高二数学选修2-2导学案

1、人教 a 版高二数学导学案1.1.1函数的平均变化率导学案【学习要求】1理解并掌握平均变化率的概念2会求函数在指定区间上的平均变化率3能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题【学法指导】从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义. 【知识要点】1函数的平均变化率：已知函数yf(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记 x， yy1y0f(x1) f(x0)，则当 x0 时，商xxfxxf)()(00_叫做函数yf(x)在 x0到 x0 x 之间的2函数 yf(x)的平均变化率的几何意义： y x _ 表示函数yf(x)图象上过两点(x1，f

2、(x1)，(x2，f(x2)的割线的. 【问题探究】在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究这个问题探究点一函数的平均变化率问题 1如何用数学反映曲线的“ 陡峭 ” 程度？问题 2什么是平均变化率，平均变化率有何作用？例 1某婴儿从出生到第12 个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第 3 个月与第6 个月到第12 个月该婴儿体重的平均变化率问题 3平均变化率有什么几何意义？跟踪训练1如图是函数y f(x)的图象，则：（1）函数 f(x)在区间 1,1上的平均变化率为_；（2）函数

3、f(x)在区间 0,2上的平均变化率为_探究点二求函数的平均变化率例 2已知函数f(x)x2，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率：（1）1,3； （2）1,2； （3）1,1.1 ； （4）1,1.001 跟踪训练2分别求函数f(x)1 3x 在自变量x 从 0 变到 1 和从 m 变到 n(m n)1 时的平均变化率问题一次函数ykxb(k0) 在区间 m，n上的平均变化率有什么特点？探究点三平均变化率的应用例 3甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间 t 的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？跟踪训练3甲用 5 年时间挣到10 万元， 乙用 5 个月时间挣到2 万元， 如

4、何比较和评价甲、乙两人的经营成果？【当堂检测】1函数 f(x)53x2在区间 1,2上的平均变化率为_ 2一物体的运动方程是s32t，则在 2,2.1 这段时间内的平均速度为_ 3甲、乙两厂污水的排放量w 与时间 t 的关系如图所示，治污效果较好的是_【课堂小结】1函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢2求函数f(x)的平均变化率的步骤：（1）求函数值的增量 yf(x2) f(x1)；（2）计算平均变化率 y x1212)()(xxxfxf. 【拓展提高】1设函数( )yf x ，当自变量x 由0 x 改变到0

5、 xx时，函数的改变量y 为（）a0()f xxb0()f xxc0()f xxd00()()f xxf x2质点运动动规律23st，则在时间(3,3) t 中，相应的平均速度为（）a6tb96ttc3td9t【教学反思】2 高二数学导学案瞬时速度与导数导学案【学习要求】1掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义2会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率3理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法4理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数【学法指导】导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率和瞬时变化率的关系，体会无限逼近的思想；可以

6、从物理意义，几何意义多角度理解导数. 【知识要点】1瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为设物体运动路程与时间的关系是ss(t)，物体在 t0时刻的瞬时速度v 就是运动物体在t0到 t0 t 这段时间内的平均变化率ttstts)()(00，当 t0 时的极限，即v lim t0 s t_ 2瞬时变化率：一般地，函数yf(x)在 x0处的瞬时变化率是lim x0 y x_. 3导数的概念： 一般地， 函数 yf(x)在 x0处的瞬时变化率是_，我们称它为函数yf(x)在 xx0处的，记为，即 f(x0) lim x0 y x_ 4导函数：如果f(x)在开区间 (a，b)内每一点x 都是可导的，

7、则称f(x)在区间 (a， b) 这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数)(xf，于是在区间(a，b)内，)(xf构成一个新的函数，把这个函数称为函数yf(x)的记为或 y(或 yx)导函数通常简称为【问题探究】探究点一瞬时速度问题 1在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位： s)存在函数关系 h(t) 4.9t26.5t10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态？问题 2物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？问题 3如何描述物体在某一时刻的运动状态？例 1火箭竖直向上发射熄火时向上速度达到100 sm/.试问熄

8、火后多长时间火箭向上速度为0? 问题 4火箭向上速度变为0，意味着什么？你能求出此火箭熄火后上升的最大高度吗？跟踪训练1质点 m 按规律 s(t)at2 1 做直线运动 (位移单位：m，时间单位：s)若质点 m 在 t2 时的瞬时速度为8sm/，求常数a 的值3 探究点二导数问题 1从平均速度当 t0 时极限是瞬时速度，推广到一般的函数方面，我们可以得到什么结论？问题 2导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？问题 3导函数和函数在一点处的导数有什么关系？例 2利用导数的定义求函数f(x) x23x 在 x 2 处的导数跟踪训练2已知 yf(x)x 2，求 f(2)探究点三导数的实际应用例

