无向性：无向性： 对弧长的曲线积分与曲线的方向无关对弧长的曲线积分与曲线的方向无关.即即( , )d( , )dABBAf x ysf x ys 8( )1), ( )xtLtyt 积积分分弧弧段段 的的参参数数方方程程为为: :

7、22 ( , )d ( ), ( )( )( )d Lf x ysfttttt 则则2)积分弧段积分弧段L的方程为：的方程为：( ) yxaxb ，则则3)积分弧段积分弧段L的方程为：的方程为：( ) xycyd ，则则2 ( , )d , ( ) 1( )dbLaf x ysf xxxx 2 ( , )d ( ), 1( )ddLcf x ysfyyyy (3) 第一类曲线积分的计算方法第一类曲线积分的计算方法(直接法直接法)推广推广: 设空间曲线弧的设空间曲线弧的参数方程参数方程为为则则:( ),( ),( )()xtytztt ，( , , )df x y zs 222( )( )( )

8、 dtttt ( ), ( ), ( )fttt 92.对坐标的曲线积分的概念、对坐标的曲线积分的概念、 性质及计算方法性质及计算方法(1)定义定义: 01( , )dlim(,)niiiLiQ x yyQy 01( , )dlim(,)niiiLiP x yxPx ，oxyLBAix iy ),(yxF1 nMiM2M1M1 iM( , )( , )( , )F x yP x y iQ x y j :,L AB常用组合形式常用组合形式:( , )d( , )dLLP x y xQ x y y LyyxQxyxPd),(d),( 记作记作W ddd.rxiyj 记记: :由实例和定义知由实例和

9、定义知:FAB 变变力力沿沿所所作作的的功功为为：( , )d( , )dABP x yxQ x yy =dABFr ( , )( , )FP x y iQ x y j 为为向向量量值值函函数数，10说明：说明：1)存在条件：存在条件：( , ),( , )P x yQ x y当当在光滑曲线弧在光滑曲线弧L上上连续连续时，时， 第二类曲线积分第二类曲线积分( , )d( , )dLLP x yxQ x yy ，存存在在. .2)特殊路径情况特殊路径情况: , ,La b 若若,xab由由则则( , )d( , )dLP x y x Q x y y 011lim( ,)( ,)nniiiiiii

10、iPxQy 01lim( ,0)0niiiPx ( ,0)d .baP xx 故定积分是第二类曲线积分的特例故定积分是第二类曲线积分的特例.3)推广推广:ddd =dddP xQ yR zP xQ yR z 记记000111lim( ,)lim( ,)lim( ,).nnniiiiiiiiiiiiiiiPxQyRz 11(2)性质性质 1()性性质质 线线性性性性质质, 设设 、 是是常常数数 则则12 ( , )( , ) dLF x yF x yr 12 ( , ) d( , ) d .LLF x yrF x yr 2()性性质质可可加加性性L如如果果有有向向曲曲线线弧弧 可可分分成成两两

11、段段光光滑滑的的有有12,LL向向曲曲线线弧弧 和和则则12 ( , ) d( , ) d( , ) d .LLLF x yrF x yrF x yr 3()性性质质有有向向性性LLL 设设 是是有有向向光光滑滑曲曲线线弧弧, , 是是 的的反反曲曲线线弧弧，则则 ( , ) d( , ) d .LLF x yrF x yr 即即对坐标的曲线积分与曲线的对坐标的曲线积分与曲线的方向方向有关有关. ( )d( )dbaabf xxf xx 回忆定积分：回忆定积分：故定积分是第二类曲线积分的特例故定积分是第二类曲线积分的特例.( , )d( , )dLP x y x Q x y y 01lim(

12、,)niiiiPx 01lim( ,)niiiiQy 124性性质质 dABx dABy 01( , )dlim(,)niiiLiP x yxPx 01( , )dlim(,)niiiLiQ x yyQy 5()性性质质 垂垂直直性性( ,)d0LLxP x yx 若若轴轴( ,)d0LyQ x yy L L若若轴轴ix iy ),(yxFoxyLBA1 nMiM1 iM2M1M),(iiF BAxx BAyy ()Lx 在在 轴轴上上的的投投影影 可可正正可可负负()Ly 在在 轴轴上上的的投投影影 可可正正可可负负13例例.( , )1f x y 设曲线设曲线L：过第二象限内的点过第二象限

