数据的离散程度第1课时课件 -2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版八年级数学（下）第二十四章数据的分析24.2

数据的离散程度第1课时离差平方和和方差新课导入在一次女子排球比赛中，甲、乙两队参赛选手的年龄(岁)如下：甲队26252828242826282729乙队28272528272628272726(1)两队参赛选手的平均年龄分别是多少？(2)你能说说两队参赛选手年龄波动情况吗？甲队26252828242826282729乙队28272528272628272726

(2)为了直观看出选手年龄分布情况，将两队选手年龄画图表示．通过比较，乙队选手年龄更多分布在平均年龄附近，波动较小．探究新知问题

某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题.为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量(单位：t)如下表所示.甲7.657.507.627.597.657.647.507.407.417.41乙7.557.567.537.447.497.527.587.467.537.49根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢?

说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大.由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大.上面两组数据的平均数分别是你能计算出表中甲、乙两组数据的平均数吗？甲7.657.507.627.597.657.647.507.407.417.41乙7.557.567.537.447.497.527.587.467.537.49

由样本平均数估计总体平均数.乙种甜玉米的产量平均数甲种甜玉米的产量平均数怎样直观地看出甲、乙两种甜玉米产量的情况呢？可以画出统计图如图所示：从图上你能发现什么？比较上面的两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，多个产量离平均产量较远；而乙种甜玉米在各试验田的产量波动较小，较集中地分布在平均产量附近.因此，从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好.乙种甜玉米的产量平均数甲种甜玉米的产量平均数如果两组数据的平均数比较接近或相等，此时应该如何选择比较稳定的数据？能否用一个量来表示？如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？正如上图所呈现的，当数据分布比较分散时，数据与平均数的差异相对较大；当数据分布比较集中时，数据与平均数的差异相对较小，反过来也成立.这样，为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均数的差异来刻画.乙种甜玉米的产量平均数甲种甜玉米的产量平均数什么叫作离差？

思考：可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，但由

可知，一组数据的离差和总是0，因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异.为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和.我们把把离差的平方的平均数

叫作这

n

个数据关于平均数的离差平方和，记作“d2”.

叫作这组数据的方差，记作“s2”.

什么叫作方差？方差有什么性质？方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量.方差有什么意义？方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小．

你能利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米产量的波动程度吗？即乙种甜玉米产量波动较小，稳定性较好.根据样本数据计算得到的方差，叫作样本方差；根据总体数据计算得到的方差，叫作总体方差.能否用样本方差去估计总体方差？正如用样本的平均数估计总体的平均数一样，也可以用样本的方差来估计总体的方差.因此可以推测，在这个地区种植乙种甜玉米的产量比种植甲种的稳定.综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米.用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什么不足？离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这个限制.思考：知识归纳

s22．方差越大，数据的离散程度________；方差越小，数据的离散程度________．越大越小例题与练习例1甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如下表所示.甲97910108910510乙910781099879哪名射击运动员的发挥更稳定？两名运动员射击成绩的方差分别为解：两名运动员射击成绩的平均数分别为甲97910108910510乙910781099879

如何使用计算器求方差？使用计算器的统计功能求方差，操作时需要参阅计算器的使用说明书.通常先按某一功能键，使计算器进入统计状态；然后依次输入数据x1，x2，…，xn；

在利用方差比较两组数据的波动情况时，一定要先计算两组数据的平均数．一般说来，平均数可能反映数据的优劣程度，如果在平均数上已经能够区分几组数据的优劣，那么就不用再考虑方差的大小了．但在实际的习题中，往往都是平均值相同，那么此时就要考虑数据的方差情况了．由此可得到：在解决问题时，要先算平均数，当平均值不同时，择优选取；当平均数相同时，比较方差，选择波动较小的一组数据．注意例2有一组数据5，4，3，6，7，则这组数据的方差是多少？

为了从甲、乙两名同学中选拔一个参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测验，两人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下(单位：环)：例3

甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4；乙：9，5，7，8，6，8，7，6，7，7.

甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4；乙：9，5，7，8，6，8，7，6，7，7.(2)你认为该选择哪名同学参加射击比赛？为什么？

∴乙的成绩稳定，∴该选择乙同学参加射击比赛．甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4；乙：9，5，7，8，6，8，7，6，7，7.1．在一次数学测试后，随机抽取八(3)班5名学生的成绩(单位：分)如下：80，98，98，83，91.关于这组数据的说法错误的是

(

)

A．众数是98

B．平均数是90

C．中位数是91

D．方差是56D2．如果一组数据x1，x2，…，xn的方差是4，那么另一组数据x1＋3，x2＋3，…，xn＋3的方差是________．43．为了比较A，B两个品种水稻秧苗是否出苗整齐，每种秧苗各取5株并量出每株的高度(单位：cm)，结果如下表：A种1213151510B种1314161210通过计算平均数和方差，评价哪个品种出苗更整齐．

∴A品种水稻秧苗出苗更整齐.课堂小结数据的离散程度方差方差的意义离差离差平方和

方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小．

随堂检测1.设数据x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为s2，若s2＝0，则(

)A．x＝0B．x1＋x2＋…＋xn＝0C．x1＝x2＝…＝xn＝0D．x1＝x2＝…＝xnD2.某部门四名员工的月工资都为5000元，后来又来了一名新员工，月工资为4800元，这五名员工工资与原来四名员工工资比较，方差(

)A．变大了

B．变小了C．没有变化

D．无法确定A3.射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下图,其成绩的方差分别记为s甲2和s乙2，则s甲2和s乙2的大小关系是(

)A．s甲2>s乙2

B．s甲2<s乙2C．s甲2＝s乙2

D．无法确定A5.一组数据1，2，a，4，5的平均数是3,则这组数据的方差是_____.

4.甲、乙两名射击手的100次测试的平均成绩都是9环，方差分别是0.8和0.35，则成绩比较稳定的是_____

(填“甲”或“乙”).乙

2

6.甲、乙两