9、 3一正方形铁板在0时，边长为 10cm， 加热后铁板会膨胀 当温度为ct0时， 边长变为10(1at)cm，a 为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率跟踪训练3将原油精炼为汽油、柴油、 塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热如果在第xh时，原油的温度(单位：c0)为 yf(x)x27x15(0 x 8)计算第2 h和第 6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义【当堂检测】1函数 yf(x)在 xx0处的导数定义中，自变量x 在 x0处的增量 x () a大于 0 b小于 0 c等于 0 d不等于0 2一物体的运动方程是s12at2(a为常数 )，则该物体在tt0时的瞬时速度是()

10、aat0b at0c12at0d2at03已知 f(x) x2 10，则 f(x)在 x32处的瞬时变化率是() a3 b 3 c2 d 2 4已知函数f(x)1x，则)1(f_ 【课堂小结】1瞬时速度是平均速度当 t0 时的极限值；瞬时变化率是平均变化率当 x0 时的极限值2利用导数定义求导数的步骤：（1）求函数的增量 yf(x0 x)f(x0)；（2）求平均变化率 y x；（2）取极限得导数f(x0) lim x0 y x. 【拓展提高】1为则设hfhffh233lim,430（）ab 2 c 3 d1 2一质点做直线运动, 由始点起经过t s后的距离为23416441ttts, 则速度为

11、零的时刻是（）a4s末b8s末c0s与 8s末d 0s,4s,8s末【教学反思】4 高二数学导学案导数的几何意义导学案【学习要求】1了解导函数的概念，理解导数的几何意义2会求导函数3根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程【学法指导】前面通过导数的定义已体会到其中蕴涵的逼近思想，本节再利用数形结合思想进一步直观感受这种思想，并进一步体会另一种重要思想 以直代曲 .【知识要点】1导数的几何意义（1）割线斜率与切线斜率设函数 yf(x)的图象如图所示， ab 是过点 a(x0，f(x0)与点 b(x0 x，f(x0 x) 的一条割线，此割线的斜率是 y x_. 当点 b 沿曲线趋近于点a 时

12、，割线ab 绕点 a 转动，它的最终位置为直线ad，这条直线ad 叫做此曲线在点a 处的于是，当 x0 时，割线ab 的斜率无限趋向于在点a 的切线 ad 的斜率 k，即 k_. （2）导数的几何意义函数 yf(x)在点 x0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在点 p(x0，f(x0)处的切线的也就是说，曲线 y f(x)在点 p(x0，f(x0)处的切线的斜率是相应地，切线方程为_2函数的导数当 xx0时， f(x0)是一个确定的数，则当x 变化时，)(xf是 x 的一个函数，称)(xf是 f(x)的导函数 (简称导数 )(xf也记作 y，即)(xfy _【问题探究】探究点一导数的几何意义问

13、题 1如图，当点pn(xn，f(xn)(n1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点p(x0，f(x0)时，割线ppn的变化趋势是什么？问题 2曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？例 1如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t) 4.9t26.5t10 的图象根据图象，请描述、比较曲线h(t)在 t0，t1，t2附近的变化情况跟踪训练1（1）根据例 1 的图象，描述函数h(t)在 t3和 t4附近增 (减)以及增 (减)快慢的情况（2）若函数 yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间 a，b上的图象可能是() 5 探究点二求切线的方程问题 1怎样求曲线f(x)

14、在点 (x0，f(x0)处的切线方程？问题 2曲线 f(x)在点 (x0， f(x0)处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？例 2已知曲线yx2，求：（1）曲线在点p(1,1)处的切线方程；（2）曲线过点p(3,5)的切线方程跟踪训练2已知曲线y2x27，求：（1）曲线上哪一点的切线平行于直线4xy20? （2）曲线过点p(3,9)的切线方程【当堂检测】1已知曲线f(x)2x2上一点 a(2,8)，则点 a 处的切线斜率为() a4 b16 c8 d2 2若曲线yx2axb 在点 (0，b)处的切线方程是xy 10，则() aa1，b1 b a 1，b1 ca1， b 1 da 1

15、，b 1 3已知曲线y 2x24x 在点 p 处的切线斜率为16，则 p 点坐标为 _ 【课堂小结】1导数f(x0)的几何意义是曲线y f(x)在点 (x0，f(x0)处的切线的斜率，即k lim x0f x0 x f x0 xf(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度2“函数f(x)在点 x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f(x0)是其导数yf(x)在 xx0处的一个函数值3利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则设

