高三数学高考回归课本教案：平面几何

1、高三数学高考回归课本教案：平面几何- 1 - / 4 高考数学回归课本教案第十六章平面几何一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成）梅涅劳斯定理设, , cba分别是 abc的三边 bc， ca ， ab或其延长线上的点， 若, , cba三点共线，则.1bcacabcbcaba梅涅劳斯定理的逆定理条件同上，若.1bcacabcbcaba则, , cba三点共线。塞 瓦定理设, , cba分 别是 abc 的 三边bc， ca， ab 或其延长线上的点 ，若, , ccbbaa三线平行或共点，则.1bcacabcbcaba塞瓦定理的逆定理设, , cba分别是 abc的三边bc，ca ，ab

2、或其延长线上的点，若.1bcacabcbcaba则, , ccbbaa三线共点或互相平行。角元形式的塞瓦定理, , cba分别是 abc 的三边bc ，ca， ab 所在直线上的点，则, , ccbbaa平行或共点的充要条件是.1sinsinsinsinsinsinbabcbbcbcaccacabaa广义托勒密定理设 abcd为任意凸四边形，则ab ?cd+bc ?ad ac ?bd ，当且仅当a，b，c，d四点共圆时取等号。斯特瓦特定理设 p为 abc的边 bc上任意一点， p不同于 b，c，则有ap2=ab2?bcpc+ac2?bcbp-bp?pc. 西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶

3、点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。九点圆定理三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。蒙日定理三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂 （即切线长） 相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴）欧拉定理abc的外心 o，垂心 h，重心 g三点共线，且.21ghog二、方法与例题1同一法。 即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。例 1 在 abc中， abc=700， acb=300，p，q为 abc内部两点， qbc= qcb=100，

4、pbq= pcb=200，求证： a，p， q三点共线。高三数学高考回归课本教案：平面几何- 2 - / 4 证明 设直线 cp交 aq于 p1， 直线 bp交 aq于 p2， 因为 acp= pcq=100， 所以cqacqpap1，在 abp ， bpq ， abc中由正弦定理有222sinsinabpapbapab，qbpbqqp202sin20sin，.70sin30sin00acab由，得2211qpapqpap。又因为p1，p2同在线段aq上，所以p1， p2重合，又 bp与cp仅有一个交点，所以p1，p2即为 p，所以 a，p，q共线。2面积法。例 2 见图 16-1 ， abc

5、d 中，e，f 分别是 cd ，bc上的点，且be=df ，be交 df于 p，求证：ap为 bpd的平分线。 证明 设 a点到 be ，df距离分别为h1,h2，则,21,2121hdfshbesadfabe又因为21abess abcd=sadf，又 be=df 。所以 h1=h2，所以 pa为 bpd的平分线。3几何变换。例 3 （蝴蝶定理） 见图 16-2，ab是 o的一条弦， m为 ab中点，cd ，ef为过 m的任意弦，cf ， de分别交 ab于 p，q。求证： pm=mq。 证明 由题设 om ab 。不妨设bdaf。作 d关于直线om 的对称点d。连 结fdddmdpd, ,

6、 ， 则.dmqpmddmmd要 证pm=mq ， 只 需 证mdqmpd，又 mdq= pfm ，所以只需证f，p，m ，d共圆。因为pfd=1800-mdd=1800- dmd=1800- pmd。 （因为ddom 。ab/dd）所以 f， p ，m ，d四点共圆。所以mpd mdq 。所以 mp=mq。例 4 平面上每一点都以红、蓝两色之一染色，证明：存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为1995，而且每个三角形三个顶点同色。 证明 在平面上作两个同心圆，半径分别为1 和 1995，因为小圆上每一点都染以红、蓝两色之一，所以小圆上必有五个点同色，设此五点为a，b，c，d，e，过这两点作

7、半径并将半径延长分别交大圆于a1，b1，c1，d1，e1，由抽屉原理知这五点中必有三点同色，不妨设为 a1，b1，c1，则 abc与 a1b1c1都是顶点同色的三角形，且相似比为1995。4三角法。例 5 设 ad ，be与 cf为 abc的内角平分线，d ， e，f 在 abc的边上，如果edf=900，求 bac的所有可能的值。 解 见图 16-3 ，记 ade= ， edc= ，由题设 fda=2- ， bdf=2- ，高三数学高考回归课本教案：平面几何- 3 - / 4 由正弦定理：cdeceadeaesinsin,2sinsin，得2sinsinsinsinacceae，又由角平分线