13、内的点M 和第四象限内的点和第四象限内的点N, 为为L上上( , )df x yy (B)( , )df x ys (C)( , )d( , )dxyfx yxfx yy (D)( ( , )f x y具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数),( , )df x yx (A)则下列小于零的是则下列小于零的是( )从点从点M到点到点N的一段弧，的一段弧， B2007研数一研数一 oxy:( , )1L f x y :MN MN14(3) 第二类曲线积分的计算方法第二类曲线积分的计算方法(直接法直接法) -二代一定二代一定( )1),( )xtLtyt 的的参参数数方方程程为为: : :， dd (

14、 ), ( ) ( ) ( ), ( )( )dLP xQ yPtttQtttt 则则2)曲线弧曲线弧L的方程为：的方程为：( )yy xx ab ，:，则则3)曲线弧曲线弧L的方程为：的方程为：( )xx yy cd ，:，则则 dd , ( ) , ( ) ( )d .bLaP xQ yP x y xQ x y x y xx dd ( ), ( ) ( ), d .dLcP xQ yP x yy x yQ x yyy 4)推广推广 ：( )( ),( )xtyt zt ，: t ，则则 zRyQxPLddd ( ),( ),( )( )Ptttt tttttRttttQd)()(),(),

15、()()(),(),( )(: xyyxxL153.两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系 (cos ,cos)( , )Lx y 设设为为光光滑滑有有向向曲曲线线弧弧 上上点点处处L单单位位与与 方方切切的的向向一一致致向向量量, ,则则 ( , )d( , )d ( , )cos( , )cos dsLLP x y x Q x y yP x yQ x y xyodsdxdyx(cos,cos,cos ) 类类似似地地, ,设设为为光光滑滑有有向向曲曲线线弧弧 ddd( coscoscos )dsP xQ yR zPQR ( , , )x y z 上上点点处处与与方方单单位位切切的的一

16、一向向致致向向量量, ,则则dd:cos,cosddxyss 如如图图dcos d ,dcos d .xsys 16解解:xy42 ox1-22yd , LIy s 计计算算例例1.24 ,(1,2)(1, 2)Lyx ：从从到到的的一一段段弧弧；分析分析:若若 :2L yx 21 : , 22,4L xyy 22 21( ) d2yIyy 0需要分段计算需要分段计算,较复杂较复杂.注意到：注意到：关于关于x轴对称轴对称, ,被积函数关于被积函数关于y是奇函数是奇函数. .计算第一类曲线积分的简化方法：计算第一类曲线积分的简化方法：1)利用第一类曲线积分的几何意义利用第一类曲线积分的几何意义.

17、2)利用第一类曲线积分的对称性利用第一类曲线积分的对称性.3)利用第一类曲线积分的利用第一类曲线积分的积分弧段的方程积分弧段的方程化简被积函数化简被积函数.4.典型例题及解答典型例题及解答17注：第一类曲线积分的对称性注：第一类曲线积分的对称性1)Ly若若 关关于于 轴轴对对称称，则则 ( , )dLf x ys (, )( , )fx yf x y ，0，(, )( , )fx yf x y ，1 2( , )dLf x ys ，LL1Oyx2)Lx若若 关关于于 轴轴对对称称，则则LL2Oxy ( , )dLf x ys ( ,)( , )f xyf x y ，0，( ,)( , )f x

18、yf x y ，2 2( , )dLf x ys ，3)Lyx 若若 关关于于轴轴对对称称，则则 ( , )dLyfsx ( , )d .Lxfsy 对对空空间间曲曲线线上上的的第第一一类类曲曲线线积积分分也也有有类类似似说说明明: :的的性性质质. .xoy 如如若若 关关于于面面对对称称，则则 ( , , )df x y z s ( , , )f x y zz关关于于 是是奇奇函函数数，0，( , , )f x y zz关关于于 是是偶偶函函数数. .1 2( , , )df x y z s 上上半半曲曲线线，1822222,(+)d ,0.xyzaIxyzsxyz 求求其其中中 为为圆圆