16、出切点(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点 .【拓展提高】1已知函数( )yf x的图象在点(1(1)mf，处的切线方程是122yx，则(1)(1)ff2设p为曲线c：223yxx上的点， 且曲线c在点p处切线倾斜角的取值范围为04，则点p横坐标的取值范围为6 高二数学导学案导数公式表及应用导学案【学习要求】1能根据定义求函数yc，yx，yx2，y1x的导数2能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数【学法指导】1利用导数的定义推导简单函数的导数公式，类推一般多项式函数的导数公式，体会由特殊到一般的思想通过定义求导数的过程，培养归纳、探求规律的能力，提高学习兴趣2本节公式是

17、下面几节课的基础，记准公式是学好本章内容的关键记公式时，要注意观察公式之间的联系【知识要点】1几个常用函数的导数原函数导函数f(x)c f(x)_ f(x)x f(x)_ f(x)x2f(x)_ f(x)1xf(x)_ f(x)x f(x)_ 2基本初等函数的导数公式原函数导函数yc y _ yxn(nn)y _ yx(x0， 0 且 q)y _ ysin x y _ ycos x y _ yax(a0，a1)y _ yexy _ ylogax(a0，a1，x0)y _ yln x y _ 【问题探究】探究点一求导函数问题 1怎样利用定义求函数yf(x)的导数？问题 2利用定义求下列常用函数的

18、导数：（1）yc；（2） yx；（3）y x2；（4） y1x；（5）yx. 问题 3利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？例 1求下列函数的导数：（1）ysin3；（2）y5x；（ 3）y1x3；（4）y4x3；（5）ylog3x. 7 跟踪训练1求下列函数的导数：（ 1）yx8；（2）y(12)x；（3）yxx；（4）xy31log探究点二求某一点处的导数例 2判断下列计算是否正确求 f(x) cos x 在 x3处的导数，过程如下：f3 cos3 sin 332. 跟踪训练2求函数 f(x)13x在 x1 处的导数探究点三导数

19、公式的综合应用例 3已知直线x2y40 与抛物线y2x 相交于 a、b 两点， o 是坐标原点，试在抛物线的弧上求一点 p，使 abp 的面积最大跟踪训练3点 p 是曲线 yex上任意一点，求点p 到直线 yx 的最小距离【当堂检测】1给出下列结论：若 y1x3，则 y3x4；若 y3x，则 y133x；若 y1x2，则 y 2x3；若 f(x) 3x，则 f(1)3. 其中正确的个数是() a1 b2 c3 d4 2函数 f(x)x，则 f(3)等于() a36b0 c12xd323设正弦曲线ysin x 上一点 p，以点 p 为切点的切线为直线l，则直线l 的倾斜角的范围是() a0，43

20、4，) b0，)c4，34 d0，42，34 4曲线 yex在点 (2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_ 【课堂小结】1利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归2有些函数可先化简再应用公式求导如求 y12sin2x2的导数因为y12sin2x2cos x，所以 y (cos x) sin x. 3对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化8 高二数学导学案导数的四则运算法则( 一) 【学习要求】1理解函数的和、差、积、商的求导法则2理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公

21、式和导数运算法则求函数的导数【学法指导】应用导数的四则运算法则和已学过的常用函数的导数公式可迅速解决一类简单函数的求导问题要透彻理解函数求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，达到巩固知识、提升能力的目的. 【知识要点】导数的运算法则设两个可导函数分别为f(x)和 g(x) 两个函数的和的导数f(x) g(x) _ 两个函数的差的导数f(x) g(x) _ 两个函数的积的导数)()(xgxf_ 两个函数的商的导数)()(xgxf_ 【问题探究】探究点一导数的运算法则问题 1我们已经会求f(x) 5 和 g(x)1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)

22、与 g(x)的和、 差、积、商的导数呢？问题 2应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？例 1求下列函数的导数：（1）y3xlg x；（2）y (x21)(x1)；（3）yx5x7x9x. 跟踪训练1求下列函数的导数：（1）f(x) x tan x；（2）f(x) 22sin2x2；（3）f(x)x1x1；（4）f(x)sin x1sin x. 探究点二导数的应用例 2（ 1）曲线 y xex2x1 在点 (0,1)处的切线方程为_ （ 2）在平面直角坐标系xoy 中，点 p在曲线 c：y x310 x 3上，且在第二象限内，已知曲线c 在点p 处的切线斜率为2，则点 p 的坐标为 _ （3）已