8、定理有bcabecae，又abccabsinsin，所以acacsinsin2sinsinsinsin，化简得2cos2sinsina，同理2cos2sinsinaadfbdf，即.2cos2coscosa所以coscossinsin，所以 sin cos-cos sin =sin( - )=0. 又- - 3pg. 证明 因为gcgbgapggcpggbpggapgpcpbpa3， 又 g为abc重心，所以.0gcgbga（事实上设ag交 bc于 e，则gcgbgeag2，所以0gcgbga）所以pgpcpbpa3，所以. |3|pgpcpbpapcpbpa又因为pcpbpa,不全共线，上式

9、“=”不能成立，所以pa+pb+pc3pg。6解析法。例 7 h 是 abc的垂心， p是任意一点， hlpa ，交 pa于 l，交 bc于 x，hm pb ，交 pb于 m ，交 ca于 y， hnpc交 pc于 n，交 ab于 z，求证： x，y，z 三点共线。 解 以 h为原点，取不与条件中任何直线垂直的两条直线为x 轴和 y 轴，建立直角坐标系， 用(xk,yk) 表示点 k 对应的坐标， 则直线 pa的斜率为apapxxyy， 直线 hl斜率为paapyyxx，直线 hl的方程为x(xp-xa)+y(yp-ya)=0. 又直线 ha的斜率为aaxy， 所以直线bc的斜率为aayx，

10、直线 bc的方程为xxa+yya=xaxb+yayb,又点 c在直线 bc上，所以xcxa+ycya=xaxb+yayb. 同理可得xbxc+ybyc=xaxb+yayb=xaxc+yayc. 又因为x 是 bc 与 hl 的交点，所以点x 坐标满足式和式，所以点x 坐标满足xxp+yyp=xaxb+yayb. 同理点 y坐标满足 xxp+yyp=xbxc+ybyc. 点 z坐标满足xxp+yyp=xcxa+ycya. 由知，表示同一直线方程，故x，y，z三点共线。高三数学高考回归课本教案：平面几何- 4 - / 4 7四点共圆。例 8 见图 16-5 ，直线 l 与 o相离， p为 l 上任

11、意一点，pa ，pb为圆的两条切线，a，b为切点，求证：直线ab过定点。 证明 过 o作 ocl 于 c，连结 oa ，ob ，bc ，op ，设 op交 ab于 m ，则 opab，又因为oapa ，obpb ，ocpc 。所以 a， b ，c都在以 op为直径的圆上，即o ， a ，p，c，b五点共圆。ab与 oc是此圆两条相交弦，设交点为q ，又因为 opab，occp ，所以 p， m ，q，c四点共圆，所以om ?op=oq ?oc 。由射影定理oa2=om ?op ，所以 oa2=oq ?oc ，所以 oq=ocoa2（定值）。所以 q为定点，即直线ab过定点。三、习题精选1 o1

12、和 o2分别是 abc的边 ab ，ac上的旁切圆，o1与 cb ，ca的延长线切于e ，g，o2与 bc ，ba的延长线切于f，h，直线 eg与 fh交于点 p，求证： pabc。2设 o的外切四边形abcd 的对角线ac ，bd的中点分别为e，f，求证： e，o，f 三点共线。3已知两小圆 o1与 o2相外切且都与大圆o相内切，ab是 o1与 o2的一条外公切线，a，b 在 o 上， cd是 o1与 o2的内公切线，o1与 o2相切于点p，且 p，c 在直线ab的同一侧，求证：p是 abc的内心。4 abc内有两点m ，n，使得 mab= nac且 mba= nbc ，求证：.1cbcac

13、ncmbabcbnbmacabanam5 abc中， o为外心，三条高ad ，be ，cf相交于点h，直线 ed和 ab相交于点m ，直线fd和 ac相交于点n ，求证：（1）obdf ， ocde ； （2）ohmn 。6设点 i ，h分别是锐角abc的内心和垂心，点b1，c1分别是边ac ， ab的中点，已知射线 b1i 交边 ab于点 b2(b2b)，射线 c1i 交 ac的延长线于点c2，b2c2与 bc相交于点 k，a1为 bhc的外心。试证：a，i ，a1三点共线的充要条件是bkb2和 ckc2的面积相等。7已知点a1，b1，c1，点 a2，b2，c2，分别在直线l1,l2上 ，b2c1交 b1c2于点