高二数学选修1-1_《椭圆及其标准方程》导学案

1、1 / 5彗星太阳2.1.1 椭圆及其标准方程【学习目标】1理解椭圆的定义明确焦点、焦距的概念2熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程3能由椭圆定义推导椭圆的方程4启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力【学习重点】：椭圆的定义和标准方程【学习重点】：椭圆标准方程的推导【学习过程】一、自主学习1 1997 年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从 1997 年 2 月中旬起 ,海尔 波普彗星将逐渐接近地球， 过4 月以后 ,又将渐渐离去 ,并预测 3000 年后,它还将光临地球上空1

2、997年 2 月至 3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔 波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程， 从而算出它运行周期及轨道的的周长. （说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的重要性和必要性，从而导入本节课的主题）求轨迹方程的基本步骤：手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的21,ff两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆. 分析： （1）轨迹上的点是怎么来的？（2）在这个运动过程中，什么是

3、不变的？2 / 5pf2f11.椭圆定义：1、轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的. 注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：（1）两个定点 -两点间距离确定 . （2）绳长 -轨迹上任意点到两定点距离和确定. 思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）. 由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关2.根据定义推导椭圆标准方程：椭圆的焦点在 x轴上，焦点是)0,()0,(21cfcf，中心在坐标原点的椭圆的标准方程，其中222bca. 注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程. 如果椭圆的

4、焦点在y轴上（选取方式不同，调换yx,轴）焦点则变成),0(),0(21cfcf,只要将方程12222byax中的yx,调换，即可得. 理解：所谓椭圆标准方程， 一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在12222byax与12222bxay这两个标准方程中， 都有0ba的要求，如方程),0,0(122nmnmnymx就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式1byax类比，如12222byax中，由于ba，所以在 x轴上的 “ 截距” 更大，因而焦点在 x轴上 (即看22, yx分母的大小 ) . 二、合作探究：例 1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个

5、焦点坐标分别是 (-4,0)、 （4，0） ，椭圆上一点 p到两焦点的距离3 / 5之和等于 10；例 2 两个焦点坐标分别是（ 0，2）和（ 0,2）且过（23,25）. 分析：有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程. 例3写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(口答) (1)a=4,b=3,焦点在 x轴；(2)a=5,c=2,焦点在 y轴上.已知三角形 abc 的一边长为6,周长为 16,求顶点 a的轨迹方程 . 三、课堂练习 ：1 椭圆192522yx上一点 p 到一个焦点的

6、距离为5，则 p 到另一个焦点的距离为（）a.5 b.6 c.4 d.10 2.椭圆11692522yx的焦点坐标是（）a.( 5，0)b.(0， 5) c.(0， 12)d.( 12，0) 3.已知椭圆的方程为18222myx，焦点在 x 轴上，则其焦距为（）a.228mb.2m22c.282md.222m4.1,6 ca,焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程是4 / 55.方程1)42sin(322yx表示椭圆，则的取值范围是（）a.838b.kkk(838）c.838d. kkk(83282）四、课堂小结我的收获：本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点 :椭圆的定义中 , 022ca；椭圆的标准方程中 ,焦点的位置看 x,y的分母大小来确定；a、b、 c的几何意义. 我的困惑五、能力拓展1判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出cba,的值. 12222yx；12422yx；12422yx；369422xy2 椭圆191622yx的焦距是，焦点坐标为；若 cd 为过左焦点1f 的弦，则cdf2的周长为. 3方程1422kyx的曲线是焦点在y上的椭圆，求k的取值范围 . 5 / 54 化简方程：10)3()3(2222yx