23、知某运动着的物体的运动方程为s(t)t1t22t2(位移单位：m，时间单位： s)，求 t3 s 时物体9 的瞬时速度跟踪训练2（1）曲线 ysin xsin xcos x12在点 m4，0 处的切线的斜率为() a12b.12c22d22（2）设函数f(x)13x3a2x2bxc，其中 a0，曲线 yf(x)在点 p(0，f(0)处的切线方程为y1，确定 b、c 的值【当堂检测】1设 y 2exsin x，则 y等于() a 2excos xb 2exsin xc2exsin xd 2ex(sin xcos x) 2曲线 f(x)xx2在点 (1， 1)处的切线方程为() ay2x 1 by

24、 2x1 cy 2x3 dy 2x2 3已知 f(x)ax33x2 2，若 f(1)4，则 a 的值是 () a193b163c133d1034已知 f(x)13x33xf (0)，则 f(1)_ 5已知抛物线yax2bx c 过点 (1,1)，且在点 (2， 1)处与直线yx3 相切，求a、b、c 的值【课堂小结】求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数， 进而解决一些切线斜率、瞬时速度等

25、问题. 【教学反思】10 高二数学导学案导数的四则运算法则(二)【学习要求】1了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则2能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(axb)的导数 )【学法指导】复合函数的求导将复杂的问题简单化，体现了转化思想；学习中要通过中间变量的引入理解函数的复合过程【知识要点】复合函数的概念一般地， 对于两个函数yf(u)和 ug(x)，如果通过变量u，y 可以表示成，那么称这个函数为yf(u)和 ug(x)的复合函数，记作. 复合函数的求导法则复合 函 数y f(g(x) 的导数和函 数y f(u) ， u g(x) 的

26、导数间的关系为yx. 即 y 对 x 的导数等于 _. 【问题探究】探究点一复合函数的定义问题 1观察函数y2xcos x 及 yln(x2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？问题 2对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？问题 3在复合函数中，内层函数的值域a 与外层函数的定义域b 有何关系？例 1指出下列函数是怎样复合而成的：（1）y(35x)2；（2）ylog3(x22x5)；（3）ycos 3x. 跟踪训练1指出下列函数由哪些函数复合而成：（ 1）yln x；（2）yesin x；（3）ycos (3x1)探究点二复合函数的导数问题如何求复合函数的导数？例 2求下列函数的

27、导数：（1）y(2x1)4；（2） y112x；（3）ysin(2x3)；（4）y102x3. 11 跟踪训练2求下列函数的导数（1）yln 1x；（2）ye3x；（3）y 5log2(2x 1)探究点三导数的应用例 3求曲线 ye2x1在点 (12，1)处的切线方程跟踪训练3曲线 ye2xcos 3x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程【当堂检测】1函数 y(3x2)2的导数为() a2(3x2) b 6xc6x(3x2) d 6(3x2) 2若函数ysin2x，则 y等于() asin 2xb2sin xcsin xcos xdcos2x3若 yf(x

28、2)，则 y等于() a2xf(x2) b2xf(x) c4x2f(x) df (x2) 4设曲线yeax在点 (0,1)处的切线与直线x2y 10 垂直，则a_. 【课堂小结】1.求简单复合函数f(ax b)的导数2.求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y f(u)，uaxb的形式，然后再分别对yf(u)与 uaxb 分别求导，并把所得结果相乘灵活应用整体思想把函数化为yf(u)，uaxb 的形式是关键. 【拓展提高】1已 知 函 数2)1ln()(xxaxf在 区 间)1 ,0(内 任 取 两 个 实 数qp, 且qp, 不 等 式1)1()1(qpqf

29、pf恒成立 ,则实数a的取值范围为 _ 【教学反思】12 高二数学导学案利用导数判断函数的单调性【学习要求】1结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系2能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式3会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)【学法指导】结合函数图象(几何直观 )探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系，体会数形结合思想，以直代曲思想 . 【知识要点】一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f(x)0单调递 _ f(x)0单调递 _ f(x)0常函数【问题探究】探究点一函数的单调性与导函数正负的关系问题 1观察

30、下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？问题 2若函数 f(x)在区间 (a， b)内单调递增，那么f(x)一定大于零吗？问题 3（1）如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出问题1中(4)的单调区间（2）函数的单调区间与其定义域满足什么关系？例 1已知导函数f(x)的下列信息：当 1x0；当 x4 或 x1 时， f(x)0；当 x4 或 x1 时， f(x)0. 试画出函数f(x)图象的大致形状跟踪训练1函数 yf(x)的图象如图所示，试画出导函数f (x)图象的大致形状13 例 2求下列函数的单调区间：（1）f(x)x34x2x1；

