高三数学下9.7直线和平面所成的角与二面角2教案

1、. .专心 . oabcoab课题：97 直线与平面所成的角和二面角( 二) 教学目的：1. 理解二面角及其平面角的概念, 能确认图形中的角是否为二面角的平面角. 2. 掌握二面角的平面角的一般作法: (1) 根据定义 ;(2) 作二面角棱的垂面;(3)利用三垂线定理或逆定理教学重点： 二面角的概念和二面角的平面角的作法教学难点： 二面角的平面角的一般作法及其寻求授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一、复习引入：1斜线 , 垂线 ,射影垂线自一点向平面引垂线, 垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段. 斜线一条直线和

2、一个平面相交, 但不和这个平面垂直, 这条直线叫做这个平面的斜线斜线和平面的交点叫斜足 ；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段射影过斜线上斜足外的一点向平面引垂线, 过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线直线与平面垂直射影是点斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上2射影长相等定理: 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中射影相交两条斜线相交；射影较长的斜线段也较长相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长垂线段比任何一条斜线段都短ob=oc ab=ac ob oc ab

3、 ac ab=ac ob=oc ab acob oc oa ab ，oa ac 3直线和平面所成角1定义： 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0 角. . .专心 . 直线和平面所成角范围：0，22定理： 斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角4公式： 平面的斜线a与内一直线b相交成角，且a与相交成1角，a在上的射影c与b相交成2角，那么有coscoscos21.二、讲解新课：1 二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从

4、一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 ，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面 假设棱为l，两个面分别为,的二面角记为l；二面角的图形表示：第一种是卧式法，也称为平卧式：abcdefghijkl第二种是立式法，也称为直立式：lboaboa2二面角的平面角： 1过二面角的棱上的一点o分别在两个半平面内作棱的两条垂线,oa ob，那么aob叫做二面角l的平面角2一个平面垂直于二面角l的棱l，且与两半平面交线分别为,oa ob o为垂足，那么aob也是l的平面角21cbapoab. .专心 . dcbaeo1c1b1a1d1dabc说明：1二面角的平面角范围是0 ,180 ；2二

5、面角的平面角为直角时，那么称为直二面角 ，组成直二面角的两个平面 互相垂直三、讲解范例：例 1 在正四面体abcd中，求相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小解：取bc的中点e，连接,ae de，正四面体abcd，,bcae bced于e，aed为二面角abcd的平面角，方法一：设正四面体的棱长为1，那么33,122aedead，由余弦定理得1cos3aed方法二：向量运算令aba，,acb adc，棱长为1，1111() 2224ea edabcab，又3| |2eaed，1cos3aed即相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小为1arccos3例 2在棱长为1 的正方体1ac中，1求二面角

6、11ab dc的大小；2求平面1c bd与底面abcd所成二面角1cbdc的平面角大小解： 1取11b d中点1o，连接11,ao co，正方体1ac，111111,b dao cob d，1aoc即为二面角11ab dc的平面角，. .专心 . oc1b1a1d1dabc在aoc中，116,22aocoac，可以求得11cos3ao c即二面角11ab dc的大小为1arccos32过1c作1c obd于点o，正方体1ac，1cc平面abcd，1coc为 平 面1c bd与 平 面abcd所 成 二 面 角1cbdc的平面角，可以求得：1tan2coc所以，平面1c bd与底面abcd所成二

7、面角1cbdc的平面角大小为arctan 2说明：求二面角的步骤：作证算答例 3 ：二面角l且,aa到平面的距离为2 3，a到l的距离为4，求二面角l的大小解： 作aol于点o，ab平面于点b， 连接bo，ab于点b，aol于点o，lob，aob即为二面角l的平面角，易知，2 3,4abao，60aob即二面角l的大小为60说明：利用三垂线定理作二面角的平面角是解决二面角问题中一种重要的方法，其特征是其中一个平面内一点作另一个平面的垂线那么已经有三种作二面角的平面角的方法，即：定义法、垂面法、三垂线法例 4如图，ab平面bcd，bdcd，假设2abbcbd，求二面lboa. .专心 . dcb

8、pa角bacd的正弦值分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角解：过d作deac于e，过e作efac交bc于f，连结df，那么c垂直于平面def，fed为二面角bacd的平面角，acdf，又ab平面bcd，abdf，abcd，df平面abc，dfef，dfbc，又abcd，bdcd，cd平面abd，cdad，设bda，那么2abbca，在rt bcd中，1122bcdsbc dfbd cd，32dfa，同理，rt acd中，152 2dea， 3102sin51522adffeddea，所以，二面角bacd的正弦值为105四、课堂练习：1如下图，pa面abc，,pbcabcss ss

9、，二面角pbca的平面角为，求证：cosss证明： 过p作bc的垂线，垂足为d，连接adpa平面abc，bc平面abc，bcpdbcadpda为二面角pbca的平面角，即pdapa面abcpaadpad是直角三角形cosadpadpdabcdef. .专心 . dcfhbae又11,22pbcabcsbc pds sbc adscosspadscosss即cosss说明：这是推广的射影定理，也是求二面角平面角的一种方法2如图，在空间四边形abcd中，bcd是正三角形，abd是等腰直角三角 形 ， 且90bad， 又 二 面 角abdc为 直 二 面 角 ， 求 二 面 角acdb的大小解： 过

10、a作ahbd于h二面角abdc为直二面角ah面bcd取cd中点e，f为de中点，连接,hfafbecd/hfbeefcdhfcdafh为二面角abdc的平面角令aba，那么236,2222aha beaa64hfa在rt ahf中2tan33ahafhhf2 3arctan3afh即二面角acdb的大小为2 3arctan33设a在平面bcd内的射影是直角三角形bcd的斜边bd的中点o，1,2acbccd，求 1ac与平面bcd所成角的大小； 2二面角abcd的大小；3异面直线ab和cd的大小解： 1ao面bcdaocoaco为ac与面bcd所成角1,2bccd3bd. .专心 . oedcfba1322cobd3cos2aco6aco即ac与平面bcd所成角的大小为62取bc中点e，连接,oe ae/oecdcdbcoebc又ao面bcdaebcaeo为二面角abcd的平面角又121,222oecdaoaooe2tan2aoaeooe2arctan2aeo即二面角abcd的大