初二年级数学勾股定理及平方根知识点汇总及典型例题分类2

1、222初二数学勾股定理及平方根专题3. 判定直角三角形：假如三角形的三边长a、b、c 满意 a +b =c，那么这个三角【学问点扫描】勾股定理和平方根勾股定理平方根判定直角三角形勾股定理的验证定义、性质开平方运算形是直角三角形；（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（ 1）有一个角为90°的三角形是直角三角形；（ 2）有两个角互余的三角形是直角三角形；用它判定三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（ 1）确定最大边（不妨设为c）；（ 2）如 c2 a2 b2，就 abc 是以 c 为直角的三角形；如 a2 b2 c2，就此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）；如 a2 b2

2、c2，就此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4. 留意 ：（ 1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（ 2）在直角三角形中，假如一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等立方根定义、性质开立方运算于斜边的一半；一、勾股定理：实数近似数、有效数字（ 3）在直角三角形中，假如一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°；5. 勾股定理的作用：（ 1）已知直角三角形的两边求第三边；1、勾股定理定义：假如直角三角形的两直角边长分别为a， b，斜边长为c，那么 a2 b2 c2 . 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方b（ 2）已知直角三角形的一边，求另两边的

3、关系；（ 3）用于证明线段平方关系的问题；（ 4）利用勾股定理，作出长为n 的线段弦二、平方根：（11 19 的平方）ca 勾1、 平方根定义 ：假如一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a 的平方根；（也2称为二次方根），也就是说假如xacb 股根；=a，那么x 就叫做 a 的平方勾 ：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：假如三角形的三边长a， b， c 有下面关系：a那么这个三角形是直角三角形；2 b2 c2 ，2、平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，又叫做算术平方根，它负的平方根，记作“a ”，这

4、两个平方根合起来记作“±a ”；（ a 叫被开方2数，“”是二次根号，这里“”，亦可写成“”）2.勾股数 ：满意 a2 b2 c2 的三个 正整数 叫做勾股数（留意： 如 a， b， c、为勾股数，那么ka， kb， kc 同样也是勾股数组；）* 附：常见勾股数：3,4,5 ； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13- 1 - 0 只有一个平方根，就是0 本身；算术平方根是0；负数没有平方根；3、开平方： 求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方和平方运算互为逆运算；4、（ 1）平方根是它本身的数是零；（ 2）算术平方根是它本身的数是0 和 1；无理数 ：无限不循环小数称（

5、包括全部开方开不尽的数，）；有理数 ：有限小数或无限循环小数留意： 分数都是有理数，由于任何一个分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式2、实数的分类：2（3）aa a0 ,a 2a a0 ,a 2a a0 .（4）一个数的两个平方根之和为0三、立方根：（1 9 的立方）1、立方根的定义：假如一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根；3有理数实数正有理数零负有理数有限小数或无限循环小数（也称为二次方根），也就是说假如x =a，那么 x 就叫做a 的立方根；记作“3 a ”；无理数正无理数负无理数无限不循环小数2、立方根的性质：任何数都有立方根，并且只有一个立方根，正数的立方根是正数，

6、负数的立方根是负数，0 的立方根是0.实数的性质：实数的相反数、倒数、肯定值的意义与在有理数范畴内的意义是一样的；互为相反数的数的立方根也互为相反数，即3a =3 a点一一对应；实数同有理数一样，可用数轴上的点表示，且实数和数轴上的 3a 33 a 3a两个实数可以按有理数比较大小的法就比较大小；3、开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方运算为互逆运算，开立方的运算结果是立方根；4、立方根是它本身的数是1， 0， -1 ；5、平方根和立方根的区分：实数可以按有理数的运算法就和运算律进行运算；3、近似数：由于实际中经常不需要用精确的数描述一个量，甚至在更多情形下不行能得到精确的数

7、，用以描述所讨论的量，这样的数就叫近似数；取近似值的方法四舍五入法（ 1）被开方数的取值范畴不同：在a 中， a0 ，在 3值；a 中， a 可以为任意数4、有效数字：对一个近似数，从左边第一个不是0 的数字起，到末位数字止，所有的数都称为这个近似数的有效数字5、科学记数法：（ 2）正数的平方根有两个，而它的立方根只有一个；负数没有平方根，而它有一把一个数记为a10n 其中1a10, n是整数）的形式，就叫做科学记数法；个立方根；6、立方根和平方根： 不同点：（ 1）任何数都有立方根，正数和0 有平方根，负数没有平方根；即被开方数的取值范畴不同：±a 中的被开方数a 是非负数；3 a