31、 （ 2）f(x)2x(ex1)x2； （3）f(x)3x22ln x. 跟踪训练2求下列函数的单调区间：（1）f(x)x2ln x； （2）f(x)exx 2； （3） f(x)sin x(1cos x)(0 x0)的单调增区间为() a 0，1ab1a，c(0， ) d(0，a) 4 （ 1）函数 y x2 4xa 的增区间为 _，减区间为 _ （ 2）函数 y x3 x 的增区间为 _，减区间为 _ 【课堂小结】1导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度2利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为（1）确定函数f(x)的定义

32、域；（2）求导数f(x)；（3）在函数f(x)的定义域内解不等式f (x)0 和 f(x)1，则不等式f(x)x0 的解集为 _3已知函数f(x)ex 2xa 有零点，则a 的取值范围是_ 4设函数f(x) x1xaln x. （1）若曲线yf(x)在点 (1，f(1)处的切线被圆x2y21 截得的弦长为2，求 a 的值；（2）若函数f(x)在其定义域上为增函数，求实数a 的取值范围；【教学反思】16 高二数学导学案利用导数研究函数的极值【学习要求】1了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用. 2掌握函数极值的判定及求法. 3掌握函数在某一点取得极值的条件【学法

33、指导】函数的极值反映的是函数在某点附近的性质，是局部性质 函数极值可以在函数图象上“眼见为实”，通过研究极值初步体会函数的导数的作用. 【知识要点】1极值的概念已知函数yf(x)，设 x0是定义域 (a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有，则称函数f(x)在点x0处取，记作y极大f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个如果都有，则称函数f(x)在点x0处取，记作y极小 f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值与极小值统称为极大值点与极小值点统称为2求可导函数f(x)的极值的方法（1）求导数f(x)；（2）求方程的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，

34、导函数f (x)的符号如何变化如果 f (x)的符号由正变负，则f(x0)是极值如果 f (x)的符号由负变正，则f(x0)是极值如果在f(x)0 的根 xx0的左右两侧符号不变，则f(x0) 【问题探究】探究点一函数的极值与导数的关系问题 1如图观察，函数y f(x)在 d、e、f、g、h、i 等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？yf(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，yf(x)的导数的符号有什么规律？问题 2函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？问题 3若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明例 1 求函数 f(x)x

35、33x29x5 的极值跟踪训练1求函数 f(x)3x3ln x 的极值17 探究点二利用函数极值确定参数的值问题已知函数的极值，如何确定函数解析式中的参数？例 2 已知 f(x)x33ax2bxa2在 x 1 时有极值 0，求常数a，b 的值跟踪训练2设 x1 与 x2 是函数 f(x)aln xbx2x 的两个极值点（1）试确定常数a 和 b 的值；（2）判断 x1，x2 是函数 f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由探究点三函数极值的综合应用例 3设函数 f(x)x36x5，xr. （1）求函数f(x)的单调区间和极值；（2）若关于x 的方程 f(x)a 有三个不同的实根，求实数a 的

36、取值范围跟踪训练3若函数 f(x)2x36xk 在 r 上只有一个零点，求常数k 的取值范围【当堂检测】1“函数yf(x)在一点的导数值为0”是“函数yf(x)在这点取得极值”的() a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件2下列函数存在极值的是() ay1xbyx excyx3x22x3 dyx33已知 f(x)x3ax2 (a6)x1 有极大值和极小值，则a 的取值范围为() a 1a2 b 3a6 ca2 da6 4设 ar，若函数yexax，xr有大于零的极值点，则a 的取值范围为_ 5直线 ya 与函数 y x3 3x 的图象有三个相异的交点，则a 的取值范围

37、是 _ 18 【课堂小结】1在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值2 函数的极值是函数的局部性质可导函数 f(x)在点 x0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在 x0两侧 f(x)符号相反3利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题. 【拓展提高】1已知三次函数cbxaxxxf23)(在1x和1x时取极值，且4)2(f（ 1）求函数)(xfy的表达式；（2）求函数)(xfy的单调区间和极值2若函数4)(3bxaxxf，当2x时，函数)(xf极值34，（1）求函数的解析式； （2）若函数kxf)(有 3 个解，求实数k的取值范围【