19、周周例例2.解解:由由对对称称性性知知：222ddd .xsyszs 2dddIxsy sz s 则则2d3as 32.3a (d2,)sa 球球大大圆圆周周长长dddy sz sx s 对于用对于用一般方程一般方程表示的空间曲线表示的空间曲线,曲线积分常需要把的方程化为曲线积分常需要把的方程化为参数方程，参数方程，这个过程一这个过程一般是比较困难的，般是比较困难的，在特殊情况下可用特殊方法处理在特殊情况下可用特殊方法处理.要计算函数对弧长的要计算函数对弧长的1()d3xyzs 0 2221()d3xyzs 2dxs 192:(02),d .LL yxxx s 练练习习： 已已知知曲曲线线则则

20、136(09数学一数学一) d ,(1,0,0)(0,1,1)Iy s 计计算算其其中中 为为空空间间点点与与的的直直线线段段. .例例3.解解:xyzO ( (0 0, ,1 1, ,1 1) )1 1111xyz 直直线线 : : 直直线线 的的参参数数方方程程: :10I 1 1 1 dtt 103dt t 3.2 01tzt yt 1xt 20提示提示: 原式原式 =dLax s 22a 说明说明:L(02) xaoy 2(1cos )ax 2sinay 1)若用参数方程计算若用参数方程计算, 2)若用参数方程：若用参数方程：:L2cosxa cossinya ()22 cossinx

21、y dLax s 原原式式202(1 cos )d2aaa 2222cosdaa dLax s 原原式式22a cosa 例例4. 计算计算22d ,Lxys 其中其中L为圆周为圆周22.xya x 21例例5. 计算计算d,Lxyx 其中其中L 为沿抛物线为沿抛物线2yx 解法解法1:化为对化为对x的定积分的定积分,则则:L AOOB dddLAOOBxy xxy xxy x 1221d() dLxy xy y yy yx yx 解法解法2:化为对化为对y的定积分，则的定积分，则2:,:11L xyy14142d5yy 从点从点的一段的一段. (1,1)(1,1)AB 到到)1 , 1(B)

22、1, 1( Aoyx 此例说明对坐标的曲线积分的对称性，还应考虑此例说明对坐标的曲线积分的对称性，还应考虑L的方向，故不好用的方向，故不好用.22226.1Lxyzxyz 设设 是是柱柱面面与与平平面面的的交交线线, ,从从例例轴轴正正向向(11年数学一年数学一,填空题填空题)ozyxL2ddd .2Lyzxz xx yz 往往 轴轴负负向向看看去去为为逆逆时时针针方方向向, ,计计算算解解:L取取 的的参参数数方方程程cos ,sin ,cossin( :)xt yt zttt 原原式式cos (cos +sin ) ( sin )tttt coscostt 2sin( sincos )2t

23、tt 2231cossinc2(ossintttt 21cos sin2)dttt . 221(coscos sin)d2tttt dt23（二）格林公式及其应用（二）格林公式及其应用 LDyQxPyxyPxQdddd)(其中其中L是是D的的正向边界曲线正向边界曲线(有向性有向性). D是是有界闭区域有界闭区域(封封在在D上有上有一阶连续偏导数一阶连续偏导数(连续性连续性).( , ), ( , )P x y Q x y闭性闭性),1. 格林公式：格林公式：(1)格林公式是牛顿格林公式是牛顿莱布尼兹公式的推广，莱布尼兹公式的推广，区域区域上的上的二重积分二重积分与与区域边界上区域边界上的的线积

24、分线积分的联系的联系.沟通了沟通了注意：注意：(2)如果闭曲线如果闭曲线L-是是D的的正向正向边界曲线边界曲线L的的反方向反方向,则有则有:ddLP xQ y ()d dDQPx yxy (3)对复连通区域对复连通区域D 格林公式右端应包括沿区域格林公式右端应包括沿区域D的的全部全部边界的曲线积分边界的曲线积分 且边界的方向对区域且边界的方向对区域D来说来说都是正向都是正向 242. 格林公式的应用：格林公式的应用：(2) 简化计算曲线积分简化计算曲线积分.(1) 利用曲线积分计算平面图形的面积利用曲线积分计算平面图形的面积.闭区域闭区域D的面积的面积 1dd .2LAx yy x dd()d

