高二数学选修2-1(B版)_《直线与圆锥曲线》参考学案

1、1 / 112.5 直线与圆锥曲线学习目标：1了解圆锥曲线的简单应用2理解数形结合思想知识梳理1直线与圆锥曲线位置关系的判断(1)代数法：把圆锥曲线方程与直线方程联立消去y，整理得到关于 x 的方程ax2bxc0.若圆锥曲线是双曲线或是抛物线，当a0 时，表示直线与双曲线的渐近线或抛物线的轴平行；当a0 时，记该一元二次方程根的判别式为 ，若 0，则直线与圆锥曲线_；若 0，则直线与圆锥曲线_；若 0，则直线与圆锥曲线 _ (2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判断直线与圆锥曲线的位置关系2直线与圆锥曲线的相交弦长问题若直线与圆锥曲线有两个公共点m(x1，y1)，

2、n(x2，y2)，可结合韦达定理，代入弦长公式 |mn|_ 或|mn|_ 求距离若涉及直线过圆锥曲线焦点的弦问题，一般利用圆锥曲线的定义去解决基础自测1过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x 仅有一个公共点，这样的直线有()a1 条b2 条c3 条d4 条2已知直线 l1：4x3y60 和直线 l2：x1，抛物线 y24x 上一动点p 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是 ()a2 b3 c115d37163已知抛物线 y22px(p0)，过其焦点且斜率为 1的直线交抛物线于 a，b两点，若线段 ab 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()ax1 bx1 cx2 dx2 4

3、已知 f 为抛物线 y28x 的焦点，过点f 且斜率为 1 的直线交抛物线于a，b 两点，则 |fa|fb|的值为 ()2 / 11a4 2 b8 c8 2 d16 5已知斜率为 1 的直线过椭圆x24y21 的右焦点交椭圆于a，b 两点，则弦 ab 的长为 _ 探究突破一、直线与圆锥曲线的位置关系【例 11】 求证：不论 m取何值，直线 l：mxym10 与椭圆x216y291 总有交点【例 12】已知中心在坐标原点o 的椭圆 c 经过点 a(2,3)，且点 f(2,0)为其右焦点(1)求椭圆 c 的方程；(2)是否存在平行于 oa的直线 l，使得直线 l 与椭圆 c有公共点，且直线oa与

4、l 的距离等于 4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由方法提炼求直线与圆锥曲线的交点时，注意用一元二次方程的判别式、根与系数的关系来解决在解题时，应注意讨论二次项系数为0 和不为 0 的两种情况二、直线与圆锥曲线的相交弦问题【例 2】过点 p(8,1)的直线与双曲线x24y21 相交于 a，b 两点，且 p 是线段 ab 的中点，求直线 ab 的方程方法提炼1当直线与圆锥曲线相交时，涉及的问题有弦长问题、弦的中点等问题，解决办法是把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得到关于x(或 y)的一元二次方程，设而不求，利用根与系数的关系解决问题2要灵活应用弦长公式和点差法三、最值与定值问题

5、【例 31】已知椭圆 c 经过点 a 1，32，两个焦点为 (1,0)，(1,0)(1)求椭圆 c 的方程；(2)e，f 是椭圆 c 上的两个动点，如果直线ae 的斜率与 af 的斜率互为相3 / 11反数，证明直线ef 的斜率为定值，并求出这个定值【例 32】 (2012 浙江高考 )如图，在直角坐标系xoy中，点 p 1，12到抛物线 c：y22px(p0)的准线的距离为54.点 m(t,1)是 c 上的定点， a，b 是 c 上的两动点，且线段ab 被直线 om 平分(1)求 p，t 的值；(2)求abp 面积的最大值方法提炼圆锥曲线中常见最值问题及解题方法(1)圆锥曲线中的最值问题大致

6、可分为两类：涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题(2)求最值常见的解法有两种：几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值提醒：求最值问题时，一定要注意特殊情况的讨论，如直线斜率不存在的情况，二次三项式最高次项的系数的讨论等四、巧用韦达定理解圆锥曲线问题【典例】(12 分)(2012 重庆高考 )如图，设椭圆的中心为原点o，长轴在 x轴上，上顶点为a，左、右焦点分别为f1，f2，线段 o

7、f1，of2的中点分别为b1，b2，且 ab1b2是面积为 4 的直角三角形4 / 11(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过 b1作直线交椭圆于 p，q 两点，使 pb2qb2，求pb2q 的面积规范解答： (1)设所求椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，右焦点为f2(c,0)因ab1b2是直角三角形且 |ab1|ab2|，故b1ab2为直角，从而 |oa|ob2|，即 bc2.(2 分) 结合 c2a2b2得 4b2a2b2，故 a25b2，c24b2，所以离心率 eca255.(3 分) 在 rtab1b2中，oab1b2，故12ab bs12 |b1b2| |oa|ob2

8、| |oa|c2 bb2，由题设条件12ab bs4 得 b24，从而 a25b220. 因此所求椭圆的标准方程为x220y241.(5 分) (2)由(1)知 b1(2,0)，b2(2,0)由题意，直线 pq 的倾斜角不为 0，故可设直线 pq 的方程为 xmy2. 代入椭圆方程得 (m25)y24my160.(*)(7 分) 设 p(x1，y1)， q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1y24mm25，y1 y216m25. 又b2p(x12，y1)，b2q(x22，y2)，所以b2p b2q(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y25 / 11(m21

