高三数学必修5(B版)_《均值不等式》参考学案2

1、1 / 832 均值不等式（一）一、学习目标：1掌握均值定理的推导2培养学生应用均值定理分析问题、解决问题的能力. 二、重点难点：重点：均值定理的推导极其应用难点：均值定理在实际问题中的应用三、学习过程：（一）自学教材，填空1.正数 a、b 的算术平均数为；几何平均数为2.均 值 不 等 式 是。 其 中 前 者 是， 后 者是如何给出几何解释？3.在均值不等式中a、b 既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证；另外等号成立的条件是4.试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件（1） a2+b2（）（2）2ba（）（3）abba（） （4）ab（）（5）xx1(x0)（6）xx1(x

2、0) 5.在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b或 ab是否为值，并且还需要注意等号是否成立（二）典型例题例 1.已知 a、b、c（0， ） ，且 a+b+c=1，求证a1+b1+c19 例 2.（1）一个矩形的面积为100m2。问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长为36m。问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？2 / 8（三）课堂训练1.已知 a、b（0，1）且 ab，下列各式中最大的是（）aa2+b2b2abc2abd a+b 2.判断下列不等式的证明过程中的正误，并指出错因。（1）若 a、br，则abba2ba

3、ab?2（）（2）若 x、yr，则 lgxlgy 2yxlglg?（）（3）xr，则 xx4 2xx4?4（）（4）若 xr，则x2x22xx?222（）3.xr，下列不等式恒成立的是（）ax2+1x b112x4x 4.设 x0， 则函数 y=2x4x 的最大值为；此时 x 的值是。5.若 x1，则 log x2log 2x的最小值为；此时 x 的值是。6.（ 1） 函 数 f(x)=x(2 x) 的 最 大 值 是； 此 时 x 的 值 为_ ； （2） 函 数f(x)=2x(2 x) 的 最 大 值 是； 此 时 x 的 值 为_ ；（ 3） 函 数 f(x)=x(2 2x) 的 最 大

4、 值 是； 此 时 x 的 值 为_ ；（ 4） 函 数f(x)=x(2 x) 的 最 小 值 是； 此 时x 的 值 为_ ；四 课后练习 (题目分为 a、b、c 三级，a、b 为必须掌握的， c 供学有余力的学生选作。 ) 一选择题：a1下列命题正确的是（）aa2+12a bx+x1 2 cabba2 dsinx+xsin4最小值为 43 / 8a2以下各命题 (1)x2+112x的最小值是1； （2）1222xx最小值是2；(3)若a0,b0,a+b=1则（a+a1）(b+b1)的最小值是 4，其中正确的个数是（）a0b1c2d3 a3设 a0,b0则不成立的不等式为（）aabba2ba

5、2+b22abcab2ba2abdba112+ba2b4 设 a、br，若 a+b=2，则ba11的最小值等于（）a1b2 c3d4 b5 已知 ab0，下列不等式错误的是（）a a2+b22abb222baacbaabab2d112baab二填空题：a6 若 a、b 为正数且 a+b=4，则 ab的最大值是 _b7 已知 x1.5，则函数 y2x+324x的最小值是 _c8 已 知a 、 b为 常 数 且0 x1 ， 则xbxa122的 最 小 值 是_ 三解答题：b9 已知 x,y（3 ，3 ）且 xy1，求 s=22121233yx的最小值。b10 在abc 中c=90 ，ac=3，bc

6、=4，一条直线分 abc 的面积为相等的两个部分，且夹在ab 与 bc 之间的线段最短，求此线段长。五、课后反思：通过本节课的学习，你有什么收获？写在下面。4 / 832 均值不等式（二）一、学习目标：1通过学习， 进一步加深对均值不等式的理解，能灵活地用均值不等式解决有关问题。2培养学生观察、比较、分析、归纳等数学意识与解决问题的能力。二、重点难点：重点：均值定理应用难点：均值定理的理解三、学习过程：（一）填空1、 （1）222baab（2）22ba（3）baab（条件：）（4）22ba（5）bba2（条件：）（6）推广：如果有 n 个正数naaaa,321，则naaan21nnaaa212

7、、均值不等式求最值，在利用“ 两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值 ” 这个结论时， 应注意使这个结论成立的三个前提条件。即： “ 一正二定三相等 ” 。（1）一正：各项或各因式非负；（2）二定：和或积为定值；（3）三相等：各项或各因式都能取得相等的值。（二）典型例题1、判断123fxxx的最小值是 12 吗？为什么？如果是，需要什么条件5 / 82、是否可以用均值不等式的相关知识求221313fxxx的最值，为什么？3、已知, ,a b c是正数，且1abc，求证： 1118abcabc跟踪练习：已知0,0 xy，且191xy，求xy的最小值4.求函数2710

8、11xxyxx的最小值及此时 x的值。（三）课堂训练1、下列结论正确的是（）a.当01xx且时，1lg2lgxxb.当0 x时，12xxc.当2x时，1xx的最小值是 2 d.当02x时，1xx无最大值2、已知30 x，则29yxx 的最小值为（）6 / 8a.92b.32c.12d.923、 若01, 01xy， 则xy， 则22,2, 2xyxyxyxy 中最大的一个是（）a.22xyb.xyc.2xyd. 2 xy4、函数241xxyx在1x的条件下的最小值为；此时 x5、当1x时，求4311yxx的最小值以及对应的x 的值. 四、课后练习一、选择题a1、若xr，则下列不等式成立的是（）

9、a.2lg1lg 2xxb.212xxc.2111xd2122xxa2、设, x y满足220 xy的正数，则lglgxy的最大值是（）a.50 b.20 c.1lg5d.1 a3、已知01x，则33xx 取得最大值时 x的值为（）a.13b.12c.34d.23b4、已知正数, x y，满足491xy，则xy有（）a.最小值 12 b.最大值 12 c.最小值 144 d.最大值 144 b5、已知52x，则24524xxfxx有（）7 / 8a.最大值54b.最小值54c.最大值 1 d.最小值 1 c6、点,p x y 在经过3, 0a，1,1b的两点的直线上，那么24xy的最小值是（）a. 2 2b. 4 2c.16 d.不存在c7、若1ab，lglgpab ，1lglg2qab，lg2abr，则下列不等式成立的是（）a.rpqb. pqrc. qprd. prq二、填空题a8、已知221xy，对于满足条件的,x y恒有不等式0 xyk成立，则k的最大值为；a9、判断下列不等式的证明过程中的正误，并指出错因。（1）若 a、br，则abba2baab?2（）（2）若, x yr ，则 lgxlgy 2yxlglg?（）（3）若0 x，则 xx4 2xx4?4（）（4）若 xr