25、 dDDQPP xQ yx yxy (3)平面上曲线积分与路径无关的等价条件平面上曲线积分与路径无关的等价条件.(4)二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积.25说明：说明：与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件 ddLP xQ y 与与路路径径无无关关，PQyx ，等等价价命命题题(1)在在G内内(2)在在G内存在内存在( , )dddu x yuP xQ y 使使，(3)在在G内，内， dd0,CP xQ y (4).CG 闭闭曲曲线线在单连通区域在单连通区域G上上P(x,y),Q(x,y)具有具有连续的连续的一阶偏导数，一阶偏导数， 则以下四个命题等价则以下四个命题等

26、价.1)四个等价命题四个等价命题262)( , )d ( , )ddu x yu x yP xQ y 如如何何求求使使？),(0yxC ( , )M x y xyo000(,)Mxy 00( , )(,)d( , )dx yxyP xQ yu x y 0 0 ( ,)dxxP x yx 0 ( , )dyyQ x y y 0(, )D xy0( , )d(, )d()M DMP x y x Q x y yu x y 或0 0 =(, )dyyQ xyy 0 ( , )dxxP x yx 0( , )d( , )dM CMP x yxQ x yy 选择新路径应注意：选择新路径应注意：3)一般选与

27、坐标轴平行的新路径一般选与坐标轴平行的新路径.1)新路径的起点与终点不变新路径的起点与终点不变,2),G 新新路路径径27xQyP xQyP dd0LIP xQ y 00( , )(,)dd ()x yxyIP xQ y 更更换换路路径径 1.3)dd2.3.LIP xQ y 直直接接法法的的计计算算方方法法格格林林公公式式法法与与路路径径无无关关法法1.,满满足足连连续续性性的的条条件件则则可可直直接接用用格格林林公公式式. .2.,不不满满足足连连续续性性的的条条件件则则添添加加曲曲线线挖挖去去洞洞眼眼. . ddddL llIP xQ yP xQ y 则则28例例1.L为由点为由点(a,

28、0) 到到(0,0)的上半圆周的上半圆周解解:xyo)0 ,(aA如图，如图，D (sin)d(cos)dxxLIeymyxeymy 计计算算, ,其其中中22,0.xyax y ()d dDQPx yxy 208ma 2.8ma 0,:0OAyxa ：ddddL OAOAIP xQ yP xQ y 则则 ddOAP x Q y 00 d() 0daxxemy d dDmx y 添加辅助线：添加辅助线：( , )sin,xP x yeymy ( , )cos,xQ x yeym cosxPeymy ，cosxQeyx ，291.补补充充曲曲线线的的原原则则： 1.xy尽尽可可能能与与 、 轴轴

29、平平行行；2.DD 与与原原来来的的图图形形围围在在一一起起为为或或2.注意定理使用的条件注意定理使用的条件:说明：说明：有向性；有向性； 连续性；连续性； 封闭性封闭性.2(9)sin2 d2(1) d ,sin(0,0)( ,01.)Lx xxy yLyx 分分 计计算算曲曲线线积积分分其其中中 是是曲曲线线上上从从点点到到点点的的一一段段22 (08数学一数学一)21( 1,1),( 1,0),(1,0),dd . 2LLyx xxy xxy 已已知知曲曲线线 的的方方程程为为起起点点为为终终点点为为则则曲曲线线积积分分0(10数学一数学一)练练习习：30例例2.的分段光滑的连续闭曲线，

30、的分段光滑的连续闭曲线， L的方向为逆时针方向的方向为逆时针方向.22 ddLx yy xxy 计计算算，xyoLD解解: 记记L所围的闭区域为所围的闭区域为D，令令2222,yxxQyxyP 220,xy 则则当当时时22222,()QyxPxxyy 由格林公式知，由格林公式知，(1)(0, 0),D 当当时时22 ddLx yy xxy ()d dDQPx yxy 0.其中其中L为一无重点且不过原点为一无重点且不过原点31注意格林公式的条件注意格林公式的条件:作位于作位于D内圆周内圆周且且 l 的方向取逆时针方向的方向取逆时针方向.L1Dal(2)(0, 0),D 当当时时222: l x

31、ya ，1,DLl记记由由 与与 围围成成应用格林公式应用格林公式,得得22 dd0lx yy xxy 22222cossindaaa 2 0 2 . 221)0,xy 当当时时2222 2()QyxPxxyy 2)ddddL llIP xQ yP xQ y ddddL llIP xQ yP xQ y 1()ddddDlQPx yxyP xQ y 32解：解：xyo11Asin2xy L例例3. 计算计算为由点为由点O(0,0)到点到点A(1,1)的曲线的曲线， LyyxxxyxId)(d)2(422.2sinxy 其中其中L，xyxP22 因为因为，42yxQ ，xyP2 ，xxQ2 则则P