38、教学反思】19 高二数学导学案利用导数研究函数的最值【学习要求】1理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系2会用导数求某定义域上函数的最值【学法指导】弄清极值与最值的区别是学好本节的关键函数的最值是一个整体性的概念函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较. 【知识要点】1函数 f(x)在闭区间 a，b上的最值函数f(x)在闭区间 a，b上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在处或处取得2求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤：（1）求 f(x)在

39、开区间 (a，b)内所有使的点；（2）计算函数f(x)在区间内和 _的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值【问题探究】探究点一求函数的最值问题 1如图，观察区间a，b上函数 yf(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？问题 2观察问题1 的函数 yf(x)，你能找出函数f(x)在区间 a， b上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x)在(a， b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？问题 3函数的极值和最值有什么区别和联系？问题 4怎样求一个函数在闭区间上的最值？例 1求下列函数的最值：（1）f(x) 2x312x，x1,3；（2）f(x)12xsin x，x0,2

40、 跟踪训练1求下列函数的最值：20 （ 1）f(x)x32x24x5，x3,1；（ 2）f(x)ex(3x2)，x2,5探究点二含参数的函数的最值问题例 2已知 a 是实数，函数f(x)x2(xa)（ 1）若 f(1)3，求 a 的值及曲线yf(x)在点 (1，f(1)处的切线方程（ 2）求 f(x)在区间 0,2上的最大值跟踪训练2已知函数f(x) ax36ax2b，x1,2的最大值为3，最小值为 29，求 a，b 的值探究点三函数最值的应用问题函数最值和“恒成立”问题有什么联系？例 3已知函数f(x)(x1)ln xx1.若 xf(x)x2ax1 恒成立，求a 的取值范围跟踪训练3设函数

41、f(x)2x39x2 12x8c，若对任意的x0,3 ，都有 f(x)c2成立，求 c 的取值范围【当堂检测】1函数 yf(x)在a，b上() a极大值一定比极小值大b极大值一定是最大值c最大值一定是极大值d最大值一定大于极小值2函数 f(x)x33x(|x|1) () a有最大值，但无最小值b有最大值，也有最小值c无最大值，但有最小值d既无最大值，也无最小值3函数 yxsin x，x2，的最大值是() a 1 b21 c d 1 4函数 f(x)x33x29xk 在区间 4,4上的最大值为10，则其最小值为_ 【课堂小结】1求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个

42、开区间内只有一个极值，这个极值就是最值2含参数的函数最值，可分类讨论求解3“恒成立”问题可转化为函数最值问题. 21 高二数学导学案导数的实际应用【学习要求】1了解导数在解决实际问题中的作用2掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题【学法指导】1在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想2感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力【知识要点】1在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的_或这些都是最优化问题2求实际问题的最大(小)值，导数是解决方法之一要建立实际问题的写出实

43、际问题中变量之间的函数关系yf(x)，然后再利用导数研究函数的【问题探究】题型一面积、体积的最值问题例 1如图所示，现有一块边长为a 的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？跟踪训练1已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y4x2在 x 轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长题型二强度最大、用料最省问题例 2横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？跟踪训练2挖一条隧道，截面拟建成矩形上方加半圆，如果截面积为2

44、0 m2，当宽为多少时，使截面周长最小，用料最省？题型三省时高效、费用最低问题例 3如图所示， 一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点b 的距离是150 km.在岸边距点b 300 km 的点a 处有一军需品仓库有一批军需品要尽快送达海岛a 与 b 之间有一铁路，现用海陆联运方式运送火22 车时速为50 km ，船时速为30 km ，试在岸边选一点c，先将军需品用火车送到点c，再用轮船从点c 运到海岛，问点c 选在何处可使运输时间最短？跟踪训练3如图所示，设铁路ab 50，bc10，现将货物从a 运往 c，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在 ab 上何处修筑公路至c，可使运费由a 至

45、c 最省？跟踪训练4某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位： 千克 )与销售价格x(单位： 元/千克 )满足关系式yax310(x 6)2，其中 3x0)已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去设存款利率为x，x(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x 的取值为多少？3统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米 /时)的函数解析式可以表示为y1128 000 x3380 x8(00，且 f(a)0，则在 (a，b)内有 () af(x)0 bf(x)0 c f(x)0 d不能确定3设函数g(x)x(x21