9、)y1y24m(y1y2)16 16m21m2516m2m2516 16m264m25.(9 分) 由 pb2qb2，知b2p b2q0，即 16m2640，解得 m 2.(10 分) 当 m2 时，方程 (*) 化为 9y28y160，故 y144 109，y244 109，|y1y2|8910，pb2q 的面积 s12|b1b2| |y1y2|16910. 当 m2 时，同理可得 (或由对称性可得 )pb2q 的面积 s16910. 综上所述， pb2q 的面积为16910.(12分) 答题指导：解决直线与圆锥曲线的综合问题时，要注意以下几点：1快速寻求出 a，b，c，确定圆锥曲线方程；2

10、充分利用韦达定理进行巧妙处理；3涉及平面向量运算时，一定要注意平面几何性质的运用，例如垂直、中点等参考答案知识梳理1相交相切相离2.(1k2)(x1x2)24x1x211k2(y1y2)24y1y2 基础自测1c解析： 与抛物线相切有 2 条，与对称轴平行有1 条，共 3 条2a解析： 由抛物线 y24x知直线 l2为其准线，焦点为f(1,0)由抛物线的定义可知动点p到直线 l2的距离与 p 到焦点 f(1,0)的距离相等，所以 p 到直线 l1的距离与 p 到焦点 f(1,0)的距离之和的最小值为焦点f(1,0)到直6 / 11线 l1的距离 (如图)，则 d|4 106|32422. 3b

11、解析： 过焦点 fp2，0 且斜率为 1 的直线方程为 yxp2，与抛物线方程联立可得 y22pyp20，所以 y1y22p4.所以 p2，故准线方程为 x1. 4c解析： 依题意知 f(2,0)，所以直线的方程为yx2. 联立方程，得yx2，y28x，消去 y，得 x212x40. 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 x1x24，x1x212，则|af|bf|(x12)(x22)| |x1x2|(x1x2)24x1x2144168 2. 5.85解析： 右焦点 ( 3，0)，直线 ab 的方程为 yx3，由yx3，x24y21，得 5x28 3x80. 设 a(x1，y1)，b(x2

12、，y2)，则 x1x28 35，x1x285，|ab|(1k2)853248585. 探究突破7 / 11【例 11】 证法一：由mxym10，x216y291消去 y 得x216(mxm1)291. 整理，得 (16m29)x232m(m1)x16m232m1280.(*) 322m2(m1)24(16m29)(16m232m128) 576(15m22m8) 576 15 m1152119150，方程 (*)恒有实根原方程组恒有解故直线 l 与椭圆总有交点证法二：直线 l 的方程可化为 m(x1)(y1)0，故直线 l 恒过 x10 和y10 的交点 a(1,1)又点 a 在椭圆x216y

13、291 内部，直线 l 与椭圆总有交点【例 12】解法一： (1)依题意，可设椭圆 c的方程为x2a2y2b21(ab0)，且可知左焦点为f(2,0)，从而有c2，2a|af|af|358，解得c2，a4.又 a2b2c2，所以 b212. 故椭圆 c 的方程为x216y2121. (2)假设存在符合题意的直线l，其方程为 y32xt. 由y32xt，x216y2121，8 / 11得 3x23txt2120. 因为直线 l 与椭圆 c 有公共点，所以 (3t)24 3(t212)0.解得 4 3 t4 3. 另一方面，由直线oa 与 l 的距离 d4 可得|t|9414，从而 t 2 13.

14、 由于 2 134 3，4 3，所以符合题意的直线l 不存在解法二： (1)依题意，可设椭圆c 的方程为x2a2y2b2 1(ab0)，且有4a29b21，a2b24.解得 b212 或 b23(舍去)从而 a216. 所以椭圆 c 的方程为x216y2121. (2)同解法一【例 2】 解：设点 a，b 的坐标分别为 (x1，y1)，(x2，y2)，则 x124y124，x224y224.，得 (x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0. p 是线段 ab 的中点，x1x216，y1y22. y1y2x1x2x1x24(y1y2)2. 直线 ab 的斜率为 2. 直线 ab 的方程

15、为 2xy150. 【例 31】 解：(1)由题意， c1，可设椭圆方程为x21b2y2b21. 因为 a 在椭圆上，所以11b294b21，9 / 11解得 b23，b234(舍去)所以椭圆方程为x24y231. (2)设直线 ae 的方程为 yk(x1)32，代入x24y231，得(34k2)x24k(32k)x432k2120. 设 e(xe，ye)，f(xf，yf)，因为点 a 1，32在椭圆上，所以xe432k21234k2，yekxe32k. 又直线 af 的斜率与 ae 的斜率互为相反数，在上式中以k 代替 k，可得xf432k21234k2，yfkxf32k. 所以直线 ef 的斜率kefyfyexfxek(xexf)2kxfxe12，即直线 ef 的斜率为定值，其值为12. 【例 32】 解：(1)由题意知2pt1，1p254，得p12，t1.(2)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，线段 ab 的中点为 q(m，m)由题意知，设直线ab 的斜率为 k(k 0)10 / 11由y12x1，y22x2，得(y1y2)(y1y2)x1x2，故 k 2m1. 所以直线 ab 方程为 ym12m(xm)，即 x2my2m2m0. 由x2my2m2m0，y2x，消去 x，整理得 y22my2m2m0，所以 4m4m20，y1y22m，y1