32、Qyx 即即.面面上上与与路路径径无无关关故故曲曲线线积积分分在在 xoyxoyxoy在在 平面上成立平面上成立.xoy33120dxx 23.15 选择如图所示的路径选择如图所示的路径xyo11A1:0Ly 2:1Lx 0 1x由由 到到0 1y由由 到到1L2L140(1)dyy 12224(2)d()dLLxxyxxyyL224(2)d()dLIxxyxxyy 选择新路径应注意：选择新路径应注意：3)一般选与坐标轴平行的新路径一般选与坐标轴平行的新路径.1)新路径的起点与终点不变新路径的起点与终点不变,2),G 新新路路径径34例例4. 验证：在整个验证：在整个xoy平面内，平面内，yy

33、xxxydd22 是某个函是某个函数的全微分，数的全微分， 并求出它的一个原函数并求出它的一个原函数.解：解：这里这里，2xyP ;2xyyP ，yxQ2 ,2xyxQ 则在整个则在整个xoy平面内有：平面内有：.PQyx 于是于是在整个在整个xoy平面平面 (它是一个单连通区域它是一个单连通区域)内，内，yyxxxydd22 是某个函数的全微分，是某个函数的全微分，由公式由公式00 0 ( , )( ,)d( , )dxyxyu x yP x yxQ x y y 得得：( , )u x y 221.2x y xyo),(yxx 2 00 dxxx 2 0dyx y y 线积分法线积分法35另

34、解：另解：2,uxyx 2duxy x 221( ),2x yy 2,ux yy 而而221( ),2ux yy 22( ),x yyx y 即即2( ),ux yyy ( )0,y 则则得得( ),yC 221.2ux yC 则所求的函数为：则所求的函数为：事实上：事实上：22ddxyxx y y 221(2d2d )2xyxx y y 22d(+ ),x yC221.2ux yC 偏积分法偏积分法观察法观察法( )( )( )( )dFxf xF xf xx 例例4. 验证：在整个验证：在整个xoy平面内，平面内，yyxxxydd22 是某个函是某个函数的全微分，数的全微分， 并求出它的一

35、个原函数并求出它的一个原函数.361,(0,1)0,FCF 例例5. 已知曲线积分已知曲线积分无关无关, 其中其中解解: 因积分与路径无关因积分与路径无关 , 故有故有cossinxFxFx sinsinyF yxFx 即即因此有因此有( , ) sin dcosd LF x yyx xx y 与与路路径径( , )0F x y 求求由由确确定定的的( ).yf x 隐隐函函数数tanxyFyxFtanyyx 01xy secyx ( , )cos( , ) sin F x yxF x y yxxy y 371.求求弧弧长长：d .LLs 弧弧 长长2.求求柱柱面面面面积积：( , )( ,

36、),f x yLx y当当表表示示立立于于 上上的的柱柱面面在在点点处处的的高高时时 ( , )d .LAf x ys 柱柱面面面面积积d .Ls 弧弧 长长1dd2DAx yy x 3.D求求平平面面图图形形 的的面面积积：4.求求质质量量：(1)( , ),x yL 当当为为 的的线线密密度度时时( ,)d ;LMx ys 质质量量(2)( ,),x y z 当当, , 为为 的的线线密密度度时时( , , )d .Mx y zs 质质量量（三）线积分的应用（三）线积分的应用zxyo( , )zf x y LA385.求求质质心心坐坐标标：(1)平平面面线线型型的的质质心心：( , )d( , )d,;( , )d( , )dLLLLxx y syx y sxyx y sx y s (2)空空间间线线型型的的质质心心：( , , )d( , , )d( , , )d,.( , , )d( , , )d( , , )dLLLLLLxx y z syx y z szx y z sxyzx y z sx y z sx y z s 6.转转动动惯惯量量：(1)平平面面线线型型的的转转动动惯惯量量：22( , )d ,( , )d ;xyLLIyx y s Ixx y s (2)空空间间线线型型的的转转动动惯