46、)，则 g(x)在区间 0,1上的最小值为() a 1 b0 c239d334设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数y f(x)的图象可能为() 5若 f(x)在(a，b)内存在导数，则“f(x)0 的解集为() a(， 2) (1， ) b(， 2)(1,2) c(， 1)(1,0)(2， ) d(， 1)(1,1)(3， ) 题型二利用导数研究函数的单调性、极值、最值例 2设函数 f(x)定义在 (0， )上， f(1)0，导函数f(x)1x，g(x)f(x)f(x)（1）求 g(x)的单调区间和最小值（2）讨论 g(x)与 g(1x)的大小关系24 跟踪训练2设

47、 a 为实数，函数f(x)ex2x2a，xr. （1）求 f(x)的单调区间与极值；（2）求证：当aln 21 且 x0 时， exx22ax1. 题型三导数的综合应用例 3已知函数f(x)x3ax1. （ 1）若 f(x)在实数集r上单调递增，求a 的取值范围；（ 2）是否存在实数a，使 f(x)在(1,1)上单调递减，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由跟踪训练3（1）若函数f(x)4x3ax3 的单调递减区间是12，12，则实数 a 的值是多少？（2）若函数f(x)4x3ax3 在 12，12上是单调函数，则实数a 的取值范围为多少？【当堂检测】1函数 f(x)x22ln x

48、 的单调递减区间是() a(0,1 b 1， ) c(， 1，(0,1) d1,0)，(0,1 2若函数yx3x2 mx1 是r上的单调函数，则实数m 的取值范围是() a13，b ，13c13，d ，133设 f(x)是函数 f(x)的导函数，将yf(x)和 yf(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是() 4设 f(x)、g(x)是定义在r上的恒大于0 的可导函数，且f (x)g(x)f(x)g(x)0，则当 axf(b)g(b) bf(x)g(a)f(a)g(x) cf(x)g(b)f(b)g(x) d f(x)g(x)f(a)g(a) 5函数 f(x)x312x22x5，若对

49、于任意x 1,2，都有 f(x)m，则实数m 的取值范围是_ 【课堂小结】导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法. 【拓展提高】1等差数列na中的40051aa 、是函数321( )4613f xxxx的极值点， 则22013log a（）a2b3c4d52函数21( )2ln2f xxxxa在区间(0, 2)上恰有一个零点，则实数a的取值范围是 _ 3 已知函数32( )f xxaxbxc（,

50、 ,a b cr） ， 若函数( )f x在区间 1,0上是单调减函数， 则22ab的最小值是【教学反思】25 高二数学导学案曲边梯形面积与定积分 (一) 【学习要求】1了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法2会求曲边梯形的面积及变力所做的功【学法指导】曲边梯形的面积体现了“以直代曲”的思想，将曲边梯形的面积转化为求“直边图形”的面积. 【知识要点】1曲边梯形：曲线与和所围成的图形，通常叫做曲边梯形2曲边三角形或曲边梯形的面积：s _克服弹簧的拉力的变力所做的功：w_. 【问题探究】探究点一求曲边梯形的面积问题 1如何计算下列两图形的面积？问题 2如图，如何求由抛物线yx2与直线 x 1，

51、y0 所围成的平面图形的面积s?思考 1图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？思考 2能否将求曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤) 思考 3在“近似代替”中，如果认为函数f(x)x2在区间 i1n，in(i1,2， n)上的值近似地等于右端点in处的函数值f(in)，用这种方法能求出s的值吗？若能求出，这个值也是13吗？取任意ii1n，in处的函数值 f(i)作为近似值，情况又怎样？例 1求由直线x0，x 1，y0 和曲线 y12x2所围成的图形的面积跟踪训练1求由抛物线yx2与直线 y4 所围成的曲边梯形的面积26 探究点二求变力做功问题求变速运动的路程

52、问题解法和曲边梯形的面积有什么联系？例 2如图，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置e m 处，求克服弹力所做的功跟踪训练2有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t 的速度为v(t)3t22(单位： km/h) ，那么该汽车在 0t2(单位： h)这段时间内行驶的路程s(单位： km)是多少？【当堂检测】1把区间 1,3n 等分，所得n 个小区间的长度均为() a1nb2nc3nd12n2函数 f(x)x2在区间i1n，in上() af(x)的值变化很小bf(x)的值变化很大cf(x)的值不变化d当 n 很大时， f(x)的值变化很小3求由曲线y12x2与直线 x 1，x2，y0 所围成的平面图

53、形面积时，把区间5 等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是_4弹簧在拉伸过程中力f(x)5x(x 为伸长量 )，则弹簧从平衡位置拉长2 所做的功为 _ 【课堂小结】求曲边梯形面积和变力做功的步骤（1）分割： n 等分区间 a，b；（2）近似代替：取点ixi1，xi；（3）求和：i1nf(i) ban；（4）取极限： s limni1nf(i) ban.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点 ). 【教学反思】27 高二数学导学案定积分的概念【学习要求】1了解定积分的概念，会用定义求定积分. 2理解定积分的几何意义. 3