8、 中的被开方数可以是任何数 .（ 2）正数有两个平方根，任何数都有惟一的立方根；（ 3）立方根等于本身的数有0、1、 1，平方根等于本身的数只有0 共同点： 0 的立方根和平方根都是0四、实数：1、定义 ：有理数和无理数统称为实数- 2 -6、实数和数轴：每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上每一个点都表示一个实数；实数与数轴上的点是一一对应的；【 好题精练 】类型一：等面积法求高【例题 】如图，abc 中， acb=90 0 ， ac=7 ， bc=24 ， cd ab 于 d ；（ 1）求 ab 的长；（ 2）求 cd 的长；cadb类型二：面积问题2【例题】 如下左图，全部的

9、四边形都是正方形，全部的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm, 就正方形a， b， c， d的面积之和为 cm ；【练习1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面c的直径一只蚂蚁从点a 动身，沿着圆柱的侧面爬行到点c，试求出爬行的最bd短路程a7cm mmm【练习 1 】如上右图，每个小方格都是边长为1 的正方形，（ 1）求图中格点四边形abcd的面积和周长；（ 2）求 adc的度数；【练习2】如图，一个牧童在小河的南4km的 a 处牧马，而他正位于他的小屋 b 的西 8km北 7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水， 然后回家 . 他要完成这件事情所走的最短

10、路程是多少？【练习 2】如图，四边形abcd是正方形，ae adebe ，且bc小河北牧童a东ae =3， be =4，阴影部分的面积是 .【练习 3】 如图字母 b 所代表的正方形的面积是a. 12b. 13c. 144d. 194类型三：距离最短问题25b169类型四：判定三角形的外形222【例题】 假如 abc的三边分别为a、b、c，且满意b 小屋【例题】 如图， a、b 两个小集镇在河流 cd的同侧，分别到河的距离为 ac=10千米， bd=30 千米，且 cd=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向 a、b 两镇供水，铺设水管的费用为每千米 3 万，请你在河流 cd上挑选水厂的位置

11、m，使铺a +b +c +50=6a+8b+10c，判定 abc的外形；设水管的费用最节约，并求出总费用是多少？ba- 3 -l【练习 1 】已知 abc的三边分别为 m2n2,2mn,m2+n2m,n 为正整数 , 且m n, 判定 abc是否为直角三角形 .222类型六：构造应用勾股定理【例题】 如图，已知：在中，. 求：bc 的长 .【练习 2 】如 abc的三边 a、b、c 满意条件 a b c 338 10a24b26c，试判定 abc的外形 .【练习 3 】.已知 a， b， c 为 abc三边，且满意【练习】 四边形abcd 中， b=90 °， ab=3 ， bc=4

12、 ， cd=12 ， ad=13 ，求四边形 abcd的面积；22222a b a+b c 0，就它的外形为（）三角形2a. 直角 b. 等腰c.等腰直角d.等腰或直角【练习 4 】三角形的三边长为ab2c2ab , 就这个三角形是 三角形a. 等边b.钝角c.直角d.锐角类型五：直接考查勾股定理【例题】 在 rt abc 中， c=90 °1 已知 a=6 ， c=10 ，求 b；2已知 a=40， b=9 ，求 c； 3 已知 c=25 ，b=15 ，求a.；【练习】 如图 b= acd =90° , ad =13, cd =12, bc =3,就ab 的长是多少.类型

13、七：利用勾股定理作长为n 的线段例 1 在数轴上表示的点；作法：如下列图在数轴上找到a 点，使 oa=3，作 ac oa且截取ac=1，以 oc为半径，以o为圆心做弧，弧与数轴的交点b 即为；【练习】在数轴上表示13 的点；- 4 -类型八：勾股定理及其逆定理的一般用法【例题 】如直角三角形两直角边的比是3： 4，斜边长是20，求此直角三角形的面积；类型十：翻折问题【例题 】如图，有一个直角三角形纸片，两直角边ac=6cm ， bc=8cm ，现将直角边 ac 沿直线ad 折叠，使它落在斜边ab 上，且与ae 重合，你能求出cd 的长【练习 1 】等边三角形的边长为2，求它的面积；吗？cdbea【练习 2 】以以下各组数为边长，能组成直角三角形的是（）a 、8， 15， 17b 、4， 5， 6c、5， 8， 10d 、8， 39， 40类型九：生活问题【练习 1 】如下列图，折叠矩形的一边ad ，使点d 落在 bc 边的点 f 处，已知ab=8cm ，bc=10cm ，求 ef 的长；【例题】 如下左图，在高2 米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需 米【练习 2 】如图， abc 中， c=90 °， ab 垂直平分线交bc 于 d 如 bc=8 ，ad=5 ，求 ac 的长；【练习 1 】种盛饮料的