54、掌握定积分的基本性质【学法指导】通过求曲边梯形的面积、变力做功这两个背景和实际意义截然不同的问题，进一步体会定积分的作用及意义 . 【知识要点】1定积分：设函数yf(x)定义在区间 a，b上，用分点ax0 x1x2xn1xnb，把区间 a，b分为 n 个小区间，其长度依次为 xixi1 xi，i0,1,2， n1.记 为这些小区间长度的最大者，当 趋近于 0时，所有的小区间长度都趋近于0，在每个区间内任取一点i，作和式 ini0n1f(i) xi.当 0 时，如果和式的极限存在，我们把和式in的极限叫做函数f(x)在区间 a，b上的定积分，记作，即badxxf)(_. 2在定积分badxxf)

55、(中，叫做被积函数，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做被积式3如果函数f(x)在a，b的图象是，则 f(x)在a，b一定是可积的4定积分的性质（1）badxxkf)(k 为常数 )；（2）badxxfxf)()(21；（3）badxxf)(其中 ac0，求 ?11f(x)dx；（2）求 ?aax2dx(a0)探究点三定积分的应用例 3计算下列定积分：?0sin xdx，?2sin xdx，?20sin xdx.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论跟踪训练3求曲线 ysin x 与直线 x2， x54 ， y0 所围图形的面积(如图所示 )【当堂检测】1(1cos x)

56、dx 等于() a b2 c 2 d 2 2若 ?a1(2x1x)dx3ln 2，则 a 的值是() a5 b4 c3 d2 3?20(x223x)dx_ 4已知 f(x)4x 2 ，0 x2，cos x，20，由直线xa，xb(ab)，y0 和曲线 yf(x)所围成的曲边梯形的面积s_. 2当 xa，b时，若 f(x)g(x)0 时，由直线xa，x b(ab)和曲线 yf(x)，yg(x)围成的平面图形的面积s_. (如图 ) 【问题探究】探究点一求不分割型图形的面积问题怎样利用定积分求不分割型图形的面积？例 1计算由曲线y2 x，yx2所围图形的面积s. 跟踪训练1求由抛物线y x24 与

57、直线 y x2 所围成图形的面积探究点二分割型图形面积的求解问题由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？例 3计算由直线yx4，曲线 y2x以及 x 轴所围图形的面积s. 跟踪训练2求由曲线yx，y 2x，y13x 所围成图形的面积探究点三定积分的综合应用32 例 3在曲线 yx2(x0)上某一点a 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求：切点a 的坐标以及在切点a 的切线方程跟踪训练3如图所示，直线ykx 分抛物线yxx2与 x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值【当堂检测】1在下面所给图形的面积s及

58、相应表达式中，正确的有() s?abf(x)g(x)dxs?80(22x2x8)dxs?41f(x)dx ?74f(x)dxs ?a0g x f x dx?baf x g x dxabcd2曲线 ycos x(0 x32)与坐标轴所围图形的面积是() a2 b3 c52d4 3由曲线yx2与直线 y2x 所围成的平面图形的面积为_ 4由曲线yx24 与直线 y5x，x0，x4 所围成平面图形的面积是_【课堂小结】对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时（1）确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标（2）确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差这样所求的面积问题就转化为运

59、用微积分基本定理计算定积分了注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的. 【教学反思】33 高二数学导学案章末复习课导学案【知识结构】【问题探究】题型一分类讨论思想在导数中的应用例 1已知函数f(x)(xk)2e . （1）求 f(x)的单调区间；（2）若对 ? x(0， )，都有 f(x)1e，求 k 的取值范围跟踪训练1求函数 y13x312(a a2)x2a3xa2的单调减区间题型二转化与化归思想的应用例 2设 f(x)ex1ax2，其中 a 为正实数（1）当 a43时，求 f(x)的极值点；（2）若 f(x)为r上的单调函数，求

60、a 的取值范围跟踪训练2若函数 f(x)ax3x2x5 在r上单调递增，求a 的取值范围34 题型三函数与方程思想例 3请你设计一个包装盒，如图所示，abcd 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得abcd 四个点重合于图中的点p，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，e、f 在 ab 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设aefbx cm. （1）若广告商要求包装盒侧面积s (cm2)最大，试问x 应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积v (cm3)最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值跟踪训练3某造船公司